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1、一、一、 投影投影概念及概念及投影投影法分类法分类 1.1.投影的形成投影的形成 2.2.投影的分类投影的分类 二二、点、直线、平面正投影的基本性质点、直线、平面正投影的基本性质 1.1.类似性类似性: 2.: 2.全等性全等性; 3.; 3.积聚性积聚性; 4.; 4.重合性重合性三三、三面投影图三面投影图 长对正长对正、高平齐、宽相等、高平齐、宽相等一一、点的投影规律、点的投影规律二二、点用坐标表示、点用坐标表示 A (x、y、z)三三、两点的相对位置及可见性两点的相对位置及可见性 一一. .点的投影规律点的投影规律VOXa aaxAWOXa axaa ZZYayazYHYWayazd(1
2、). a a OX 【长对正长对正】(2). a a O 【高平齐高平齐】(3). aax a az 【宽相等宽相等】xxxyzzzyyayVOXa aax(x,y,z)WZYayazdOXZYHYWaa dA(x,z)(x,y)(y,z)(x,z)(x,y)(y,z)二二. .点用坐标表示点用坐标表示 A(x、y、z)上上三三. .两点的相对位置及可见性两点的相对位置及可见性XZYWYHOaa ab bb 1.方位关系方位关系VOWZYX点在点在点的点的 方方。右、右、 前、前、Aaaa bb b BVox ( )2.重影点及其可见性重影点及其可见性 若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，
3、则若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，称为这两点在该投影面上的投影重合，称为重影点重影点。a ba b c d( )c d ( )c dc d oxa b a b ( )CD可见性判别可见性判别坐标值大的点投影可见，反之不可见。坐标值大的点投影可见，反之不可见。四、直线的投影四、直线的投影c(d)直线的投影仍为直线，特殊时为一点。直线的投影仍为直线，特殊时为一点。abefsc五、属于直线的点五、属于直线的点VoxABababk1.1.从属性从属性则点的各个投影必属于该直线的各同面投影。则点的各个投影必属于该直线的各同面投影。2.2.定比性定比性属于直线段的点
4、分割直线段之长度比等于其投影属于直线段的点分割直线段之长度比等于其投影 长度比。即长度比。即: : 投影特性投影特性AK a k a k a k KB k b k b k b kKababxokk【例例】含点含点C作正平线作正平线CD与直线与直线AB相交。相交。ababccddababcc错误画法错误画法误作成水平线误作成水平线Vox直线的迹点直线的迹点迹点迹点直线与投影面的交点。直线与投影面的交点。ABH 水平迹点水平迹点（M）ABV 正面迹点正面迹点 （N）ABW 侧面迹点侧面迹点 （S ）oxa babBAa babMNnm m mn nmn c(d)abefsc 直线与投影面的相对位置
5、有直线与投影面的相对位置有: 平行平行、垂直垂直和和倾斜倾斜。前二者。前二者称为特殊位置直线，简称称为特殊位置直线，简称特殊线特殊线；后者称为一般位置直线、简；后者称为一般位置直线、简称称一般线一般线。投影面平行线投影面平行线投影面垂直线投影面垂直线一般位置直线一般位置直线六、各种位置的直线六、各种位置的直线ZYWVX七七. 线段的实长和倾角线段的实长和倾角abB0ZBZA距离差距离差1.直角三角形法直角三角形法XOababababscA0abYAYBscZYHYWbaABbaXAXBa bscXOababscsc2.实长实长、倾角、距离差、投影长之间的关系、倾角、距离差、投影长之间的关系sc
