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1、卢志民流 体 力 学第五章 量纲分析与相似原理7/3/20221本章重点掌握：v了解物理量的了解物理量的基本量纲基本量纲和导出量纲，量纲性质和导出量纲，量纲性质. .v理理解解相相似似原原理理的的三三个个基基本本定定理理的的内内容容和和意意义义，理理解解力力学学相相似的概念；似的概念；v掌握量纲分析方法（掌握量纲分析方法（瑞利法瑞利法、定理定理）；）；v掌握用力学相似定义推导相似准则；掌握用力学相似定义推导相似准则；v掌握用掌握用定理简化函数关系，用定理简化函数关系，用定理导出相似律定理导出相似律v相似理论及其应用（相似准则、模型实验设计）相似理论及其应用（相似准则、模型实验设计）7/3/20
2、222SI制中的基本量纲：制中的基本量纲：一、量纲与物理方程的量纲齐次性一、量纲与物理方程的量纲齐次性1.1.物理量的量纲物理量的量纲导出量纲：用基本量纲的幂次表示。导出量纲：用基本量纲的幂次表示。dim m = M , dim l = L , dim t = T 物理量物理量大小大小类别类别导出量纲导出量纲工程单位制工程单位制国际单位制国际单位制英英 制制量纲量纲基本量纲基本量纲量纲幂次式量纲幂次式单位制单位制长度长度长度长度时间时间dim m = M , dim l = L , dim t = T 质量质量7/3/20223应变率应变率 角速度，角加速度角速度，角加速度 其他量其他量粘度系
3、数粘度系数压强，压力，弹性模量压强，压力，弹性模量力，力矩力，力矩密度，重度密度，重度体积流量，质量流量体积流量，质量流量 速度，加速度速度，加速度 常用量常用量 7/3/20224注：注： 为温度量纲为温度量纲（比）焓，内能（比）焓，内能（比）（比）熵熵 导热系数导热系数比热比热表面张力系数表面张力系数功率功率能量，功，热能量，功，热动量，动量矩动量，动量矩惯性矩，惯性积惯性矩，惯性积7/3/20225同一方程中各项的量纲必须相同。用基本量纲的幂次式表示时，同一方程中各项的量纲必须相同。用基本量纲的幂次式表示时，每个基本量纲的幂次应相等，称为量纲齐次性。每个基本量纲的幂次应相等，称为量纲齐次
4、性。2.2.量纲齐次性原理量纲齐次性原理常数常数 （沿流线）（沿流线） 因此，每一个量的量纲，既因此，每一个量的量纲，既可以从单位中推导，也可以可以从单位中推导，也可以根据计算公式，从其他物理根据计算公式，从其他物理量进行推导。量进行推导。7/3/20226忽略重力的伯努利方程忽略重力的伯努利方程3.3.物理方程的无量纲化物理方程的无量纲化（沿流线）（沿流线）（沿流线）（沿流线）无量纲化伯努利方程无量纲化伯努利方程 在无粘性圆柱绕流中在无粘性圆柱绕流中前后驻点前后驻点上下侧点上下侧点其他点其他点 以上结果对以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适
5、用。柱面上：柱面上：柱面外：柱面外：流场中流场中 还与无量纲半径还与无量纲半径 有关有关CDABa7/3/20227（二）运动流场中的压强分布（二）运动流场中的压强分布 压强系数压强系数为参考压强，为参考压强，为参考速度。为参考速度。1. 惯性力对压强分布的影响惯性力对压强分布的影响2. 粘性力对压强分布的影响粘性力对压强分布的影响六、压力场六、压力场7/3/20228 汽车与飞机绕流：汽车与飞机绕流： 复杂物面的压强分布复杂物面的压强分布（二）运动流场中的压强分布（二）运动流场中的压强分布 压强系数的正负是与参考压强压强系数的正负是与参考压强（往往是大气压）相比，绝对值（往往是大气压）相比，
6、绝对值的大小是与来流的动能相比，从的大小是与来流的动能相比，从图中可以看出，上部形成负压，图中可以看出，上部形成负压，而且速度越快，实际的升力作用而且速度越快，实际的升力作用越大，车容易越大，车容易“漂漂”。同时前端。同时前端的正压力与后端的负压力形成较的正压力与后端的负压力形成较大的压差阻力。大的压差阻力。7/3/20229粘性流体动力学的无量纲特征参数的意义粘性流体动力学的无量纲特征参数的意义 l 粘性流体运动的基本方程是一个复杂的二阶非线性偏微分粘性流体运动的基本方程是一个复杂的二阶非线性偏微分方程，除少数特殊情况外，一般很难求得这一方程的解析解。方程，除少数特殊情况外，一般很难求得这一
