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1、拓展讲座第13讲试题选讲一、教学内容：小学数学竞赛实际上就是解题能力的竞赛，多做好题是提高解题能力的有效途径。本讲中也是 精选了各类数学竞赛的一些典型试题进行分析和解，希望对开拓思路起一点作用。二、例题见下页部分例题的难度较大，请大家迎难而上，不断进步。例 1 567X 142+426X811-8520X 50=分析巧算即是凑整，我们发现426是142的3倍，把142化成426即可。解：567X142 = 189X426。所以：567X142 +426X811 -8520X50= 189X426 + 426X811 一 8520X50= （189 + 811 ） X426 一 8520X50=
2、426000 - 426000=0评注发现数字中的特点，争取巧方法。例2 若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式学习好勤动脑X5 = 勤动脑学习好X8中。学习好勤动脑”表示的六位数最少是多少？分析学习好勤动脑=学习好X1000+勤动脑：勤动脑学习好=勤动脑X1000+学习好。这样 就只有两个量不知道了：学习好和勤动脑。之后就好做了。解：学习好勤动脑=学习好X1000+勤动脑；勤动脑学习好=勤动脑X1000+学习好。于是，学习好勤动脑X5二勤动脑学习好X8就变成了（学习好X 10004-勤动脑）X5二（勤动脑X1000+学习好）X8o化为：4992X学习好=7995X勤动脑（乘
3、法分配律）两边都除以39： （39既可以除尽4992,也可以除尽7995,如何找到这个39?请大家自己思考, 可以自学一下约数和倍数的知识）128 X学习好=205 X勤动脑。于是学习好是205的倍数，勤动脑是128的倍数。所以学习好最少是205,勤动脑最少是128。“学习好勤动脑”表示的六位数最少是205128o:“学习好勤动脑”表示的六位数最少是205128c评注把六个未知数的式子化成两个未知数的，再化成最简的式子就可以了，这样分析起来就 方便了。例3 一个自然数除以3余2,除以5余2,除以7余5,除以9余5,除以11余4,则满足 这些条件的最小自然数是多少？分析当然应该把余数相同的条件放
4、在一起考虑分析，所以知道该数减去2是3和5的倍数， 减去5是7和9的倍数，最后考虑对11的余数就可以了。解：1.该数减去2是3和5的倍数，得到：该数减去2是15的倍数：视频课程集锦：http:/zkikaoticn/shop/zxxhtm2. 该数减去5是7和9的倍数，得到：该数减去5是63的倍数：3. 综合1和2,从满足2的数字从小到大开始考虑5, 68, 131, 194, 257,得到257-2=255 = 15X17。所以257满足1和2。4. 又257除以11等于23余4,所以最终的案是257。:满足这些条件的最小自然数是257。评注本题综合了除法的性质和枚举法。注意到余数的特点，当
5、余数相同时利于处理。例4 一次知识竞赛共3道题，每题满分7分，给分时只能给出自然数1、2、3、4、5、6、7 分，己知参加竞赛后每人3道题得分的乘积都是36,而且任意两人各题得分不完全相同，那么参加 竞赛最多有多少人？分析把36分解成一些数的成绩，使这些数在1到7之间，且不完全相同就可以了，最后考 虑有多少种分解的方法。仍是枚举法。解：从最小的分数开始枚举。注意相同的数字，不同的顺序表示不同的得分情况。 最小的分数是1： 36 = 1X6X6。1, 6, 6： 6, 1, 6： 6, 6, 1共3人。 最小的分数是2： 36=2X3X6。2, 3, 6； 3, 2, 6； 2, 6, 3；6,
6、 3, 2： 6, 2, 3： 3, 6, 2。共6人。 最小的分数是3： 36 = 3X3X4。3, 3, 4： 3, 4, 3： 4, 3, 3。共3人。共 3+6 + 3=12 人。:参加竞赛最多有12人。评注看通题意之后就化成了把36拆分成3个数乘积的问题，之后就方便了。其实就是利用枚 举法，但是表面上看不出来，只有仔细分析之后才能发现。例5食品店上午卖出每千克为20元、25元、30元的三种糖果共100千克，共收入2570元。 己知其中售出每千克25元和每千克30元的糖果共收入了 1970元。每千克25元的糖果售出了多少 千克？分析先发现可以算出每千克20元的糖果的千克数，然后再考虑另
