精选学习资料 - - - - - - - - - 超级狩猎者2002 年全国硕士讨论生入学统一考试数学二试题解析一、填空题 （此题共 5 小题,每道题3 分,满分 15 分．把答案填在题中横线上．）（1）设函数f〔x 〕1 tan ex,x,0在x0处连续,就 a______．arcsinx 2 ,a e 2xx0【答案】2【考点】函数的左极限和右极限、函数连续的概念【难易度】★★【详解】此题涉及到的主要学问点：如函数f〔x〕在xx0处连续,就有 ;lim x x 0f〔x〕lim x x 0f〔x〕f〔x0〕______．解析：lim x 0f〔 〕lim x 01etanx=lim x 0tanx=2arcsinxxlim x 0f x 〔 〕22lim x 0 2 aexa f〔0〕a,f x 在x0处连续f〔0 〕f〔0 〕f〔0〕,即a2.（2）位于曲线yxex,0x下方, x 轴上方的无界图形的面积是【答案】 1 【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积【难易度】★★【详解】解析：所求面积为S0xexdx0xd〔ex〕0xex00exdxex01．其中,x limxexx limx洛必达x lim10. | x1 2的特解是 ______． x e x e（3）微分方程yyy20满意初始条件yx01,y【答案】yx1【考点】可降阶的高阶微分方程名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 超级狩猎者【难易度】★★★【详解】此题涉及到的主要学问点：可降阶的高阶微分方程,如缺 x ,就令yp ,ypdp. C .以初始条件xy〔0〕1,y〔0〕1代dy解析：方法 1：将yyy20改写为 〔yy〕0,从而得yy2入,有11C ,所以得yy1.即 2yy1,改写为〔y2〕1.解得yxC2,yxC 2.22再以初值代入,1C 2所以应取 "" 且C21.于是特解yx1. pdp. dpdp dy方法 2：这是属于缺x 的类型yf y y〕.命yp ydxdy dxdy原方程yyy20化为ypdpp20,得p0或ydpp0dydyp0即dy0,不满意初始条件y'x01,弃之,dx201, 'x01可将C 先定出来：由ydpp0按分别变量法解之,得C 1 .y由初始条件yxdy21C 1,C 11.于是得dy1,解之,得y2xC 2,yxC 2.以y01代入,得212dx2y1C 2,所以应取“+” 号且C21.于是特解是yx1. （4）lim n1[1cosπ1cos2π1cosn π]______．nnnn【答案】22【考点】定积分的概念【难易度】★★★名师归纳总结 【详解】解析：记lim nun111n1cosn1cos2 n...1cosn1in1cosi,第 2 页,共 16 页nnn1n所以u nlim ni1cosi11 cosxdxnn0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 超级狩猎者（5）矩阵0212cos 2xdx21cosxdx21cosxdx02020222sinx12 2. 022222的非零特点值是______．222【答案】 4 【考点】矩阵的特点值的运算【难易度】★★2 2 2 2 0 02【详解】解析： E A 2 2 2 0 0 1 1 〔 4〕2 2 2 2 2 2 2 2 2故 4 是矩阵的非零特点值 .（另一个特点值是 0 〔二重 〕）二、挑选题（此题共 5 小题,每道题 3 分,满分 15 分．每道题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内． ）2（1）设函数 f 〔u 〕 可导, y f 〔 x 〕 当自变量 x 在 x 1 处取得增量 x 0 . 1 时,相应的函数增量 y 的线性主部为 0 1.,就 f 〔 1 〕＝（ ）（A ）－ 1． （B）0.1． （ C） 1． （D）0.5．【答案】 D 【考点】导数的概念、复合函数的求导法就【难易度】★★★【详解】此题涉及到的主要学问点：名师归纳总结 ① dy 为y 的线性主部；〔x〕；x x 0xo 〔x 〕. 第 3 页,共 16 页②〔f[g〔x 〕]〕f[g〔x〕]g解析：在可导条件下,ydydx当dyx x 00时dyx x 0y 的线性主部,x称为dxdx现在dyxf〔x2〕2x x,以x1,x0.1dx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 超级狩猎者代入得dy dxxf〔1〕 0.2,由题设它等于0.1,于是f〔1〕0.5,应选（ D）. （2）设函数f〔x〕连续,就以下函数中必为偶函数的是（）.（A ）xf〔txf2〔t〕dt2〕dt.（ B）00（C）xt[f〔t〕f〔t〕]dt.（ D）xt[f〔t〕f〔t〕]d t.00【答案】 D 【考点】函数的奇偶性、积分上限的函数及其导数【难易度】★★【详解】 解析： [ t f t 〔 〕f〔t〕]为 t 的奇函数,x 0[ t f t 〔 〕f〔t dt为 x 的偶函数,（D）正确,（A）、（C）是 x 的奇函数,（B）可能非奇非偶.例如f t 〔 〕1t ,均不选 . （3）设yy 〔 x〕是二阶常系数微分方程ypyqy 3 ex满意初始条件y〔0 〕y〔0 〕0的特解,就当x0时,函数ln〔 1xx2〕的极限（）y〔〕（A ）不存在．（B）等于 1．（ C）等于 2．（D）等于 3．【答案】 C 【考点】洛必达法就、佩亚诺型余项泰勒公式【难易度】★★名师归纳总结 【详解】解析：方法 1：lim x 0ln〔1x2〕lim x 0x2洛lim x 02x洛2lim x 0y2222. 第 4 页,共 16 页y x 〔 〕y x 〔 〕y x 〔 〕〔 〕1方法 2： 由y〔0〕y〔0〕0,y〔0〕1.由佩亚诺余项泰勒公式绽开,有1〕=lim x 01y x 〔 〕00x2o x2〕,代入,有lim x 0ln〔1x2〕lim x 01x2x2o xo x2〕2y x 〔 〕2x22（4）设函数yf〔x〕在〔0 ,〕内有界且可导,就（）（A ）当lim xf〔x 〕0时,必有lim xf〔x 〕0 .（B）当lim xf〔x 〕存在时,必有lim xf〔x 〕.0（C）当lim x 0f〔x 〕0时,必有lim x 0f〔x〕.0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 超级狩猎者（D）当lim x 0f〔x 〕存在时,必有lim x 0f〔x〕0 .【答案】 B 【考点】导数的概念【难易度】★★★★【详解】解析： 方法 1：排斥法（ A）的反例 f x 〔 〕 1x sin x 2, 它有界, f 〔 〕 1x sin x 22cos x 2, lim x f x 〔 〕 0,但 lim x f 〔 〕不存在 .〔C〕与〔D〕的反例同（ A ）的反例 .x lim 0 f x 〔 〕 0 ,但x lim 0 f 〔 〕 1 0,（C）不成立；lim f 〔 〕 1 0,（D）也不成立 .（A）、（C）、（D）都不对,应选（ B）．x 0方法 2：证明（ B）正确 .设 limx f 〔 〕 x 存在,记为 A ,求证 A 0 .用反证法, 设 A 0 .如 A 0,就由保号性知,存在 x 0 0,当 x x 时 f 〔 〕 A,在区间 。