精选学习资料 - - - - - - - - - 优质资料 欢迎下载5.1 多边形（ 1）学习目标：1. 明白四边形的概念；2. 懂得四边形的内角和定理,会利用内角和定理进行运算；3. 懂得四边形的外角和定理,会利用外角和定理进行运算；凸四边形： 把四边形的任何一边向两方延长, 假如其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫凸四边形；如图（ 1）是凸四边形,下图（ 2）不是凸四边形；图（ 1） 图（ 2）我们只争论凸四边形和凸多边形；3.多边形的对角线,四边形有两条对角线；如图, 四边形ABCD 中, AC ,BD 是它的两条对角线；类似地我们可以给出多边形对角线的概念,如图,五边形ABCDE 中, AC ,AD ,BD,BE,CE 是它的五条对角线；即 =5（条）；同样,我们可以运算出六边形有=9（条）对角线（请同学们自己动手画图） ⋯ ⋯ ；我们可以得出n 边形的对角线有条（ n 为正整数）；4.四边形内角和定理：四边形内角和等于360° ,（一条对角线将四边形分成两个三角形,由此推出四边形内角和为 2×180°=360° ）；类似地我们可以得出五边形内角和为 3×180°=540° ,n 边形内角和等于 〔n-2〕 ·180°（即多边形内角和定理）；四边形外角和等于360° ,任意多边形的外角和也是360°（多边形内角和定理的推论）；二、留意问题1、关于四边形的概念,可以仿照三角形,通过类比的分法来建立,但要留意的是,名师归纳总结 三角形的三个顶点确定一个平面,所以三顶点总是共面的,也就是说三角形肯定是平面第 1 页,共 24 页图形, 但四边形就不是这样,它的四个顶点有不共面的情形,又限于我们现在争论的是- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优质资料 欢迎下载平面图形,所以在四边形的定义加上 “ 在同一平面内 ” 这个条件；2、三角形的三边确定后,三角形的外形就确定了,而四边形的四条边长确定后,不能确定它的外形,它的各个角的大小可以转变,四边形转变外形时,只转变某些角的大小,它的边长不变,周长不变,这正是四边形的不稳固性,但它仍是四边形,所以它 的内角和不变； 三、例题分析： 例 1、四边形最多有几个钝角？几个直角？几个锐角,最少有几个钝角？几个锐 角？分析：依据内角和定理来列举；解：四边形中最多有三个钝角,四个直角、三个锐角,可以没有钝角和锐角；假设有四个钝角,就它的内角和就大于360°,这和四边形内角和为360°冲突,所以它最多有三个钝角,假设有四个锐角,就它的内角和又小于360°,故此也是错误的,最多只能有三个锐角；当然可以有四个直角,此时它是矩形（长方形）,此时即没有钝 角也没有锐角；例 2、已知四边形各内角之比为 3:3:5:4,求四个内角；分析：由四边形内角和定理知,四边形内角和为360° ；依条件可设其内角为3x,3x,5x,4x, 依据题意得： 3x+3x+5x+4x=360 °,解这个一元方程即可；解：设四个内角分别为 3x,3x,5x,4x ,就 3x+3x+5x+4x=360° ,x=24° , ∴3x=72° ,5x=120° ,4x=96° , ∴四边形各内角分别为 72°,72°,120°, 96°；例 3.四边形 ABCD 中,∠ A=∠ B=∠C,∠ D 的外角度数是 75°,求∠ A？解：由已知∠ D 的外角为 75°∴∠ D=180° -75 °=105° 又∵∠ A+∠ B+∠C+∠ D=360° （四边形内角和为 360°）∵∠ A= ∠B=∠C ∴3∠A+105° =360° ∴∠ A=85° 答：∠ A=85° ；例 4、已知如图,在四边形 ABCD 中,∠ B 和∠ C 的平分线相交于点 O,求证：∠BOC= 〔∠A+ ∠D）分析：此题综合运用了三角形内角和定理,四边形内角和定理及角平分线等学问,通过等量代换及和,差运算证得结果；名师归纳总结 证明：∵∠ A+∠D+ ∠DCB+ ∠CBA=360°（四边形内角和定理）第 2 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优质资料欢迎下载∠CBA ∴∠ DCB+ ∠CBA=360°-〔∠A+ ∠D）又∵∠ 1=∠DCB ,∠ 2=∴∠ 1+∠ 2=〔∠ DCB+ ∠CBA〕=[360 °-（∠ A+ ∠D）]=180°-〔∠ A+∠D）又∵∠ BOC+ ∠1+∠2=180°∴∠ BOC=180°-〔∠1+∠2〕=180°-[180 °-（∠ A+ ∠D〕]=〔∠A+ ∠D）即：∠ BOC=〔∠A+ ∠D〕；5.1 多边形（ 2）1．多边形及其内角和：（1）n 边形的内角和：（2）多边形的外角和等于 360° ．（3）多边形的对角线：①从 n 边形的一个顶点作对角线有：（ n-3 ）条；②n 边形共有： 条对角线；（4）正多边形：各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形； 例 1.一个多边形除一个内角外,其余各角和为 形的边数；2210°,求这个内角的度数及多边分析：考虑多边形的内角和与边数的关系,可以利用方程的思想来解决；解：设这个多边形的边数为n,这个内角的度数为x°依题意得 〔n-2〕 ·180°=x° +2210°名师归纳总结 又∵ 0