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1、一、选择题1函数f(x)x2lnx的最小值为()A.B1C0D不存在解析:选A.因为f(x)x,且x0.令f(x)0,得x1;令f(x)0,得0x0,解得x,即f(x)的单调递增区间为(,),(,)因为b(1,4),所以(,2)符合题意5已知函数f(x)exx2mx有极值点,则实数m的取值范围是()Am1Bm1C0m1D0m1解析:选B.因为f(x)exx2mx,所以f(x)exxm,因为f(x)exx2mx有极值点,所以关于x的方程exxm0有实根,且该实根使f(x)左右异号,设g(x)exx,ym,而g(x)ex1,所以当x0时,g(x)0时,g(x)0,所以函数g(x)exx在(,0)上
2、单调递减,在(0,)上单调递增,所以函数g(x)exx的极小值点为0,所以g(0)1为g(x)exx的最小值,所以实数m的取值范围是m1,故选B.6已知f(x)lnx,g(x)x22ax4,若对任意的x1(0,2,存在x21,2,使得f(x1)g(x2)成立,则a的取值范围是()A.B.C.D.解析:选A.因为f(x),易知,当x(0,1)时,f(x)0,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2上单调递增,故f(x)minf(1).对于二次函数g(x)x22ax4,易知该函数开口向下,所以g(x)在区间1,2上的最小值在端点处取得,即g(x)minming(1),g(2)要使对任意的x1
3、(0,2,存在x21,2,使得f(x1)g(x2)成立,只需f(x1)ming(x2)min,即g(1)且g(2),所以12a4且44a4,解得a.二、填空题7.dx_解析:dx1.答案:8(2018高考全国卷)曲线y(ax1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为2,则a_.解析:y(ax1a)ex,由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为2,得y|x0(ax1a)ex|x01a2,所以a3.答案:39已知函数f(x)x22ln x,g(x)x,若函数f(x)与g(x)有相同的极值点,则实数a的值为_解析:因为f(x)x22ln x,所以f(x)2x(x0),令f(x)0,得x1或x1(舍去),又当
4、0x0;当x1时,f(x)0,所以x1是函数f(x)的极值点因为g(x)x,所以g(x)1.又函数f(x)与g(x)x有相同极值点,所以x1也是函数g(x)的极值点,所以g(1)1a0,解得a1.经检验,当a1时,函数g(x)取到极小值答案:1三、解答题10已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值(1)确定a的值;(2)若g(x)f(x)ex,讨论g(x)的单调性解:(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x,因为f(x)在x处取得极值,所以f0,即3a20,解得a.(2)由(1)得g(x)ex,故g(x)exexexx(x1)(x4)ex,令g(x)0,解得x0或x1或x4.当x4时
5、,g(x)0,故g(x)为减函数;当4x0,故g(x)为增函数;当1x0时,g(x)0时,g(x)0,故g(x)为增函数综上知,g(x)在(,4)和(1,0)上为减函数,在(4,1)和(0,)上为增函数11已知函数f(x)1.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设m0,求函数f(x)在区间m,2m上的最大值解:(1)因为函数f(x)的定义域为(0,),且f(x),由得0xe.所以函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,)(2)当,即0m时,(m,2m)(0,e),函数f(x)在区间m,2m上单调递增,所以f(x)maxf(2m)1;当me2m,即me时,(m,e)(0,e
6、),(e,2m)(e,),函数f(x)在区间(m,e)上单调递增,在(e,2m)上单调递减,所以f(x)maxf(e)11;当me时,(m,2m)(e,),函数f(x)在区间m,2m上单调递减,所以f(x)maxf(m)1.综上所述,当0m时,f(x)max1;当me时,f(x)max1;当me时,f(x)max1.12已知常数a0,f(x)alnx2x.(1)当a4时,求f(x)的极值;(2)当f(x)的最小值不小于a时,求实数a的取值范围解:(1)由已知得f(x)的定义域为(0,),f(x)2.当a4时,f(x).所以当0x2时,f(x)2时,f(x)0,即f(x)单调递增所以f(x)只有极小值,且在x2时,f(x)取得极小值f(2)44ln2.所以当a4时,f(x)只有极小值44ln2.(2)因为f(x),所以当a0,x(0,)时,f(x)0,即f(x)在x(0,)上单调递增,没有最小值;当a0得,x,所以f(x)在上单调递增;由f(x)0得,x,所以f(x)在上单调递减所以当a0时,f(x)的最小值为极小值,即falna.根据题意得falnaa,即aln(a)ln20.因为a0,所以ln(a)ln20,解得a2,综上实数a的取值范围是2,0)