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1、第四章第四章 理想流体动力学理想流体动力学 本章主要是研究理想流体的运动和引起运动的原因力之间的关系。其中主要内容是流体的能量方程伯努利方程和理想流体的动量定理，以便研究流体和物体之间的作用力问题。 4.1 4.1 欧拉运动微分方程式欧拉运动微分方程式 4.1.1 4.1.1 欧拉运动微分方程式的导出欧拉运动微分方程式的导出 第2章流体静力学中曾推导出流体静力学的平衡微分方程式 工程流体力学工程流体力学这里的fx、fy、fz是流体质量力在x、y、z轴上的投影，且质量力中包含以下两项：重力和惯性力。在这里如果假定fx、fy、fz仅仅是重力在三个坐标轴上的投影，那么惯性力在x、y、z轴上的投影分别
2、为： 、 和 。于是，上式便可写成 工程流体力学工程流体力学上式整理后便得到 工程流体力学工程流体力学将加速度展开成欧拉表达式 用矢量表示为 对于恒定流动 工程流体力学工程流体力学上式称为流动欧拉运动微分方程式。 对于不可压缩流体： 对于可压缩流体： 以上可通过流体的状态方程确定。 4.1.2 4.1.2 欧拉方程式的物理意义和讨论欧拉方程式的物理意义和讨论 式（4.3）的每一项都表示单位质量的力，等号的左边表示惯性力：由非恒定引起的局部惯性力和非均匀性引起的变位惯性力；等号的右边表示重力和压强的合力。 对于欧拉方程的物理意义讨论如下： 工程流体力学工程流体力学(1)对于静止流体, ,方程式为
3、 ,即为静力学基本方程。 (2)对于恒定流动， 。 （3）在方程中有8个物理量： 、 、 、 、 、 ， 和p。一般情况下，表示重力的 、 、 是已知的，这个方程组和连续性方程及流体的状态方程，在一定条件下积分便可得到压强p的分布规律。 工程流体力学工程流体力学4.2 4.2 伯努利方程伯努利方程 4.2.1 4.2.1 沿流线的伯努利方程沿流线的伯努利方程 伯努利方程由瑞士科学家伯努利（Bernoulli）在1738年首先提出。 对于沿流线s的欧拉运动微分方程式式（4.2）可简化成 引入限定条件：（1）作用在流体上的质量力仅为重力，且z轴向上，如图4.1所示。 工程流体力学工程流体力学2）流
4、体为不可压缩流体 3）对于恒定流动（流动参数与t无关） 将上式沿流线积分,得 （ 称为流线常数） 图4.1 沿流线的伯努利方程工程流体力学工程流体力学或 式（4.4）就是沿流线的伯努利方程，这是水力学中最常用的方程之一。 伯努利方程的限制条件包括：（1）理想流体；（2）恒定流动；（3）不可压缩流体；（4）质量力仅为重力；（5）沿流线。 在同一条流线上取1，2两点，则式（4.4）可表达成 ：工程流体力学工程流体力学 倘若在上述条件下，再加上流动是无旋运动（势流）的条件，可得到 ： 上式称为拉格朗日方程，等号右边的常数C称为通用常数，在整个流场中均相等。 倘若流动是非恒定流动，但有势，则可得到拉格
5、朗日积分式 式中 是流场的速度势。 当t是常数时， 对整个流场是个常数。 工程流体力学工程流体力学4.2.2 4.2.2 伯努利方程中各项的几何意义和物理意义伯努利方程中各项的几何意义和物理意义 1. 1. 几何意义几何意义 每一项都表示某一个高度： 是测压管高度，表示流体质点的压强高度，又称压 强水头；z是位置高度，表示流体质点的几何位置，又称位置 水头；工程流体力学工程流体力学 , H称为总水头。 是流速高度，又称流速水头； ，Hp是测压管水头；工程流体力学工程流体力学图4.2 水头线 在水力学中将流道各截面上相应水头高度连成水头线（图4.2），将位置水头和压强水头之和的连线称为测压管水头
