注册电工程师高等数学公式●向量及其线型运算：交换律ab＝ba，结合律：（ab）c＝a（bc），b－a＝b(－a），|ab｜｜a｜|b｜，|a-b||a｜｜b｜，|λa |｜λ|｜a|，定理：设向量a0，那么,向量b和向量a平行的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，是b＝λa.a＝=（－)i＋(－)j＋（－)k或a＝＝|a｜Cosa，＝｜a|Cosb,＝|a|Cosc，｜a｜＝,Coa＋Cob＋Coc＝1●数量积：设向量a与向量b的夹角为θ(1θ），向量a和向量b的数量积是一个数量记做a.b，其大小为|a｜｜b｜ Cosθ 即:ab＝｜a||b|Cosθ＝＋＋向量a在轴u上的投影（Prb）等于向量a的模乘以轴和向量a的夹角φ的余弦，即（Prb)＝|a｜Cosφ数量积等于：ab＝|a｜（Prb）＝｜b｜（Pra），交换：ab＝ba 分配：（ab）c＝abac结合：(λa)b＝λ（ab），λ为实数●向量积：ab即C=ab |c｜＝|ab｜＝｜a｜｜b｜ Sinθ＝｜（－）i+（－）j+（－)|,c的方向垂直a与b所决定的平面●a＝，b＝ ab＝＋＋ab＝{－，－，－｝.向量a和向量b平行的充分必要条件是ab＝0。
ba＝－ab●●●●平面●平面点法式方程：设平面过点（，，），它的法向量n＝{A,B,C｝，则平面的方程为A(x－）＋B（y－)＋ c(z－)＝0●平面的一般方程Ax+By+Cz+D＝0, n＝是该平面的法向量●截距式方程:＋＋＝1，a、b、c依次称为平面在x、y、z轴上的截距.●两平面的夹角（锐角）：平面方程分别为Ax+By+Cz+D＝0，Ax+By+Cz+D＝0，则夹角Cosθ==，平面1垂直平面条件2：＋+=0.平面1平行平面2条件：＝＝.●空间1点（，，）到平面Ax+By+Cz+D＝0距离:d＝●●●●直线●空间直线的一般方程：空间直线是平面1：x＋y+z＋=0.和平面2x＋y+z＋=0的交线，则直线L的方程为：x＋y+z＋=0和2x＋y+z＋=0●直线的对称式方程：设直线L过点（，，）,它的一个方向向量为s＝，则直线L的方程：＝＝●直线参数方程：＝＝＝t，则1： x＝＋mt 2：y＝＋nt 3:z＝＋pt.●两直线夹角(锐角):L1方程:＝＝, L2方程:＝＝,则L1、L2的夹角Cosθ＝L1垂直L2：＋+=0L1平行L2:＝＝●直线和平面夹角：直线方程＝＝，平面方程Ax+By+Cz+D＝0则直线和平面的夹角Sinθ＝,直线垂直平面＝＝，直线平行平面：Am＋Bn+Cp=0。
●柱面:已知旋转曲面的母线C的方程为f（y，z）＝0，x＝0旋转轴为z轴，只要将母线的方程f（y，z)＝0中的y换成，便得曲线C绕Z轴旋转所成的旋转曲面方程即：f（,z)＝0椭圆柱面+＝1双曲柱面：－＝1.抛物柱面：x＝ay●二次曲面球面：(x-x）+（y—y)+(z—z）＝R圆锥面：+＝z椭圆锥面：+＝z（ab）.椭球面：++＝1椭球抛物面：+＝z，+＝－z双曲抛物面:－＝z.单叶双曲面：+－＝1双叶双曲面：－－＝1●●●微分学 函数左右极限:当函数f（x）当x－时的极限存在的充分必要条件时函数的左右极限均存在且相等，即f（)＝f（）●极限＝1 ,，e＝271828●无穷小比较：＝0 则是比高阶无穷小（是比低阶无穷小）,＝c 则是比同阶无穷小,＝1 则是比等阶无穷小●等阶无穷小性质：x－0,x~sinx~tanx，1－cosx~/2,ln（1＋x）～x,e－1~x,－1～x/n●第一类间断点：X是f（x）的间断点,但f（）及f（)均存在不是第一类间断点的就是第二类间断点第一类间断电分为跳跃间断点和可去间断点,当f（x），f（x)都存在但不相等，为跳跃间断点当f（）及f（）均存在且相等，为可去间断点。