7、方程的解析解。为了实用，人们往往根据问题在几何方面、动力学方面以及传为了实用，人们往往根据问题在几何方面、动力学方面以及传热学方面的特征对方程进行热学方面的特征对方程进行简化简化，目的是略去方程中的次要项，目的是略去方程中的次要项，保留主要项，然后对简化了的方程进行求解。保留主要项，然后对简化了的方程进行求解。 为了保证判断方程中哪些项可以略去，哪些项必须保留，为了保证判断方程中哪些项可以略去，哪些项必须保留，有必要把原有的方程无量纲化，这时在方程中出现一系列无量有必要把原有的方程无量纲化，这时在方程中出现一系列无量纲参数，对这些纲参数，对这些无量纲参数的数量级进行比较无量纲参数的数量级进行比
8、较，就可以，就可以决定方决定方程中各项的取舍程中各项的取舍。 7/3/202210二、量纲分析与二、量纲分析与定理定理量纲分析概念量纲分析概念一个方程中多项量纲必须齐次一个方程中多项量纲必须齐次； 一个流动过程中各物理量在量纲上存在相互制约关系，可以一个流动过程中各物理量在量纲上存在相互制约关系，可以按按量纲齐次性原理量纲齐次性原理作分析。作分析。类比：角色分析类比：角色分析量纲分析法量纲分析法主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有关的主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有关的物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式的组合量，用物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式的组合量，
9、用无量纲参数无量纲参数之间的关系代替有量纲的物理量之间的关系，揭示物之间的关系代替有量纲的物理量之间的关系，揭示物理量之间在量纲上的理量之间在量纲上的内在联系内在联系，降低变量数目降低变量数目，用于，用于指导理论分指导理论分析和实验研究析和实验研究。 7/3/202211x1 =(x 2，x 3, , x n ) 1 = f (2, 3, , n-r ) 提议用量纲分析的是瑞利（提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),L.Reyleigh,1877),奠定理论基础奠定理论基础的是布金汉（的是布金汉（E.Buckingham,1914): E.Buckingham,1914):
10、 一、一、定理定理定理定理方方 法法充要条件充要条件n n个物理量个物理量r r个独立个独立基本量基本量n-rn-r个导出量个导出量选选r r个独立个独立基本量基本量组成组成n-rn-r个个独立独立数数量纲分析方法等量纲分析方法等7/3/202212二、量纲分析法二、量纲分析法1.1.一般步骤：以圆柱绕流为例一般步骤：以圆柱绕流为例第第1步步、列举所有相关的物理量。列举所有相关的物理量。第第2步步、选择包含不同基本量纲的物理量为基本量纲选择包含不同基本量纲的物理量为基本量纲第第3步、将其余的物理量作为导出量，步、将其余的物理量作为导出量，即即 、分别与基本分别与基本 量的幂次式组成量的幂次式组
11、成表达式表达式( (参见如下例子参见如下例子) )。 阻力阻力 密度密度 速度速度 直径直径粘度系数粘度系数选选、V V 、d d等等3 3个个 7/3/202213经初步分析知道，在不可压缩牛顿粘性流体在内壁粗糙的直圆管定常流经初步分析知道，在不可压缩牛顿粘性流体在内壁粗糙的直圆管定常流动的压降动的压降p与下列因素有关：管径与下列因素有关：管径d、管长、管长l、管壁粗糙度、管壁粗糙度、管内流体密、管内流体密度度、流体的动力粘度、流体的动力粘度，以及断面平均流速，以及断面平均流速v有关。分析压强降低与相关有关。分析压强降低与相关物理量的关系。物理量的关系。 例例 粗糙管中粘性流动的压降：量纲分
