《即本征值取连续谱课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《即本征值取连续谱课件（122页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 三三 章章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量The Dynamical variable in Quantum Mechanism 引引言言经典粒子经典粒子只有粒子性只有粒子性用坐标和动量来描述。用坐标和动量来描述。状态：状态：力学量：力学量： 在任何状态下都有确在任何状态下都有确定值。定值。微观粒子微观粒子波粒二象性波粒二象性用波函数来描述。用波函数来描述。状态：状态：力学量：力学量： 一般情况下没有有确一般情况下没有有确定值。定值。因此，在量子力学中力学量是用算符来表示。因此，在量子力学中力学量是用算符来表示。3.1 表示力学量的算符表示力学量的算符 Operator for d
2、ynamical variable 3.23.2 动量算符与角动量算符动量算符与角动量算符 Momentum operator and angular momentum operator3.33.3 电子在库仑场中的运动电子在库仑场中的运动 The motion of electrons in Coulomb field3.43.4 氢原子氢原子 Hydrogen atom3.53.5 厄米算符本征函数的正交性厄米算符本征函数的正交性 Orthonormality for eigenfunction of Hermitean operators3.63.6 力学量算符与力学量的关系力学量算符与
3、力学量的关系 Relationship between Operator and dynamical variable本本 章章 内内 容容3.73.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测测不准关系不准关系Operator commute The Heisenberg Uncertainty Principle3.83.8 力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律守恒律The dynamical variable with respect to time The conservation laws3.1 3.1 表示力学量的算符表示力学量
4、的算符1.1.算符算符 代表对波函数进行某种运算或变换的符号代表对波函数进行某种运算或变换的符号，其，其对对一函数作用后得到另一函数。一函数作用后得到另一函数。例如例如: :称为算符称为算符Fvu=注意注意: :由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义做相应的运算才有意义。 2 2. .算符的本征值算符的本征值、本征函数本征函数、本征方程本征方程若算符若算符 作用在函数作用在函数 上，等于一常数上，等于一常数 乘以乘以 ， 即即 :则则 称为称为算
5、符算符 的的本征值，本征值， 称为称为算符算符 的的本征函数。本征函数。 称为算符称为算符 的本征方程的本征方程。 例如例如: :3 3. .力学量的力学量的算符表示算符表示(1)(1)动量的动量的算符表示算符表示在量子力学中，在量子力学中，动量用动量动量用动量算符表示。即算符表示。即: :在直角坐标系中的三个分量为在直角坐标系中的三个分量为: :(2)(2)坐标的坐标的算符表示算符表示在量子力学中，在量子力学中，坐标用坐标坐标用坐标算符表示。即算符表示。即: :即即坐标坐标算符就是算符就是坐标坐标自身自身。在直角坐标系中的三个分量为在直角坐标系中的三个分量为: :(3)(3)能量的能量的算符
