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1、-2019年23题2314分如图，RtABC中，ACB90，ACBC，P为ABC部一点，且APBBPC1351求证：PABPBC；2求证：PA2PC；3假设点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12h2h3【分析】1利用等式的性质判断出PBCPAB，即可得出结论；2由1的结论得出，进而得出，即可得出结论；3先判断出RtAEPRtCDP，得出，即h32h2，再由PABPBC，判断出，即可得出结论【解答】解：1ACB90，ABBC，ABC45PBA+PBC又APB135，PAB+PBA45PBCPAB又APBBPC135，PABPBC2PABPBC在RtABC中，AB
2、AC，PA2PC3如图，过点P作PDBC，PEAC交BC、AC于点D，E，PFh1，PDh2，PEh3，CPB+APB135+135270APC90，EAP+ACP90，又ACBACP+PCD90EAPPCD，RtAEPRtCDP，即，h32h2PABPBC，即：h12h2h3【点评】此题主要考察了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出EAPPCD是解此题的关键2019年北京27题277分AOB30，H为射线OA上一定点，OH+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150，得到线段PN，连接ON1依题意补全图1
3、；2求证：OMPOPN；3点M关于点H的对称点为Q，连接QP写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ONQP，并证明【分析】1根据题意画出图形2由旋转可得MPN150，故OPN150OPM；由AOB30和三角形角和180可得OMP30OPM150OPM，得证3根据题意画出图形，以ONQP为条件反推OP的长度由2的结论OMPOPN联想到其补角相等，又因为旋转有PMPN，已具备一边一角相等，过点N作NCOB于点C，过点P作PDOA于点D，即可构造出PDMNCP，进而得PDNC，DMCP此时加上ONQP，则易证得OCNQDP，所以OCQD利用AOB30，设PDNCa，则OP2a，ODa再设DMCP*
4、，所以QDOCOP+PC2a+*，MQDM+QD2a+2*由于点M、Q关于点H对称，即点H为MQ中点，故MHMQa+*，DHMHDMa，所以OHOD+DHa+a+1，求得a1，故OP2证明过程则把推理过程反过来，以OP2为条件，利用构造全等证得ONQP【解答】解：1如图1所示为所求2设OPM，线段PM绕点P顺时针旋转150得到线段PNMPN150，PMPNOPNMPNOPM150AOB30OMPAOBOPM30150OMPOPN3OP2时，总有ONQP，证明如下：过点N作NCOB于点C，过点P作PDOA于点D，如图2NCPPDMPDQ90AOB30，OP2PDOP1ODOH+1DHOHOD1O
5、MPOPNOMPOPN即PMDNPC在PDM与NCP中PDMNCPAASPDNC，DMCP设DMCP*，则OCOP+PC2+*，MHMD+DH*+1点M关于点H的对称点为QHQMH*+1DQDH+HQ1+*+12+*OCDQ在OCN与QDP中OCNQDPSASONQP【点评】此题考察了根据题意画图，旋转的性质，三角形角和180，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质第3题的解题思路是以ONQP为条件反推OP的长度，并结合2的结论构造全等三角形；而证明过程则以OP2为条件构造全等证明ONQP2019年北京28题287分在ABC中，D，E分别是ABC两边的中点，如果上的所有点都在ABC的
6、部或边上，则称为ABC的中弧例如，图1中是ABC的一条中弧1如图2，在RtABC中，ABAC，D，E分别是AB，AC的中点，画出ABC的最长的中弧，并直接写出此时的长；2在平面直角坐标系中，点A0，2，B0，0，C4t，0t0，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点假设t，求ABC的中弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值围；假设在ABC中存在一条中弧，使得所在圆的圆心P在ABC的部或边上，直接写出t的取值围【分析】1由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE2，最长中弧即以DE为直径的半圆，的长即以DE为直径的圆周长的一半；2根据三角形中弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，当t时，要注意圆心P在
