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1、湘教版九年级（初三）数学下册全套PPT课件1二次函数 请用适当的函数解析式表示下列问题中变量y与x之间的关系，并指出是什么函数以及它的一般形式。（1）某商店篮球100元一个，足球x元一个，买5个足球和3个篮球的总费用为y（元）y=5x+300一次函数（2）圆的周长C关于它的半径r的函数关系式C=2r正比例函数（3）长方形的面积为20,它的长y与宽x的函数关系式反比例函数y=kx+b (k0)y=kx (k0) 篮球运行的路线是什么曲线？怎样出手才能把球投进篮圈？起跳多高才能成功盖帽？ 请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量y与x之间的关系：(1)圆的面积 y ( )与圆的半径 x (
2、 cm )。解：由题意的：y=x2(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的利润为y。解：由题意的： y=2(1+x)2（3）学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一个矩形植物园，如下图所示。已知篱笆墙的总长度为100m，设与围墙相邻的一面篱笆墙的长度为xm，那么矩形植物园的面积S（m2）与x之间有何关系？xmy=x(100-2x) 围墙相邻的一面墙的长度为x m，则与围墙相对的一面篱笆墙的长度为 m，于是矩形植物园的面积S与x之间有如下关系：（1002x）解：3.y = x(100-2x)=2x2+4x+2 观察以上三个问题所列出来
3、的三个函数关系式有什么特点？你能用一个一般形式来分别表示出这四个函数关系式吗？经化简后都具有y=ax+bx+c的形式。(a，b，c是常数, )a0= -2x2 +100 x去括号，移项，合并，按降幂排列1.y =x22.y = 2(1+x)2 我们把形如y=ax+bx+c(其中a，b，c是常数，a0)的函数叫做二次函数。称：a为二次项系数，ax2叫做二次项； b为一次项系数，bx叫做一次项； c为常数项。注：二次函数一般式的书写按自变量x的降幂排列进行整理。 想一想1.为什么规定a 0? 当a=0时， ，为含有自变量的一次多项式，它不是二次函数。因此a 0。2.b=0可以吗? 当b=0时， ，
4、为含有自变量的二次多项式，它是二次函数，缺少了一次项。4.b=0，c=0可以吗?3.c=0可以吗? 当c=0时， ，为含有自变量的二次多项式，它是二次函数，缺少了常数项。 当b=0，c=0时， ，为含有自变量的二次多项式，它是二次函数，缺少了一次项和常数项。所以a0，b、c可以是全体实数。二次函数的一般形式:当b0时，yax2c当c0时，yax2bx当b0，c0时，yax2yax2bxc(其中a、b、c是常数，a0)二次函数的特殊形式：即：二次函数y=ax+bx+c (a0)中，自变量的取值范围是怎样的？（1）单从二次函数解析式考虑：自变量可以取任意实数。例如：二次函数y=4x+x-6中的自变
5、量x可取全体实数。又如：在矩形植物园面积例题y=-2x2+100 x中x能取全体实数吗？动脑筋0 x0时， 的图象也具有上述性质，于是我们在画 的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了（因为我们知道了图象的性质）。画二次函数的图象。解，列表：x00.511.52300.2512.2549123412346284描点和连线利用对称性，画出图象在y轴左边的部分，这样我们得到了 的图象，如图画出图象在y轴右边的部分，也可以这样做：1.二次函数 y=x 的顶点坐标是_，对称轴是 ，图象在y轴的（顶点除外
6、），开口方向 ，当x时，y随着x的增大而减小，当x时，y随着x的增大而增大。y轴上方0（0,0）向上2.在同一坐标系中画出二次函数 和 的图象。x00.51200.528描点连线列表x01234014描点连线列表开口大小抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2 (a0)（0，0）y轴在x轴的上方(除顶点外)向上当x=0时,最小值为0在对称轴的左侧, y随着x的增大而减小。 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大。 a越大,开口越小。 我们已经会画 的图象，能不能从它得出二次函数 的图象呢？ 在 的图象上任取一点 它关于x轴的对称点Q的坐标是 从点Q的坐标看出，点Q在的图象上。由此可
7、知， 的图象与 的图象关于x轴对称。 因此只要把 的图象沿着x轴翻折并将图象“复制”出来， 就可以得到 的图象。 观察 的图象，你能说说图象具有哪些特征，该函数具有哪些性质吗？图象特征顶点开口对称性函数性质增减性最值原点, 是图象的最高点。开口向下。关于y轴对称。也可表示为：x0时，y随x的增大而减小。x0时，函数y取最大值0。二次函数 的图象特征和函数性质 图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而减小，简称为“右降” ；图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“左升”。 一般地，当a0 时，y=ax2的图象都具有上述性质。于是我们画y=ax2（a0）的图象时，
8、可以先画出图象在y 轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只需“列表、描点、连线” 三个步骤。结论例2 画二次函数 的图象解：列表描点、连线 画出图象在y轴右边的部分。利用对称性，画出图象在y轴左边的部分,这样就得到了 图象。 在同一直角坐标系中画出二次函数y-0.3x2及y-8x2的图象，并比较它们的共同点与不同点。 不同点：图象开口的大小不同，可以发现a0时，a越大, 图象开口越大。 相同点：两函数图象顶点都是原点且是图象的最高点，开口都向下，都是轴对称图形，对称轴是y轴，在y轴的左侧函数值随自变量取值的增大而增大，在y轴的右侧函数值随自变量取值的增大而减
