演示文稿机器人雅可比矩阵

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1、机器人雅可比矩阵ppt课件当前1页，共76页，星期日。第一页，共七十六页。4.1 雅可比矩阵的定义雅可比矩阵的定义当前2页，共76页，星期日。第二页，共七十六页。回顾：基本概念刚体位姿描述和齐次变换齐次坐标,欧拉角与 RPY 角齐次变换和齐次变换矩阵的运算操作臂运动学连杆参数、连杆坐标系连杆变换和运动学方程机器人关节空间与操作空间当前3页，共76页，星期日。第三页，共七十六页。关节角位置和操作臂末端的直角坐标位置关节空间操作空间运动学正解运动学正解运动学反解运动学反解当前4页，共76页，星期日。第四页，共七十六页。关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度关节空间操作空间运动学正解运动学正解运动学反

2、解运动学反解当前5页，共76页，星期日。第五页，共七十六页。4.1 雅可比矩阵的定义(Jacobian matrix) 操作空间速度与关节空间速度之间的线性变换。操作臂的雅可比矩阵 ，建立了从关节速度向操作速度的映射关系。进行机器人操作臂的速度分析。式中， 称为末端在操作空间的广义速度，简称为操作速度， 为关节速度； 是6n的偏导数矩阵，称为操作臂的雅可比矩阵。它的第i行第j列元素为 ，i=1,2,6; j=1,2,n。操作臂的运动学方程，描述机器人操作臂的位移关系，建立了操作空间与关节空间的映射关系。刚体的齐次变换矩阵，描述刚体之间的空间位姿关系。当前6页，共76页，星期日。第六页，共七十六

3、页。假设矢量yRm为uRn的函数y= y(u) y相对于u的偏导数定义为 对于m=1,（标量对矢量的导数）当前7页，共76页，星期日。第七页，共七十六页。根据上述一般数学定义，对于6关节机器人： 设有6个各含6个独立变量的函数，简写为x=f(q)。 求微分， 注意，如果函数 f1(q) 到 f6(q) 是非线性的，则 是q的函数，写成 ，式子两边同除以时间的微分，上式中，66的偏导数矩阵J(q)叫做雅可比矩阵。其中当前8页，共76页，星期日。第八页，共七十六页。雅可比矩阵雅可比矩阵机器人关节数*雅可比矩阵的行数取决于机器人的类型当前9页，共76页，星期日。第九页，共七十六页。雅可比矩阵在机器人

4、中的应用当前10页，共76页，星期日。第十页，共七十六页。可以把雅可比矩阵看作是关节的速度 变换到操作速度V的变换矩阵在任何特定时刻，q具有某一特定值，J(q)就是一个线性变换。在每一新的时刻，q已改变，线性变换也因之改变，所以雅可比矩阵是一个时变的线性变换矩阵。在机器人学领域内，通常谈到的雅可比矩阵是把关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度联系在一起的。必须注意到，对于任何给定的操作臂的结构和外形，关节速度是和操作臂末端的直角坐标速度成线性关系，但这只是一个瞬间关系。当前11页，共76页，星期日。第十一页，共七十六页。当前12页，共76页，星期日。第十二页，共七十六页。(x,y)21xyl1l

5、2例4.1将平面2R机械手的运动学方程两端分别对时间t求导,则得其雅可比矩阵为平面2R机械手的运动学方程为当前13页，共76页，星期日。第十三页，共七十六页。对于关节空间的某些形位q，操作臂的雅可比矩阵的秩减少、这些形位称为操作臂的奇异形位：操作臂的雅可比矩阵的秩减少的形位（数学上）操作臂在操作空间的自由度将减少（物理上）(singular configuration)当前14页，共76页，星期日。第十四页，共七十六页。(x,y)21xyl1l2例4.1可利用雅可比矩阵的行列式判别奇异形位当290或2 0时,机械手的雅可比行列式为0矩阵的秩为1，因而处于奇异状态。从几何上看机械手完全伸直(2

6、0)或完全缩回(2 180)时，机械手末端丧失了径向自由度仅能沿切向运动，在奇异形位时，机械手在操作空间的自由度将减少。当前15页，共76页，星期日。第十五页，共七十六页。例4.2 如图所示为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以l m/s的速度运动，求相应的关节速度 解：由 可以看出，只要机械手的雅可比J(q)是满秩的方阵,相应的关节速度即可解出对于平面2R机械手，运动学方程为平面2R机械手的速度反解当前16页，共76页，星期日。第十六页，共七十六页。例4.2 如图所示为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以l m/s的速度运动，求相应的关节速度 解：雅可比J(q)为于是得到与末端速度 相应的关节速