6、表示算符表示在量子力学中，在量子力学中，能量用哈密顿能量用哈密顿算符表示。即算符表示。即: :(4)(4)力学量用力学量用算符表示的一般规则算符表示的一般规则哈密顿算符的构造哈密顿算符的构造: :将哈密顿函数将哈密顿函数 将以上将以上哈密顿算符构造哈密顿算符构造的方法加以推广，便得出的方法加以推广，便得出一个一个力学量用力学量用算符表示的一般规则算符表示的一般规则: : 若量子力学中的力学量若量子力学中的力学量 在经典力学中有相应的在经典力学中有相应的力学量，则表示该力学量的算符力学量，则表示该力学量的算符 由经典表示由经典表示 中将动量中将动量 换成动量算符换成动量算符 ，将坐标将坐标 换成
7、坐标算换成坐标算符符 而得出而得出，即即: : 例例: :动能算符动能算符 角动量算符角动量算符 以上所述力学量算符规则是对坐标表象而言；以上所述力学量算符规则是对坐标表象而言；对于动量表象，表示力学量对于动量表象，表示力学量F F 的算符是将经典表示的算符是将经典表示换成坐换成坐中中的坐标变量的坐标变量 换成坐标算符换成坐标算符即即 注意注意对于只在量子理论中才有，而在经典力学中没对于只在量子理论中才有，而在经典力学中没有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。力学量算符力学量算符坐标坐标表象表象动量动量表象表象坐标算符坐标算符动量算符动量算符力学量
8、算符力学量算符其中其中4 4. .算符与它所表示的算符与它所表示的力学量之间的力学量之间的关系关系问题问题: :能否说表示能否说表示力学量的力学量的算符就是算符就是力学量力学量? ?或或算符等于算符等于力学量力学量? ?算符与它所表示的算符与它所表示的力学量之间是什么的力学量之间是什么的关系关系? ?在第二章讨论哈密顿算符在第二章讨论哈密顿算符 的本征值问题的本征值问题: :方方程程的的解解本征函数：本征函数：本征值：本征值： 如果算符如果算符 表示力学量表示力学量 ，那么当体系处于那么当体系处于 的本征态中时，力学量的本征态中时，力学量 有确定值，这个值就是有确定值，这个值就是 属于该本征态
9、的本征值。属于该本征态的本征值。 推广推广到一到一般情般情况况当体系处在当体系处在 的本征态时，的本征态时，体系有确定的能量体系有确定的能量该假设回答了表示力学该假设回答了表示力学量的算符与该力学量的量的算符与该力学量的关系关系5 5. .厄米算符及其性质厄米算符及其性质厄米算符的定义厄米算符的定义若对于任意两函数若对于任意两函数 和和 ，算符，算符 满足等式满足等式则称则称 为厄米算符为厄米算符。 厄米算符的性质厄米算符的性质 设设 为厄米算符为厄米算符，其其本征方程本征方程证明证明: :（实数）厄米算符的本征值必为实数厄米算符的本征值必为实数。力学量算符为线性的厄米算符力学量算符为线性的厄
10、米算符。6.6.力学量算性质力学量算性质例例1.1.证明动量算符的一个分量证明动量算符的一个分量 是厄密算符是厄密算符。证明证明: :证明证明: :例例2.2.证明坐标算符的一个分量证明坐标算符的一个分量 是厄密算符是厄密算符。因为因为x x是实数是实数所以所以x x是是厄密算符厄密算符。3.2 3.2 动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符1.1.动量算符的本征问题动量算符的本征问题动量算符动量算符直角坐标直角坐标动量算符的本征方程及求解动量算符的本征方程及求解由分离变量法由分离变量法, ,令令则有则有这正是自由粒子这正是自由粒子德布罗意波的空德布罗意波的空 间部分波函数间部分波函数在解方
11、程过程中，对没有在解方程过程中，对没有任何的限制，即本征值任何的限制，即本征值取连续谱。取连续谱。归一化归一化常数常数归一化系数的确定归一化系数的确定两种情形归一化常数的求法两种情形归一化常数的求法具有分立谱的本征函数的具有分立谱的本征函数的归一化常数：归一化常数：具有连续谱的本征函数的具有连续谱的本征函数的归一化常数：归一化常数：)若若粒粒子子处处在在无无限限空空间间中中，则则按按 函函数数的的归归一一化化方方法确定归一化常数法确定归一化常数 ，即：即：归一化本征函数为：归一化本征函数为：这正是自由粒子德布罗意波的空这正是自由粒子德布罗意波的空 间部分波函数，对应的本征值间部分波函数，对应的