6、 abZ差差a b Y差差X差差a b 四个要素中任意知道其中二个要素，都可以求出另二四个要素中任意知道其中二个要素，都可以求出另二个要素。解题时必须弄清楚这些要素之间的关系。个要素。解题时必须弄清楚这些要素之间的关系。 如求如求 ，因是因是对面的倾角，故对面的倾角，故所有要素都和有所有要素都和有关，即投影关，即投影(ab)以及距面的距离以及距面的距离差差(差差)。scZYHYWbaa bscabscsc 【例例】已知直线已知直线AB的的a、a，AB25， 且且 30， 45；试完成；试完成AB的的V、H投影。投影。有几解？有几解？2525ab4530Z差aaxoabb在该圆上在该圆上b在该线
7、上在该线上a bY差bba b有有 8 解解b在在该该线线上上八、两直线的相对位置八、两直线的相对位置bbcddcaaXb a abdc d cb a abcdcd3(4)34121(2)平行平行相交相交相叉相叉定理：定理： 若直角有一条边平行于某一投影面时，则该直角在该若直角有一条边平行于某一投影面时，则该直角在该投影面上的投影也反映直角。投影面上的投影也反映直角。九九. . 直角投影定理直角投影定理VXbcacAaCBbbcaacbxo异面垂直也适用异面垂直也适用Dd可任意画可任意画一一、 平面的表示法平面的表示法aabcbcbaacbcbaacbcaabcbcabcabcdd1.用几何元
8、素表示平面用几何元素表示平面 PVPHPX2.2.用迹线表示平面用迹线表示平面QHPV3.3.熟悉各种位置平面的投影熟悉各种位置平面的投影P二二. . 属于平面的直线和点属于平面的直线和点1. 1. 直线属于平面的几何条件：直线属于平面的几何条件： 直线通过属于平面的两个点，则直线属于平面。直线通过属于平面的两个点，则直线属于平面。 直线通过属于平面的一个点，且平行于属于平面的另直线通过属于平面的一个点，且平行于属于平面的另 一条直线，则直线属于平面。一条直线，则直线属于平面。 2. 2. 点属于平面的几何条件：点属于平面的几何条件：点属于平面的任一直线，则点属于该平面。点属于平面的任一直线，
9、则点属于该平面。ADCBK【例例】已知点已知点D属于属于 ABC，试求点，试求点D的水平投影的水平投影 。dabcabc11d22【例例】 已知已知 平面平面ABCD的正面投影，且边的正面投影，且边ADV面面， 完成其水平投影。完成其水平投影。bcdabcd1122aVOZYXWP三、属于平面的特殊位置直线三、属于平面的特殊位置直线1.1.属于平面的投影面平行线属于平面的投影面平行线PHPVPWabcabc1212取水平线和正平线取水平线和正平线【例例】已知点已知点E 属于属于ABC平面，且点平面，且点E距离距离H面面15，距，距 离离V 面面10，试求点，试求点E的投影。的投影。xa1015
10、bcabceo12341234eAB几何条件几何条件属于平面且垂直于迹线的直线即为平面对属于平面且垂直于迹线的直线即为平面对 该投影面的最大斜度线。该投影面的最大斜度线。VOZYXWPHPVPWP平面对平面对H 面的最大斜度线面的最大斜度线水平线水平线平面对平面对V 面的最大斜度线面的最大斜度线正平线正平线平面对平面对W面的最大斜度线面的最大斜度线侧平线侧平线AB/H，则，则雨水总是沿雨水总是沿 与与AB垂直的方向流下垂直的方向流下雨水流向雨水流向2.2.属于平面的最大斜度线属于平面的最大斜度线HABC证明最大斜度线对投影面的倾角最大证明最大斜度线对投影面的倾角最大a 已知已知: EFH AD
11、EF 求证求证: AD与与H面的倾角面的倾角 为最大为最大 DEF证明证明: 在直角在直角AaD和和AaC中中tg = tg = aDaC ef最大斜度线对投影面的倾角等于平面对投影面的倾角最大斜度线对投影面的倾角等于平面对投影面的倾角根据直角投影定理，平面对某面最大斜度线在该投影根据直角投影定理，平面对某面最大斜度线在该投影面的投影，与该投影面平行线在该面的投影或同面迹线面的投影，与该投影面平行线在该面的投影或同面迹线垂直。垂直。【例例】 求求 ABC平面对平面对H面的倾角面的倾角 。acbabc 作图步骤：作图步骤：1. 取一水平线取一水平线；2. 作水平线的垂线，作水平线的垂线， 求出对