12、析一般步骤粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤 解：解：1 1列举物理量。列举物理量。p，V，d，l，共，共7 7个个2 2选择基本量：选择基本量：、V、d 3 3列列表达式求解表达式求解数（数（数为无量纲数）数为无量纲数） 1=a V bd cp 7/3/202214解得：解得： a = -1 , b = -2 , c = 0（欧拉数，（欧拉数，1/21/2是人为加上去的）是人为加上去的） 2 =a v b d c M 0 L 0 T 0 = (M L 3 ) a (L T 1 ) b L c (M L 1 T 1 ) M 0 L 0 T 0 = (M L 3 ) a (L T 1 )b
13、 L c (M L 1 T 2 )即即解得：解得：a = b = c = -1 7/3/202215( (雷诺数雷诺数) ) 3 =a V bd cM 0 L 0 T 0 = (M L 3 ) a (L T 1 ) b L c L 解得：解得：a = b = 0， c = -1 （相对粗糙度）（相对粗糙度） 4 =a V bd c l ( (同上同上) ) （几何比数）（几何比数） 7/3/2022164列列数方程数方程即即或或这就是达西公式，这就是达西公式， 为沿程阻力系数，表示了等直圆管中流动流体的为沿程阻力系数，表示了等直圆管中流动流体的压降与沿程阻力系数、管长、速度水头成正比，与管径成
14、反比。压降与沿程阻力系数、管长、速度水头成正比，与管径成反比。= F ( /d, 1/Re)7/3/202217不可压缩流体在重力作用下，从三角堰中定常泄流，求泄流量的表达式。不可压缩流体在重力作用下，从三角堰中定常泄流，求泄流量的表达式。 *例例 三角堰泄流量：量纲分析解与解析解比较三角堰泄流量：量纲分析解与解析解比较 2选择基本量：选择基本量：、g、h 3列列表达式求解表达式求解数数解：解：1 1列举物理量。列举物理量。Q ,，g ，h ， 共共5个个 M 0 L 0 T 0 = ( M L 3 ) a ( L T 2 ) b L c ( L 3 T 1 ) 7/3/202218解得：解得
15、：a = 0, b = - 1 / 2, c = - 5 / 24列列数方程数方程1= f (2) （弧度，无量纲）（弧度，无量纲） 7/3/202219或或 讨论：讨论：结果表明结果表明Q与与无关，与无关，与h成成5/25/2次方关系。与解析式一致，解次方关系。与解析式一致，解析式为析式为 对一孔口角已确定的三角堰，对一孔口角已确定的三角堰，(c )式已明确地表达了式已明确地表达了Q与与h的理论关的理论关系，在这里量纲分析结果与解析解起同样的作用。系，在这里量纲分析结果与解析解起同样的作用。 由实验确定由实验确定( c) 7/3/2022207/3/2022257/3/202226三、流动相
16、似与相似准则三、流动相似与相似准则几何相似几何相似同类现象同类现象相似现象相似现象1 1 流动相似性流动相似性流动相似流动相似形状相似形状相似尺度成比例尺度成比例遵循同一方程遵循同一方程物理量成比例物理量成比例尺度成比例尺度成比例时间成比例时间成比例速度成比例速度成比例力成比例力成比例几何相似几何相似时间相似时间相似运动相似运动相似动力相似动力相似7/3/2022272 2 相似准则相似准则1.矩形相似矩形相似称为相似准则数或无量纲边长。称为相似准则数或无量纲边长。2.流动相似流动相似几何相似准则数：几何相似准则数： 运动相似准则数：运动相似准则数： 动力相似准则数：动力相似准则数：（ 为惯性力）为惯性力）7/3/202228四、相似准则数的确定四、相似准则数的确定1.量纲分析法量纲分析法对不可压缩粘性流体的流动对不可压缩粘性流体的流动：，V，l，g，p， 雷诺数雷诺数 佛鲁德数佛鲁德数 欧拉数欧拉数 斯特哈尔数斯特哈尔数 优点：适用优点：适用未知物理方程未知物理方程的流动。的流动。 缺点：缺点：选准物理量较难，物理意义不明确选准物理量较难，物理意义不明确。7/3/2022292.方程