6、线（或称水力坡度线，HGL）；总水头的连线称为总水头线（或称为能量波度线，EGL）。 工程流体力学工程流体力学2. 2. 物理意义物理意义 是单位重量流体具有的总势能；式（4.4）每一项都表示单位重量流体具有的某种能量。z是单位重量流体具有的位置势能； 是单位重量流体具有的压强势能； 是单位重量流体具有的动能； 是单位重量流体具有的总机械能。 伯努利方程表示理想流体恒定流动，沿同一条流线，各点单位重量流体的机械能守恒 。工程流体力学工程流体力学【例4.1】用水银比压计测量管中水流，过流断面中点流速如图（4.3）。测得A点的比压计读数 （不计损失）。求：（1）该管中的流速v； （2）若管中流体是
7、密度为0.8g/cm3的油， 仍不变，该点流速又为多少。 工程流体力学工程流体力学图4.3 点流速的测量【解】（1）管中流动若不计损失，则管中流动为均流。现要测量过流断面上A点的流速，用水银比压计来测量，其原理是：由于来流在A点受比压计的阻滞，该处的速度为零（或者A点为两条流线相交的前驻点）；该处动能全部转化成势能，而水银比压计另一端B点在管壁，该处的流速是管中均流每一点的速度，也可看成A点前方某一点的速度。应用理想流体伯努利方程：工程流体力学工程流体力学式中 是管中流体的重度。（2）若水流改为油 工程流体力学工程流体力学4.2.3 4.2.3 粘性流体的伯努利方程粘性流体的伯努利方程 粘性流
8、体在流动中，单位重量流体的能量不再守恒，总水头线不再是水平线，而是沿程下降线。 设 为粘性流体单位重量流体从1点到2点的机械能损失，称为沿流线的水头损失。根据能量守恒原理，则粘性流体的伯努利方程为 水头损失 也是具有长度的量纲。 工程流体力学工程流体力学工程流体力学工程流体力学4.3 4.3 伯努利方程的实际应用伯努利方程的实际应用 4.3.1 4.3.1 渐变流和急变流渐变流和急变流 流体在流动中又分为均匀流和非均匀流，对于非均匀流按流速随流向变化的缓急可分为渐变流和急变流两种，如图4.4。 工程流体力学工程流体力学图4.4 均匀流和非均匀流工程流体力学工程流体力学均匀流和非均匀流均匀流和非
9、均匀流: 在实用上均匀流的某些性质可适用于渐变流。主要是： (1)渐变流的过流断面接近于平面，面上各点的速 度方向接近平行； (2)定渐变流过流断面上的动压强按静压强的分布 规律。 表明在恒定渐变流的过流断面上，沿流线法线方向的压强变化规律与静止液体中一样。 即工程流体力学工程流体力学4.3.2 4.3.2 沿总流伯努利方程的应用沿总流伯努利方程的应用 总流的伯努利方程和流线的伯努利方程形式是类似的，但方程式中的各项均有“平均”意义，这从以下几方面来理解： (1)在总流中取11至22过流断面时，这些过流断面尽可能取在渐变流断面上，但它们之间截面间允许有急变流存在。 (2)一般来讲总流过流断面上
10、计算点取该断面的形状中心，由于在恒定渐变流过流断面上各点的势能满足 关系式，因此可理解成各点的势能是相等的，它也是过流断面上单位重量流体的平均势能。 工程流体力学工程流体力学(3)对于 项中的 ,一般应取过流断面上的平均流速 作为计算值。即总流的伯努利方程中单位重量流体的动能项 来进行计算，当过流断面流速分布比较均匀时,不需加动能修正因子 ，否则此项还需加动能修正因子 ，其中 的定义是: 一般取 1.0。 (4)对于粘性流体总流的伯努利方程，其中水头损失 项是表示由11至22断面的平均机械能损失，称为总流的水头损失。 工程流体力学工程流体力学总流的伯努利方程形式为 在圆管流动中，当流动为层流时
11、， ,当流动为紊流时, 。由于工程中绝大多数的实际管流均为紊流，因此通常取， 。 工程流体力学工程流体力学【例4.2】水由喷嘴出流，如图4.5，设d1=125mm，d2=100mm，d3=75mm，水银测压计读数 175mm，不计损失。求（1）H值；（2）压力表读数值。（该处管径同d2）工程流体力学工程流体力学图4.5 喷嘴出流【解】 （1）根据静压强分布规律，过流断面1-1和2-2处压强分布为 和 列出由11到22断面的总流伯努利方程（取动能修正因数 ）： 工程流体力学工程流体力学将（a）式代入上式，得 或连续性方程 或 工程流体力学工程流体力学（c）、（b）联立，得 由连续性方程 得 列出