9、小，x0时，函数y取最大值0。牛刀小试图象特征顶点开口对称性函数性质增减性最值原点, 是图象的最高点。开口向下，关于y轴对称。也可表示为：x0时，y随x的增大而减小。x0时，函数y取最大值0。二次函数y=ax2(a0)的图象特征和函数性质 图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而减小，简称为“右降”；图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“左升”。a越大,抛物线开口越大。 在棒球赛场上，棒球在空中沿着一条曲线运动，它与二次函数y=ax2(a0)的图象相像吗？说一说 以棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系， x轴的正方向水平向右，y轴的正方向竖直向上
10、，则可以看出棒球在空中经过的路线是形如y=ax2(a0时，抛物线的开口向上；当a0时，抛物线的开口向下。 由于我们已经知道了函数 的图象的性质，因此今后在画 的图象，只要先画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分，然后利用对称性，画出左边的部分，在画图象的右边部分时，只需要“列表，描点，连线”三个步骤就可以了。开口大小抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向最值y= a（x-h）2 （h，0）x=ha0时，开口向上；a0时，开口向下.当a0,时，有最小值为0；当a0时，有最大值为0. 越小,开口越大。a0时，在x轴的上方；a0a0开口方向顶点坐标对称轴性质最值 向上向下(h ,k)(h ,k)x=hx=h
11、当xh时，y随着x的增大而增大。 当xh时，y随着x的增大而减小。 x=h时,y最小值=kx=h时,y最大值=k 抛物线y=a(x-h)2+k(a0)的图象可由y=a（x-h）2的图象通过上下平移得到。 如何画二次函数 的图象? 把y= 配方成y= 我们会画 的图象。解：配方：做一做画二次函数 的图像对称轴是直线 ，顶点坐标是列表：自变量x从顶点的横坐标 开始取值x233-112341234324151 描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分。 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样就得到函数 的图象，如图。 从图看出，当x等于多少时，函数 的值最大？这个最大值是多少？ 当x等于顶点的横
12、坐标 时，函数值（ ）,这个最大值等于顶点的纵坐标12341234324151最大说一说 再如：从图看出，二次函数 ，当x等于多少时，函数值最小?这个最小值等于多少？一般地，有下述结论： 二次函数 当x等于顶点的横坐标时，达到最大值（当a0），这个最大（小）值等于顶点的纵坐标。242424241.画二次函数的图象。配方x21012347212127列表描点24242424连线2.求下列二次函数的图象的顶点坐标：配方 得顶点坐标为顶点坐标为（-2，5）3.求下列各个二次函数的最大值或最小值。解：配方得配方得x=10有最小值为x=-20)y=ax2+bx+c(a0,开口向上a 0有一个交点有两个相
13、等的实根b2-4ac = 0没有交点没有实根b2-4ac 0归纳总结求一元二次方程 的根的近似值（精确到0.1） 分析：一元二次方程 的根就是：抛物线 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法。作出二次函数 的图象，可以发现抛物线与x轴的一个交点在-1与0之间，另一个在2与3之间。通过观察或测量，可得到抛物线与x轴交点的横坐标在约为-0.4或2.4。即一元二次方程的实数根为x1 -0.4，x2 2.4例1还可以用等分计算的方法确定方程x2-2x-1=0的近似根为:x1-0.4，x22.4解：设二次函数y=x2-
14、2x-1一元二次方程的图象解法利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根。（1）用描点法作二次函数y=2x2+x-15的图象；（2）观察估计二次函数y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标； 由图象可知，图象与x轴有两个交点，其横坐标一个是-3，另一个在2与3之间，分别约为3和2.5(可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似值)。（3）确定方程2x2+x-15=0的解;由此可知，方程2x2+x-15=0的近似根为：x1-3，x22.5。 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度。例2（1）当铅球离地面的高度为2.1
15、m时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？xy解：（1）由抛物线的表达式得：即 x2-6x+5=0解得 x1=1 x2=5当铅球离地面高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m。当铅球离地面高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m。（2）由抛物线的表达式得：即 x2-6x+9=0解得 x1=x2=3所以铅球离地面的高度不能达到3m。（3）由抛物线的表达式得：即 x2-6x+14=0因为=（-6）2+4x1x140所以方程无实数根 一元二次方程ax2+bx+c=m的根就是二
16、次函数y=ax2+bx+c与直线y=m（m是实数）图象交点的横坐标。 既可以用求根公式求二次方程的根，也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根。说一说 从例2可以看出，已知二次函数y=ax2+bx+c（a 0）某一个函数值y=M，求对应的自变量的值时，需要解一元二次方程ax2+bx+c=M，这样二次函数与一元二次方程就紧密地联系起来了。1.求下列抛物线与x轴的交点的横坐标：它与x轴有交点，则y=0解这个方程（x2)(x+1）= 0 x1=2， x2=1 与x轴交点的横坐标为（2，0）、（1，0）解：课堂达标它与x轴有交点，则y=0 x1= x2= 与x轴交点的横坐标为（ ，0）解:解:=（-2）2-4130？（3）x取什么值时，y4（2）卡车可以通过提示：当x=2时，y =3，32413131313O2.如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离。ABCD0.71.62.20.4EFOxyABCD0.71.62.20.4EF