●●●●导数：可导必连续，连续不一定可导y－y＝－f(x－x）,求导法则：①（uv）＝uv②（Cu）= Cu③（uv)＝uv+ uv④(u/v）=( uv- uv)/v●反函数的求导法则:原函数导数f（x)＝●复合函数的求导法则：y＝f(u），u＝(x）则dy/dx＝或者y（x）＝f（u)（x)●隐函数y＝F（x)求导法则,dy/dx＝－F（x)/ F（y)●参数方程求导法则参数方程为｛x＝(t），y＝（t）｝,dy/dx＝(dy/dt)/（dx/dt）＝（t)/(t）●常见n阶导数公式：＝，＝Sin（x+n)，＝Cos（x+n)，＝（－1)…（—n+1)，=（—1).高阶导数求导法则：（uv)＝uv●微分f（x）＝dy/dx●罗必塔法则：1:对于和：①条件当xa（或x）时，f（x）0且F（x)0.②条件f（x）及F(x）都存在,且F(x)0③存在（或为无穷大)，则＝其他尚有0、－、0、1、的未定式，均可以通过变形化为和的形势●函数性态判定定理1：函数f(x)在点x可导，且在x处取得极值,那么f（x)＝0函数的导数等于0的点为函数的驻点，函数的极值点是驻点,反之不成立定理2：设函数f（x）在x处连续且可导，则①f（x)在x左侧时f(x）〈0，f(x)在x右侧时f(x)〉0,则函数在x处取最小值.②f（x)在x左侧时f(x）〉0，f(x)在x右侧时f(x)〈0,则函数在x处取最大值.③若f（x)在x点左右邻域内正负号不发生变化，则在x没有极值。
定理3：设函数f(x）在x处f（x)＝0，f（x)0,那么①当f（x）〈0,函数在x处取最大值,图形呈凸形②当f(x)〉0,函数在x处取最小值,图形呈凹形●拐点：连续函数y＝f(x）凹弧和凸弧的分界点如果f(x)＝0或f(x)不存在，而f（x）在x的左右两侧邻近异号，则点（x，f (x)）就是曲线的一个拐点●偏导数,1：多元复合函数的求导法则，设u＝（x，y）、v＝（x、y）均具有偏导数,而z＝f（u，v）,则复合函数z＝f（（x，y），（x、y)）的偏导数存在，且＝+，＝+2：隐函数求导法则：设方程F（x、y、z)＝0确定一个隐函数z＝f（x，y），函数F(x、y、z)具有连续偏导数且F0，则有＝－，＝－.●函数可微分的充分条件是函数具有连续偏导数●偏导数的应用.①：空间曲线的切线和法平面:空间曲线{x＝（t）,y＝（t），z＝（t)}，在对应参数t＝t的点(x，y，z）处的切线方程＝＝，法平面方程++＝0②:曲面的切平面与法线：曲面1方程F(x、y、z)＝0在其上一点M（x、y、z）处的切平面方程为F（x,y，z）+ F（x，y,z）+ F（x，y,z）＝0,法线方程为＝＝③：方向导数与梯度：方向导数|＝f(x，y）Cos+ f（x,y）Cos。
Cos、Cos为方向l的方向余弦.函数f(x，y）在点P(x，y)的梯度向量gradf(x，y）= f（x,y）i+ f（x，y）j●偏导数求多元函数的极值1：定理1必要条件：设z＝f（x,y)在点（x，y）具有偏导数，则它在点（x,y）取得极值的必要条件f（x,y）＝f（x，y）＝02:定理2充分条件：设z＝f（x,y）在点(x,y)某邻域内具有二阶连续偏导数,且f（x，y）＝f(x,y）＝0 ，f(x,y）＝A, f（x,y）＝B，f(x，y)＝C，则有①当AC-B〉0时，具有极值，且当A〈0时f（x，y）为极大值， 当A<0时f（x,y)为极小值②当AC—B<0时,不是极值●定积分:f(x)dx=F(x),定积分性质：①［f(x）+g(x)］dx②kf（x）dx＝kf(x）dx③f（x)dx＝f（x）dx+f（x）dx④ dx＝b－a⑤若在区间[a，b］上f(x）g(x)，则f(x)dxg(x）dx⑥|f（x)dx ｜│f（x)│dx，(a