12、由00到33断面的伯努利方程 工程流体力学工程流体力学（2）压力表处管径同 ，其处 列出由00至压力表断面处得伯努利方程 压力表读数为 工程流体力学工程流体力学4.3.3 4.3.3 空泡和空蚀现象空泡和空蚀现象 在一个大气压环境中，水 在时沸腾，水分子从液态转化为汽态，整个水体内部不断涌现大量气泡逸出水面。但是如果在常温下（ ），若使压强降低到水的饱和蒸汽压强2.4kPa（绝对压强）以下时，水也会沸腾。通常将这种现象称为空化，此时水中的汽泡称为空泡。 工程流体力学工程流体力学工程流体力学工程流体力学空泡现象空泡现象: 如图4.6，水流在过流断面11处由于流速急剧的增大，使得该处流体质点的压强
13、显著地降低，倘若此时压强下降至该水温下的汽化压强，这时水迅速汽化，使一部分液体转化为蒸汽，这就是空泡现象的产生。 工程流体力学工程流体力学图4.6 空泡现象 由于管径的突然扩大，流速急剧的减小，使得2-2断面处流体质点压强迅速增大，前生成的汽泡进入压强较高的区域而突然溃灭，空泡在溃灭时形成一般微射流，当空泡离壁面较近时，这种微射流像锤击一般连续打击壁面，造成直接损伤。空泡溃灭形成冲击波同时冲击壁面，无数空泡溃灭造成的连续冲击将引起壁面材料的疲劳破坏。这两种作用对壁面造成的破坏称为空蚀。 【例4.3】鱼雷在10米深的水下以50节的速度运动，倘若在雷身表面与水流相对速度为该速度的1.2倍。（如图4
14、.7所示。）求：（1）雷身表面最小压强为多少；（2）设水温为20C，雷身出现空泡时的鱼雷速度。 工程流体力学工程流体力学【解】 （1）作运动的相对变换，鱼雷静止，水流以50节速度流经鱼雷。 在雷身表面B点处水流速度 节， 节= 节=从A至B点处列伯努利方程 工程流体力学工程流体力学 雷身表面最小压强在B处，真空压强为47.76 ，该处的绝对压强为 （2）当雷身出现空泡时，则B点为最先出现空泡处，据题意水温在20C，水的汽化压强为2400 ，即B点压强为 此时发生空泡。 按（a）式 工程流体力学工程流体力学节 当鱼雷的速度为57.6节时在鱼雷B处出现空泡。 4.3.4 4.3.4 测速仪测速仪
15、在实际工程中经常要测量流场中某点的流体速度，测量管流中流体的流量，常用的有两种测速仪。 工程流体力学工程流体力学1. 1. 皮托测速管（皮托测速管（Pitot tubePitot tube） 皮托测速管，又称为皮托管（图4.8）。 皮托管正前方A点O点B点一条流线，（常称为零流线），该流线的伯努力方程 工程流体力学工程流体力学图4.8 皮托管原理由于 ，称为驻点， 称为驻点压强， 即为水流的速度 。故由（a）得 由于皮托管很细，它放置于流场中不会影响水流速度，即 ，且可以认为 。由（a）得因此工程流体力学工程流体力学由U形管水银液压差的读数得 由（c），（d）得 由于实际流体具有粘性，因此测到
16、的流速需乘上一个修正因数 （称为皮托管因数）一般作标定测量后确定。 流场中某点流速 毕托管就是通过内部测量 两点压强之差，通过上式换算成来流速度的一种测量某点流速的仪器。 工程流体力学工程流体力学2.2.文丘里管（文丘里管（Venturi tubeVenturi tube） 文丘里管是常用的测量管道流量的仪器，也称文丘里流量计，如图4.9所示。 取11，22两渐变流断面，列伯努利方程 列连续性方程 工程流体力学工程流体力学联立（a）,（b）解得: 流量 工程流体力学工程流体力学上式中 称为流速因数，式中 是主管中流体的重度。 文丘里管的流量公式为 由于实际流体两断面间有能量的消耗，因此实际测量的流量值要比理论值小，为此考虑修正系数（0.950.98），也称流量修正因数。故 在实际使用中文丘里管与管子的倾斜与否无关。 工程流体力学工程流体力学【例4.4】用文丘里流量计来测定管道的流量，设进口直径d1=100mm，喉管直径d2=50mm，水银压差计实测到水银面高度h=4.76cm，流量计的流量修正因数0.95。试求管道输水流量。 【解】 流速因数 流量公式 工程流体力学工程流体力学4.3.