7、度反解为逆雅可比可为当前17页，共76页，星期日。第十七页，共七十六页。讨论：机械手接近奇异形位时，关节速度将趋于无穷大。当20； 2180时，机械手在水平位置，当前18页，共76页，星期日。第十八页，共七十六页。例：物理仿真中的雅可比矩阵约束函数C(x), 单位圆上的质点位置约束为一般情况下，采用位姿矢量q聚合表达n个粒子的位置。在3D空间，矢量长度为3n。考虑位置约束C是一个关于位姿矢量q的未知函数，则速度约束 矩阵 被称作C的雅可比矩阵，记作J。为了进行物理仿真，求微分 ，根据力学关系，建立微分约束方程，基于物理仿真。当前19页，共76页，星期日。第十九页，共七十六页。当前20页，共76

8、页，星期日。第二十页，共七十六页。当前21页，共76页，星期日。第二十一页，共七十六页。当前22页，共76页，星期日。第二十二页，共七十六页。当前23页，共76页，星期日。第二十三页，共七十六页。当前24页，共76页，星期日。第二十四页，共七十六页。当前25页，共76页，星期日。第二十五页，共七十六页。当前26页，共76页，星期日。第二十六页，共七十六页。当前27页，共76页，星期日。第二十七页，共七十六页。例子2：立体视觉雅可比矩阵 两只CCD摄像机任意的安装在机器人手腕上，形成手眼机器人立体视觉系统。 Xc,Yc,Zc为摄像机坐标系， x,y为图像坐标系， CO为摄像机焦距 f Xw,Yw

9、,Zw为世界坐标系，则 根据上述透视投影关系,得到以 世界坐标系表示的P点坐标与其 投影点p的坐标(x,y)的关系：scene pointscene pointoptical centeroptical centerimage planeimage planeyxXcYcCOpP(Xc, Yc, Zc)ZcXwYwZwW摄像机成像模型当前28页，共76页，星期日。第二十八页，共七十六页。 对上式两边求导，得： 为世界坐标系到图像坐标系的雅可比映射矩阵，它是摄像机内外参数的函数。进一步，经过立体视觉摄像机定标，得到： 其中， = ，k代表摄像机1，2。上式为手眼机器人跟踪系统的视觉伺服控制方程。

10、 如果物体在世界坐标系下的速度 已知，根据采样时间步长t，前一帧图像位置x(k)，根据上式可以估计下一帧图像位置x(k+1)，则可通过控制摄像机位姿，可以实现对目标的跟踪。当前29页，共76页，星期日。第二十九页，共七十六页。4.2 微分运动与广义速度微分运动与广义速度当前30页，共76页，星期日。第三十页，共七十六页。4.2 微分运动与广义速度 刚体或坐标系的微分运动包含微分移动矢量d和微分转动矢量。前者由沿三个坐标轴的微分移动组成；后者又绕三个坐标轴的微分转动组成，即 将两者合并为6维列矢量D，称为刚体或坐标系的微分运动矢量： 相应地，刚体或坐标系的广义速度V是由线速度v, 组成的6维矢量

11、： 当前31页，共76页，星期日。第三十一页，共七十六页。d 微分运动D和广义速度V是相对于参考坐标系而言的。例如，相对于坐标系T而言，用 ， 表示。 当前32页，共76页，星期日。第三十二页，共七十六页。d若相对于基坐标系的微分运动为D，则相对于坐标系T的微分运动 为Tpnoa注意：D的微分位移和旋转应看作通过基坐标系的原点的矢量。当前33页，共76页，星期日。第三十三页，共七十六页。 合并写为当前34页，共76页，星期日。第三十四页，共七十六页。对于任何三维矢量p=px，py，pzT，其反对称矩阵S(p)定义为S(p)是一个叉积算子，易证 S(p) = p , S(p) = (p )T 当

