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1、第一章 特殊平行四边形北师版九年级上册1 1.1 .1 菱形的性质与判定菱形的性质与判定第第1 1课时课时 菱形的性质菱形的性质1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）3.应用菱形的性质定理解决相关问题.（难点）学习目标问题:什么样的四边形是平行四边形？它有哪些性质呢？平行四边形的性质：边：对边平行且相等.对角线：相交并相互平分.角：对角相等,邻角互补.导入新课活动: 观察下列图片，找出你所熟悉的图形. 问题1: 观察上图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么 样的共同特征？平行四边形菱形菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的概念及其与平行四边
2、形的关系讲授新课菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是菱形.问题2: 菱形与平行四边形有什么关系？平行四边形菱形集合平行四边形集合做一做请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题： （1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ （2）菱形中有哪些相等的线段？菱形的性质1.菱形是轴对称图形，有两条对称轴(对称轴直线AC和直线BD).2.菱形四条边都相等(AB=BC=CD=AD).3.菱形的对角线互相垂直(ACBD).ABCOD发现菱形的性质已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.求证:(1）AB =BC
3、=CD =AD； （2）ACBD. 证明菱形的性质证明：（1）四边形ABCD是菱形， AB =CD，AD =BC（菱形的对边相等）. 又AB=AD;AB =BC =CD =AD.ABCOD求证：菱形的四条边相等，对角线互相垂直. 思考：思考：菱形的一条对角线所分成的两个内角有什么关系？试证明AC平分BAD和BCD， BD平分ABC和ADC.（2）AB=AD,ABD是等腰三角形.又四边形ABCD是菱形，OB=OD.在等腰三角形ABD中，OB=OD，AOBD，即ACBD.ABCOD 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.对称性：是轴对称图形.边：四
4、条边都相等.对角线：互相垂直. 角：对角相等，邻角互补.边：对边平行且相等.对角线：相交并相互平分.菱形的特殊性质平行四边形的性质归纳总结1.如图，在菱形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，图中的等腰三角形有_，直角三角形有_，而且它们是_（“全等”或“不全等”）.口答：2.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A.内角和为360 B.对角线互相垂直 C.对边平行 D.对角线互相平分ABD,BCD，ABC,ADCABO，ADO,BCO,CDO全等B例1：已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=5cm,BD=8cm.则：（1）BO=_; (2)AC=_.BACDO4
5、cm6cm 菱形中已知边长或对角线，求相关长度问题，一般利用菱形的对角线垂直平分，再结合勾股定理解题.典例精析例2：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BAD=60，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.解：四边形ABCD是菱形，ACBD(菱形的对角线互相垂直) OB=OD= BD =6=3(菱形的对角线互相平分)在等腰三角形ABC中，BAD=60，ABD是等边三角形.AB =BD =6.ABCOD在RtAOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，OA= = =AC=2OA= （菱形的对角线相互平分）.ABCOD 若菱形有一个内角为60，那么60角的两边与较短的对角
6、线可构成等边三角形，且两条对角线把菱形分成四个全等的含30角的直角三角形.当堂练习当堂练习1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等2.如图，菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（）A.40B.32C.24D.20CD3.在菱形ABCD中，AEBC，AFCD，E、F分别为BC，CD的中点，那么EAF的度数是（）A.75B.60C.45D.30B6.已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的四个内角度数分别为_. 4.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是_.5.菱形ABCD中ABC120，则BAC_.ABCOD33060、
7、60、120、1207.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长.ABCOD解：四边形ABCD是菱形， ACBD (菱形的两条对角线互相垂直). AOB=90.BO=3(cm).BD=2BO=23=6(cm).8.已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E求证：AFD=CBE证明：四边形ABCD是菱形，CB=CD，CA平分BCDBCE=DCE又CE=CE，BCECOB（SAS）CBE=CDE在菱形ABCD中，ABCD，AFD=FDC.AFD=CBEADCBFE菱形的性质菱形的性质1.四边相等2.对角线互相垂直平分，且
8、每条对角线平分一组对角.菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形是菱形.课堂小结1.1 菱形的性质与判定第一章 特殊平行四边形第2课时 菱形的判定导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.理解并掌握菱形的两个判定方法.（重点）2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和 计算.（难点）学习目标问题：什么是菱形？菱形有哪些性质？菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形.菱形的性质：1.轴对称图形.2.四边相等.3.对角线互相垂直平分.ABCD导入新课导入新课动手做一做思考：剪下来的是什么图形？菱形的判定定理一 问题：根据菱形的定义,邻边相等的平行四边形是菱形.除此之外,你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形