7、DE上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角AEP满足90AEP135；根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值【解答】解：1如图2，以DE为直径的半圆弧，就是ABC的最长的中弧，连接DE，A90，ABAC，D，E分别是AB，AC的中点，BC4，DEBC42，弧2；2如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EGAC交FP于G，当t时，C2，0，D0，1，E1，1，F，1，设P，m由三角形中弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，m1，OAOC，AOC90ACO45，DEOCAEDACO45作EGAC交直线FP
8、于G，FGEF根据三角形中弧的定义可知，圆心在点G的下方含点G直线FP上时也符合要求；m综上所述，m或m1如图4，设圆心P在AC上，P在DE中垂线上，P为AE中点，作PMOC于M，则PM，Pt，DEBCADEAOB90AE，PDPE，AEDPDEAED+DAEPDE+ADP90，DAEADPAPPDPEAE由三角形中弧定义知，PDPMAE，AE3，即3，解得：t，t00t【点评】此题是一道圆的综合题，考察了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中弧新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题2019年24题2412分如图，四边形ABCD接于O，ABAC，ACBD，垂足为E
9、，点F在BD的延长线上，且DFDC，连接AF、CF1求证：BAC2CAD；2假设AF10，BC4，求tanBAD的值【分析】1根据等腰三角形的性质得出ABCACB，根据圆心角、弧、弦的关系得到，即可得到ABCADB，根据三角形角和定理得到ABCBAC90BAC，ADB90CAD，从而得到BACCAD，即可证得结论；2易证得BCCF4，即可证得AC垂直平分BF，证得ABAF10，根据勾股定理求得AE、CE、BE，根据相交弦定理求得DE，即可求得BD，然后根据三角形面积公式求得DH，进而求得AH，解直角三角函数求得tanBAD的值【解答】解：1ABAC，ABCACB，ABCADB，ABCBAC90
10、BAC，BDAC，ADB90CAD，BACCAD，BAC2CAD；2解：DFDC，DFCDCF，BDC2DFC，BFCBDCBACFBC，CBCF，又BDAC，AC是线段BF的中垂线，ABAF10，AC10又BC4，设AE*，CE10*，由AB2AE2BC2CE2，得100*28010*2，解得*6，AE6，BE8，CE4，DE3，BDBE+DE3+811，作DHAB，垂足为H，ABDHBDAE，DH，BH，AHABBH10，tanBAD【点评】此题属于圆综合题，考察了圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，圆心角、弧、弦的关系，相交弦定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握并灵活
11、运用性质定理，属于中考压轴题2019年27题2710分通过对下面数学模型的研究学习，解决问题【模型呈现】如图，在RtABC，ACB90，将斜边AB绕点A顺时针旋转90得到AD，过点D作DEAC于点E，可以推理得到ABCDAE，进而得到ACDE，BCAE我们把这个数学模型成为“K型推理过程如下：【模型应用】如图，在RtABC接于O，ACB90，BC2，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过点D作DEAC于点E，DAEABC，DE1，连接DO交O于点F1求证：AD是O的切线；2连接FC交AB于点G，连接FB求证：FG2GOGB【分析】1因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点O在AB上，A
12、B为O直径，故只需证ADAB即可由ABC+BAC90和DAEABC可证得DAE+BAC90，而E、A、C在同一直线上，用180减去90即为BAD90，得证2依题意画出图形，由要证的结论FG2GOGB联想到对应边成比例，所以需证FGOBGF其中FGOBGF为公共角，即需证FOGBFGBFG为圆周角，所对的弧为弧BC，故连接OC后有BFGBOC，问题又转化为证FOGBOC把DO延长交BC于点H后，有FOGBOH，故问题转化为证BOHBOC只要OHBC，由等腰三角形三线合一即有BOHBOC，故问题继续转化为证DHCE联系【模型呈现】发现能证DEAACB，得到AEBC2，ACDE1，即能求ADAB又因为O为AB中点，可得到，再加上第1题证得BAD90，可得DAOAED，所以ADOEAD，DOEA，得证【解答】证明：1O为RtABC的外接圆O为斜边AB中点，AB为直径ACB90ABC+BAC90DAEABCDAE+BAC90BADDAE+BAC90ADABAD是O