12、本征值 取连续值。取连续值。)若粒子处在边长为若粒子处在边长为 的立方体内运动，则用所谓的立方体内运动，则用所谓箱归一化方法确定常数箱归一化方法确定常数 。 当粒子被限制在边长为当粒子被限制在边长为 的立方体内时，本征函数的立方体内时，本征函数 满足周期性边界条件。满足周期性边界条件。xyzAAoL所以本征值为所以本征值为：由分立谱的归一化条件：由分立谱的归一化条件：这表明动量只能取分立值。这表明动量只能取分立值。换言之，换言之，加上周期性边加上周期性边界条件后，界条件后，连续谱变成了分立谱。连续谱变成了分立谱。归一化归一化本征函数本征函数 粒子波函数粒子波函数讨讨 论论)从这里可以看出，只有
13、在分立谱情况下，波函数从这里可以看出，只有在分立谱情况下，波函数才能归一化为一；连续谱情况，归一化为才能归一化为一；连续谱情况，归一化为 函数。函数。 )在自由粒子波函数在自由粒子波函数 所描写的状态中，粒子所描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值。本征值。)由由 可可以看出，相邻两本征值的间隔以看出，相邻两本征值的间隔 与与 成反成反比。当比。当 足够大时，本征值间隔可任意小；当足够大时，本征值间隔可任意小；当 时时 ，即离散谱，即离散谱连续谱。连续谱。2.2.角动量算符角动量算符的本征问题的本征问题角角动量算符动
14、量算符直角坐标直角坐标球坐标球坐标? ?(1)(1)(2)(2)由上述直角坐标与球坐标之间的变换关系由上述直角坐标与球坐标之间的变换关系(2)(2)得：得：(3)(3)(4)(4)由由(3)(3)、(4)(4)得：得：将将(5)(5)代入代入(1)(1)得角动量算符在球坐标中的表达式为：得角动量算符在球坐标中的表达式为：(5)(5)(6)(6)再定义角动量平方算符：再定义角动量平方算符：角动量算符的本征方程及求解角动量算符的本征方程及求解)Lz算符算符的本征值问题的本征值问题本征方程本征方程 在球坐标系中在球坐标系中 解为：解为：由于由于 为为 的单值函数，应有周期条件的单值函数，应有周期条件
15、: : 即：即： 本征值本征值: : 可见，微观系统的角动量在可见，微观系统的角动量在z z方向的分量只能取分方向的分量只能取分离值（零或离值（零或 的整数倍）。由于的整数倍）。由于z z方向是任意取定的，方向是任意取定的，所以角动量在空间任意方向的投影是量子化的。所以角动量在空间任意方向的投影是量子化的。 本征函数：本征函数：由归一化条件：由归一化条件： 归一化本征函数：归一化本征函数： 称为磁量子数称为磁量子数正交性：正交性：将归一化条件与正交性合记之得将归一化条件与正交性合记之得正交归一化正交归一化条件：条件：本征方程本征方程: :）L L2 2算符算符的本征值问题的本征值问题令：令：
16、（1） 在球坐标系中在球坐标系中 此为球面方程（此为球面方程（球谐函数方程）球谐函数方程）。其中其中 是是 属于本征值属于本征值 的本征函数。的本征函数。利用分离变量法及微利用分离变量法及微分方程的幂级数解法，求球面方程在分方程的幂级数解法，求球面方程在 区域内的有限单值函数解（区域内的有限单值函数解（其求解方法在数学物理方其求解方法在数学物理方法中已有详细的讲述）法中已有详细的讲述），可得：，可得：（2） （3） 由（由（1 1）、（）、（2 2）式得出）式得出 的本征值：的本征值：角角量子数量子数磁量子数磁量子数 的本征值的本征值: : 可见，微观系统的角动量只能取一系列离散值：可见，微观系统的角动量只能取一系列离散值：球谐函数球谐函数 是是 属于本征值属于本征值 的本征的本征函数函数 ， 是缔合勒让德多项式，满足正交是缔合勒让德多项式，满足正交 - -模方条件：模方条件： 是是 属属于于本本征征值值 的的本本征征函函数数，有有正正交交- -模方条件模方条件 由由 的正交归一化条件：的正交归一化条件：求得归一化因子求得归一化因子: :讨论讨论 )球谐函数球谐函数系系 是是 与与 有