●f（x)dx＝F(x）|＝F(b）－F(a) ●换元积分法 1：第一类换元法设函数f(u)有原函数，u＝(x）可导,则有f［（x）］（x)dx[f（u）du］常用凑微分公式①f（ax+b）dx＝f（ax+b)d（ax+b)②f(x)xdx＝f(x）d(x）， f（）＝2f(）d(） ③f（lnx)dx/x＝f(lnx）dlnx ④f（e)d x＝f(e）d e⑤f（Sinx)Cosxdx＝f（Sinx)dSinx⑥f(Cosx）Sinxdx＝－f（Cosx）dCosx⑦f（tanx)＝f（tanx）dtanx⑧f(Cotx)＝－f(Cotx）d（Cotx）⑨f(arcSinx)＝f（arcSinx)d (arcSinx)⑩f（arcSin）＝f（arcSin）d(arcSin)●定积分几何应用★平面图形的面积：①直角坐标情形：设平面图形由曲线y＝f（x）,y＝g（x），f(x)g（x）和直线x＝a，x＝b所围成，则其面积A=dx②极坐标情形：设平面图形由曲线＝()及射线＝，＝所围成，其面积A=d★体积：①旋转体的体积，设旋转体由曲线y＝f（x)与直线x＝a，x＝b及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成，则V=dx。
②平行截面面积为已知的立体的体积，设立体由曲面及平面x＝a，x＝b所围成，过点x且垂直与x轴的截面面积为A(x）,其体积V＝dx.★平面曲线的弧长：①直角坐标情形：设曲线的方程为y＝f(x)(axb)， f(x)在[a，b］上具有一阶连续导数，则弧长s＝dx，②参数方程情形:设曲线的参数方程为x＝（t)，y＝(t），（t)，（t）、(t)在［，］上具有连续导数，则其弧长s＝dt③极坐标情形，设曲线的极坐标方程＝(），(），()在［,]上具有连续导数，则其弧长s＝d●定积分物理应用★变力沿直线所作功，设物体受变力F(x)的作用，沿x轴由点a运行倒点b，力F的方向同x轴方向的正向，则力所作功W=dx●二重积分计算（直角坐标)★积分区域D={（x，y）│（x）y（x）,x[a,b］｝，则＝＝★积分区域D={(x，y）│（y）x（y)，y［c，d］｝，则=●二重积分计算（极坐标）： D=｛(，）│()x（）,［，］｝,则＝＝.●重积分的应用：曲面的面积：设曲面的方程为z＝f(x,y)，在xOy面上的投影区域D，f(x,y）在D上具有一阶连续偏导数，则曲面面积A=●平面曲线积分的计算法★对弧长的曲线积分的计算法，设f(x,y)在曲线弧L上连续,L的参数方程为｛x=,y=，(t)｝,其中，具有一阶连续导数,且+0，则＝，。
★对坐标的曲线积分的计算方法：设P（x，y）在有向曲线弧L上连续，L的参数方程为｛x＝（t)，y＝（t）},+0，则＝●格林公式：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x，y)及Q（x，y)在D具有一阶连续偏导,则＝，L为D的取正向的边界曲线●●●●幂级数概念：另t＝，则●阿贝尔定理：若级数当x＝x时收敛，则对符合<的一切x，级数绝对收敛；若级数当x＝x时发散，则对符合〉的一切x，级数发散●对幂函数，若＝或＝则它的收敛半径R:①当0时，R=1/.②当=0时，R=+③当+时，R＝0.●泰勒级数概念：若f（x）在点x处具有各阶导数，则幂级数称为f(x）在点x处的泰勒级数，当x＝0时，级数称为函数f(x)的麦克劳林级数●常用函数展开成幂级数★将展开为x的幂级数:＝1－x+x+…+（－1）（x)+…(－1〈x〈1）★将展开为x的幂级数：＝1+x+x+…+ (x)+…(－1