9、是菱形?1.小明的想法 平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互逆命题.受此启发,我猜想:四边相等的四边形是菱形,对角线垂直的平行四边形是菱形.讲授新课讲授新课2.小颖的想法 我觉得,对角线互相垂直的平行四边形有可能是菱形.但“四边相等的平行四边形是菱形”实际上与“邻边相等的平行四边形是菱形”一样. 3.你是怎么想的?你认为小明的想法如何?猜想1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.猜想2:四边相等的四边形是菱形.通过探究，容易得到：对角线 互相垂直 的平行四边形是菱形活动1: 用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上橡皮筋，做成一个四边形转动木条，木条端点
10、围成的四边形是平行四边形吗？什么时候变成菱形？验证活动1平行四边形菱形ABCOD已知：右图中四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O ,ACBD.求证：ABCD是菱形.证明：四边形ABCD是平行四边形.OA=OC.又ACBD,BD是线段AC的垂直平分线.BA=BC.四边形ABCD是菱形（菱形的定义）. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.定理证明猜想1定理运用格式：四边形ABCD是平行四边形,又ACBD,四边形ABCD是菱形.(对角线互相垂直的平行四边形为菱形)ABCOD练一练判断对错：（1）对角线互相垂直的四边形是菱形。（）（2）对角线垂直且平分的四边形是菱形。（）（3）对角线互
11、相平分的平行四边形是菱形。（）（4）对角线垂直且相等的四边形是菱形。（）（5）有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形。（）小刚小刚：分别以A、C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两条弧分别相较于点B , D,依次连接A、B、C、D四点.活动2：已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AB为菱形的一条对角线？CABD思考：1.你是怎么做的,你认为小刚的作法对吗？2.怎么验证四边形ABCD是菱形？提示：AB = BC=CD =AD验证活动2证明：AB=BC=CD=AD;AB=CD , BC=AD.四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的判定）.又AB=BC,四边形ABCD是菱形(菱
12、形的定义).ABCD已知：右图中四边形ABCD,AB=BC=CD=AD.求证：四边形ABCD是菱形. 四边相等的四边形是菱形.定理证明猜想2定理的运用格式AB=BC=CD=DA，四边形ABCD是菱形 (四边相等的四边形为菱形).ABCD证明：在AOB中.AB= = , OA=2,OB=1.AB2=AO2+OB2.AOB是直角三角形,AOB是直角.ACBD.ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形).例1：已知：如右图,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=,OA=2,OB=1.求证：ABCD是菱形.ABCOD典例精析2例2：已知：如图,在ABC, AD是角平分线,点E、F分别在A
13、B、 AD上,且AE=AC,EF = ED.求证：四边形CDEF是菱形.ACBEDF证明：1= 2,又又AE=AC, ACD AED (SAS). 同理同理ACFAEF(SAS) .CD=ED, CF=EF. 又EF=ED,四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.1四条边都相等菱形一组邻边相等对角线互相垂直对角线互相平分一组对边平行且相等两组对边分别平行或相等四边形平行四边形两组对角分别相等归纳总结1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A.ACBD,AC与BD互相平分B.AB=BC=CD=DAC.AB=BC,AD=CD,ACBDD.AB=CD,AD=BC,ACBDABCO
14、DC当堂练习当堂练习2.如图所示：在ABCD中添加一个条件使其成为菱形：添加方式1：.添加方式2：.ABCODAB=BCACBD3.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形ABCDEFO12证明: 四边形ABCD是平行四边形,AEFC.1=2.EF垂直垂直平分AC,AO = OC . EO =FO.四边形AFCE是平行四边形.又EFAC四边形AFCE是菱形.ABCDOE4.如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB=BD,DEAC,CEBD.求证：四边形OCED是菱形.证明：DEAC，CEBD，四边形OCED是平
15、行四边形，四边形ABCD是平行四边形，AB=BD,OC=OD，四边形OCED是菱形5.如图，ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CEAB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形.BCADOEMN【分析】根据垂直平分线的性质可得AE=CE，AD=CD，OA=OC，AOD=EOC=90.再结合CEAB，可证得ADOCEO，从而根据由一组对边平行且相等知，四边形ADCE是平行四边形.再结合AOD=90可证得四边形ADCE为菱形证明：MN是AC的垂直平分线，AE=CE，AD=CD，OA=OC，AOD=EOC=90.CEAB，DAO=ECO，ADOCEO（ASA）A
16、D=CE，OD=OE，OD=OE，OA=OC，四边形ADCE是平行四边形又AOD=90，四边形ADCE是菱形ADOEM 6.已知线段AC,你能用尺规作图的方法做一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗?ACBD有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.定理1：对角线互相垂直的平行四边形 是菱形.定理2：四边相等的四边形是菱形.菱形的判定定义定理课堂小结课堂小结1.1 菱形的性质与判定第一章 特殊平行四边形第3课时 菱形的性质、判定与其他知识的综合导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一 些相关问题,并掌握菱形面积的求法。(重点、难点)2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程,体会 数形结合、转化等思想方法。学习目标1平行四边形的对边 ，对角 ，对角线 2菱形具有 的一切性质3菱形是 图形也是 图形4菱形的四条边都 5菱形的两条对角线互相 平行且相等平行且相等相等相等互相平分互相平分平行四边形平行四边形轴对称轴对称中心对称中心对称相等相等垂直垂直 且平分且平分复习引入导入新课导入新课6.平行四边形的面积=_.ABCDF底高7.菱形是特殊的平行四边形，如图