12、前35页，共76页，星期日。第三十五页，共七十六页。 微分位移的变换简写为 式中, R=n,o,a 是旋转矩阵。 相应地，广义速度V 的坐标变换为 任意两坐标系A,B之间广义速度的坐标变换为当前36页，共76页，星期日。第三十六页，共七十六页。4.3 雅可比矩阵的构造法当前37页，共76页，星期日。第三十七页，共七十六页。雅可比矩阵J(q)既可看成是从关节空间向操作空间速度传递的线性关系，也可看成是微分运动转换的线性关系，即对n个关节的机器人，J 的每一列代表相应的关节速度对于手爪线速度和角速度的传递比。因此，可将雅可比矩阵分块为4.3 雅可比矩阵的构造法关节速度线速度角速度当前38页，共76

13、页，星期日。第三十八页，共七十六页。关节1速度引起手爪的线速度下面采用构造性的方法直接构造出各项Jti和Jai当前39页，共76页，星期日。第三十九页，共七十六页。Whitney基于运动坐标系的概念提出求机器人雅可比的矢量积方法。如图所示,末端手爪的线速度v和角速度与关节速度 有关（1）对于移动关节 i ,（2）对于转动关节 i ,标量矢量当前40页，共76页，星期日。第四十页，共七十六页。矢量积方法其中， 表示手爪坐标原点相对坐标系i的位置矢量在基坐标系o 中的表示。zi是坐标系i的z轴单位向量(在基坐标系o表示的)。当前41页，共76页，星期日。第四十一页，共七十六页。用矢量积方法计算J(

14、q) 由于PUMA 560的6个关节都是转动关节因此其雅可比具有下列形式：4.4 PUMA560的雅可比矩阵当前42页，共76页，星期日。第四十二页，共七十六页。4.5 力雅可比当前43页，共76页，星期日。第四十三页，共七十六页。机器人与外界环境相互作用时，在接触的地方要产生力f和力矩n，统称为末端广义(操作)力矢量。记为例如，操作臂提取重物时承受的外载作用力和力矩；抓手对被抓物体的作用力和力矩；多足步行机构与地面的作用力和力矩。在静止状态下，广义操作力矢量f应与各关节的驱动力(或力矩)相平衡。n个关节的驱动力(或力矩)组成的n维矢量称为关节力矢量预备知识操作器的静力当前44页，共76页，星

15、期日。第四十四页，共七十六页。利用虚功原理可以导出关节力矢量与相应的广义操作力矢量F之间的关系。令各关节的虚位移为qi，末端执行器相应的虚位移为D。所谓虚位移，是满足机械系统几何约束的无限小位移。各关节所作的虚功之和WTq与末端执行器所作的虚功WFTDfTd+nT应该相等(总的虚功为零)，即将 代入上式可得出操作臂的力静态平衡当前45页，共76页，星期日。第四十五页，共七十六页。4.5 力雅可比式中，JT(q)称为操作臂的力雅可比。它表示在静态平衡状态下，操作力向关节力映射的线性关系。上式也表示操作臂的力雅可比就是它的(运动)雅可比的转置。因此可以看出操作臂的静力传递关系与速度传递关系紧密相关

16、。具有对偶性。操作臂的力雅可比表示在静态平衡状态下，操作力向关节力映射的线性关系。当前46页，共76页，星期日。第四十六页，共七十六页。当J(q)退化时(即秩亏)，操作臂处于奇异形位。J(q)的零空间N(J(q)表示不产生操作速度的关节速度的集合。静力映射的零空间N(JT(q)代表不需要任何关节驱动力(矩)而能承受的所有操作力的集合，末端操作力完全由机构本身承受。而值域空间R(JT(q)则表示操作力能平衡的所有关节力矢量的集合。当前47页，共76页，星期日。第四十七页，共七十六页。根据线性代数的有关知识，零空间N(J(q)是值空间R(JT(q)在n维关节空间的正交补，即对于任何非零的 N(J(q)，则有 R(JT(q)；反之亦然。其物理含义是，在不产生操作速度的这些关节速度方向上，关节力矩不能被操作力所平衡。为了使操作臂保持静止不动，在零空间N(J(q)的关节力矢量必须为零。当前48页，共76页，星期日。第四十八页，共七十六页。在m维操作空间中存在着相似的对偶关系。R(J(q)是N(JT(q) 在操作空间的正交补。因此，不能由关节运动产生的这些操作运动的方向恰恰正是不需要关节力矩来平衡