12、求出对H面的最大面的最大 斜度线斜度线；3. 利用直角三角形法利用直角三角形法 求出平面的求出平面的 角角。 112323直线与平面、两平面之间的相对位置有：直线与平面、两平面之间的相对位置有：、。一、平行问题一、平行问题几何条件几何条件若直线平行属于平面的任一直线，则此直若直线平行属于平面的任一直线，则此直 线与该平面平行。线与该平面平行。PABCD几何条件几何条件若属于一平面的相交二直线对应地平行于属若属于一平面的相交二直线对应地平行于属 于另一平面的相交二直线，则此二平面平行。于另一平面的相交二直线，则此二平面平行。PQABCDEF二、相交问题二、相交问题目的目的: 求交点和交线求交点和
13、交线方法方法: 利用积聚性或辅助平面法利用积聚性或辅助平面法1. 特殊情况相交特殊情况相交利用积聚性作图利用积聚性作图2. 一般情况相交一般情况相交利用辅助平面法作图利用辅助平面法作图交点和交线的特点交点和交线的特点: 共有性共有性KKLCPFABMNEK辅助平面法求交点辅助平面法求交点作图步骤：作图步骤： 1. 包含直线包含直线EF作辅作辅 助平面助平面P； 2. 求出求出 P 与与ABC 的交线的交线MN；3. EF 与与MN的交点的交点 即为所求；即为所求；4. 判别可见性。判别可见性。【例例】求直线求直线EF与与ABC的交点的交点K，并判别可见性。，并判别可见性。a af e efbc
14、 cb 2. 求出平面求出平面P与与 ABC的交线的交线 MN；1. 包含直线包含直线EF 作铅垂面作铅垂面P； 作图步骤：作图步骤：3. 交线交线MN与直与直 线线EF的交点的交点 K即为所求；即为所求；4. 判别可见性。判别可见性。PHmnm n 1 212( )k 33( )k【例例】求求两两平平面面的的交交线线并并判判别别可可见见性性。abcabcdef defPH1212Rv4334kggk辅助平面法辅助平面法1. 直线与平面垂直直线与平面垂直若直线垂直于属于平若直线垂直于属于平 面的任意两条相交二面的任意两条相交二 直线，则直线必垂直直线，则直线必垂直 于平面。于平面。 VoxPP
15、HPVPxL1L2AB反之，若直线垂直于反之，若直线垂直于 平面，则直线必垂直平面，则直线必垂直 于属于平面的所有直于属于平面的所有直 线。线。二、垂直问题二、垂直问题VoxPPHPVPxL1L2AB平面垂线的投影特性：平面垂线的投影特性： 根据直角定理根据直角定理，若直线垂直于平面，则有：，若直线垂直于平面，则有： 直线的直线的水平投影水平投影必垂直于该平面的必垂直于该平面的水平线水平线的的水平投影水平投影； 直线的直线的正面投影正面投影必垂直于该平面的必垂直于该平面的正平线正平线的的正面投影正面投影。ababl1l1l2l2ABC【例例】求点求点K到到ABC的距离。的距离。1122baka
16、bcck距离距离scKLPVll空间分析空间分析空间分析空间分析A【例例】求点求点K到直线到直线AB的距离。的距离。kabkl2l1abBsc21PVLK距离距离QP2. 平面与平面垂直平面与平面垂直定理定理若一直线垂直于平面，则包含该直线的所有平面都若一直线垂直于平面，则包含该直线的所有平面都 垂直于该平面。垂直于该平面。AB 反之，若两平面垂直，则从属于其中一平面的任何一点反之，若两平面垂直，则从属于其中一平面的任何一点向另一平面所作的垂线必属于该平面。向另一平面所作的垂线必属于该平面。BQP两平面垂直两平面垂直两平面垂直两平面垂直两平面不垂直两平面不垂直两平面不垂直两平面不垂直ABABN【例例】以以AB为底作等腰为底作等腰ABC，使顶点，使顶点C属于直线属于直线MN。abmnabmnxoAMDCcc1221 作图步骤作图步骤1. 作底边作底边AB的中垂面；的中垂面；2. 求此中垂面与顶点所在直线求此中垂面与顶点所在直线 MN的交点的交点C；3. 连连ABC即可。即可。PVdd求作一直线求作一直线KL，使其垂直于，使其垂直于ABC，且与且与DE、FG相交相交。abcabcddeef