7、外两种糖果。方法就是假 设法。解： 2570-1970=600 元。 600-20=30 千克。 于是每千克25元和每千克30元的糖果共千克，收入了 1970元。 假设全部买了每千克25元的糖果，则收入 元，差 元。 每千克25元和每千克30元相差30-25=5元。 于是，每千克30元有 千克，每千克25元有 千克。:每千克25元的糖果售出了千克。评注三个量，需要各个击破，化成两个量之后就利用假设法即可。例6按规律排列的一串数：2, 5, 9, 14, 20, 27,，这串数的第2004个数是多少？分析找规律：这串数的差是依次序的自然数(从3开始)，之后就好做了。解：这串数的第 2004 个数
8、是 2 + 3 +4 + + 2005 = ( 2+2005 ) X2004= (2 + 2005 =2007, 3 +2001 = 2007,，1002 + 1005 = 2007, 1003 +1004 =2007, 共 2004/ 2=1002 对，也就是 1002 个 2007)评注1.简单等差数列的求和方法(首尾搭配法)2. 考虑数列规律时往往要看两两之差。例7为迎接“奥运会”,某校由男生48人，女生32人组成仪仗队。要把他们排成n行（n 1）,并且使每行中男、女生人数分别相等。问：一共有多少种排法？各种排法的每行中男、女生 各有多少人？分析由题意，48=每行中男生人数Xn： 32=
9、每行中女生人数？ n。所以n既可以除尽48, 也可以除尽32。枚举即可。解：48=2X2X2X2X3。视频课程集锦：http:/zkikaoticn/shop/zxxhtm 32=2X2X2X2X2。 所以n必然可以除尽2X2X2X2二16。 n=2,每行男生24,女生16；N=4,每行男生12,女生8：N=8,每行男生6,女生4；N=16,每行男生3,女生2。共4种。:一共有4种排法。评注从n开始枚举，本不难：但是要知道从题目中哪个量开始枚举就不太容易了。一般我们 首先会考虑题目中出现的最频繁的那个关键量。例8国际象棋比赛的奖金总数为10000元，发给前五名。每一名的奖金都不一样，名次在 前
10、的钱数要比名次在后的钱数多。每份奖金钱数都是100元的整数倍。现在规定，第一名的钱数是 第二名、第三名的钱数之和，第二名的钱数是第四名、第五名的钱数之和，那么第三名最多能得多 少元？分析由于钱数都是100的倍数，所以把所有钱数都除以100再考虑，数就小多了，也就方便 一些。再根据条件“第一名的钱数是第二名、第三名的钱数之和，第二名的钱数是第四名、第五名 的钱数之和”，就知道总钱数二2 X第一名的钱数+第二名的钱数=2X第三名的钱数+ 3 X第二名 的钱数。之后就简单了。解：把所有钱数都除以100再计算。这样总钱数是100。 根据条件第一名的钱数是第二名、第三名的钱数之和，第二名的钱数是第四名、
11、第五名的 钱数之和”,就知道总钱数二2X第一名的钱数+第二名的钱数二2X第三名的钱数+3X第二名的钱数。 考虑第三名时，要考虑第三名的奖金少于第一名和第二名的。所以，100=2X第三名的钱数 + 3 X第二名的钱数5X第三名的钱数，于是第三名的钱数最多为19。但是又因为：当第三名钱数为19时100 -2X19 = 62不是3的倍数：当第三名钱数为18时100 -2X 18=64不是3的倍数：当第三名钱数为17时100 -2X17 = 66是3的倍数。因此第三名的钱数最多是17,第二名的钱数是22,第一名的钱数是39。第四名和第五名的钱 数总和是22。符合题意。 因此，第三名的钱数最多为1700
12、元。:第三名最多能得1700元。评注题目中大都是不等的关系（大小关系），我们应该首先列出一个相等的关系，再利用大 小关系考虑：还要注意最后检查所得的最大（小）值是否符合题意，是不是需要进行调整。三、总结：本讲中也是精选了各类数学竞赛的一些典型试题进行分析和解，希望对开拓思路起一点作用。作业：除了讲课过程中留给大家的自己思考的问题，下面再给大家留几道练习题目：1. 11U11X 999999+999999 X 777777=。2. 用1台天平和重1克、3克、9克的砥码各一个，可称量不同的重量有多少种？3. 一个四位数的数码都是由非零的偶数码组成，它又恰是某个偶数码组成的数的平方，则这个 四位数是多少？
