基于代理模型的复合材料带加强筋板多目标优化 范志瑞，杨世文（中北大学机械与动力工程学院，山西太原030051）Summary：本文以复合材料带加强筋板的质量、刚度及屈曲载荷为优化目标，在铺层约束下对加强筋的铺层数、铺层顺序以及截面尺寸进行多目标优化为了使NSGA-II 算法适应于可变铺层数的铺层顺序优化，对算法的基因编码方式进行改造并在遗传操作中引入Permutation操作优化过程中采用代理模型对结构的刚度及屈曲载荷进行估计，减少了有限元模型的调用次数算例表明通过优化算法的改造及代理模型的引入降低了优化成本Keys：加强筋板；复合材料；多目标优化；代理模型；NSGA-IITB330.1 ：A ：1671-7988(2015)06-111-05作者简介：范志瑞，就读于中北大学机械与动力工程学院前言因碳纤维复合材料具有较高的比刚度、比强度以及良好的耐热性、抗腐蚀性等优点，其被广泛应用于航空航天、船舶及汽车等领域作为常用结构，复合材料带加强筋板被普遍应用于机身、机翼及车身等结构中文献[1]以最大化加强筋板的屈曲载荷为目标，采用遗传算法对平板与加强筋的铺层顺序进行了优化文献[2]以最小化加强筋板的质量为目标，以后屈曲载荷作为约束，对加强筋的位置、铺层顺序以及截面几何属性进行了优化。
在工程实际中结构设计通常是多目标的，需要综合考虑质量、刚度以及结构不稳定性等因素文献[3]在铺层角度连续和离散两种情况下，以最大化前屈曲、屈曲以及后屈曲载荷为目标，采用基于加权系数的多目标优化方法对复合材料层合板的铺层顺序进行了优化由于权重法的局限性，文中并没有得到均匀的Pareto解集非支配排序多目标遗传算法（NSGA-II）是多目标优化中常用的方法之一与基于加权系数的多目标优化方法相比，其不需要人为确定加权系数并且可获得均匀的Pareto解集文献[4]以层合板的刚度、强度及质量为目标，采用整数编码的NSGA-II算法对层合板铺层顺序及纤维体积分数进行多目标优化由于所采用算例简单，可通过解析表达式高效地获得结构响应但对于复杂结构，结构响应须由有限元方法得到此时优化方法的效率会大大降低对于模型复杂且无法通过解析式获得结构响应的优化问题，为了提高优化效率可采用代理模型对结构响应进行估计由于代理模型的建立仅需较少次数的有限元计算，因此优化效率明显提高当以铺层角度作为代理模型输入时，由于铺层角度与结构响应间呈现较强的非凸性和非线性，因此代理模型的估计精度难以保证文献[5,6]提出了铺层参数的概念，铺层参数的引入可降低设计空间的非凸性和非线性。
因此以铺层参数作为代理模型输入时，可对结构响应进行精确估计[7,8]由于铺层参数无法反映铺层数，在变铺层数优化中需要在不同的铺层数下分别建立代理模型，因此并不适用于铺层数变化范围较大的情况本文在铺层数可变情况下，采用NSGA-II算法对复合材料带加强筋板进行多目标优化为了使算法适应于铺层数可变的优化问题，对算法的基因编码方式进行改造并在遗传操作中引入Permutation操作与此同时为了减少优化中有限元的调用次数，对铺层数可变情况下代理模型的构建方法进行了研究，并在优化中采用代理模型对结构响应进行估计1、优化问题描述本文选取复合材料带加强筋板为研究对象，以带加强筋板的质量、刚度及屈曲为目标，在铺层约束下对加强筋的铺层数目、铺层顺序以及截面尺寸进行优化优化过程中，各加强筋结构相同加强筋板的结构刚度和屈曲分别采用应变能及屈曲载荷来衡量为了使优化结果具有工程意义，本文引入4条铺层约束：（1）铺层角度仅限于0°、±45°和90°；（2）铺层对称，即铺层顺序关于铺层中面对称；（3）铺层平衡，即铺层方案中45°与-45°含量相同；（4）铺层方案中不能连续四层以上为同一角度铺层2、NSGA-II算法NSGA-II算法[10]具有良好的全局搜索能力，可对离散变量和连续变量同时进行优化并得到均匀的Pareto解集。
算法中引入了精英保留策略及拥挤度算子，保证了算法的收敛性以及解集的多样性2.1 基因编码由于优化变量中加强筋的铺层角度为整数，截面尺寸为实数，因此基因编码采用整数和实数两种编码方式基因编码方法如图1 所示，θi表示第i 层铺层角的基因编码，li表示加强筋的第i 个截面尺寸变量的基因编码，n0、n1分别表示加强筋铺层层数最小值和最大值，n2表示截面尺寸变量的数目整数编码中以1,2,3,4分别表示0, 45, 90,-45四种铺层角度优化过程中整数编码的基因长度不变且为n1由于优化过程中加强筋的铺层层数可变，因此引入编码0来表示空层为了保证编码的有效性，编码0 仅出现在第n0+1～n1个基因位上解码过程中，将非0编码按顺序取出并转化为相应的铺层角度2.2 整数编码变异操作的改进在传统遗传算法中，变异操作将从基因中任选出的一个基因位的编码进行改变并产生新的个体基于此种方法，当选出的编码值为2或4时，改变该基因位的编码值会使得新个体对应的实际铺层不平衡因此这种方法阻止了45°和-45°铺层发生变异的可能性现有必要对传统的遗传操作进行改进以使得其适应于考虑铺层约束的铺层优化问题改进的变异操作随机确定两位需要发生变异的基因位并改变相关的编码值。
新个体对应的铺层顺序应满足铺层约束，同时铺层数应不小于铺层数的下限当新个体不满足上述要求时，舍去该方案并重新进行变异操作，直至满足要求为止2.3 整数编码的Permutation操作为了提高算法的效率，在整数编码的基因操作中引入了Permutation操作该操作随机选取基因序列中两个基因位并将其编码进行互换，过程如图2所示当新个体不满足铺层约束时，舍去该方案并重新进行该操作，直至满足要求为止根据经典层合板理论，层合板刚度与铺层含量及铺层顺序相关通过Permutation操作对编码中的基因位进行互换，可以在不改变铺层含量的前提下对铺层顺序进行小范围的调整在优化后期，由于个体的铺层顺序相似，交叉操作对种群进化的作用不明显变异操作可以通过微小改变铺层含量产生新的铺层方案Permutation操作可对个体的铺层顺序进行扰动通过变异和Permutation操作可使现有个体的铺层方案更好地向最优逼近3、代理模型采用NSGA-II算法对加强筋板进行优化时，如果通过有限元计算来获得结构的应变能和屈曲载荷，将会带来巨大的计算成本因此需要建立优化变量与应变能及屈曲载荷间的代理模型3.1 代理模型输入的确定根据经典层合板理论可得，平面应力状态下，层合板内力、内力矩与应变的关系为：其中，N 为层合板内力，M 为层合板内力矩，ε为中面正应变， γ为中面剪应变，K 为中面曲率，A 为面内刚度矩阵，B为耦合刚度矩阵，D为弯曲刚度矩阵，ξ为铺层参数，h为层合板厚度，U为材料不变量。
工程中铺层厚度△h一般取固定值，因此有：h = △h·n （5）其中，n为铺层层数由公式（2-5）可得各刚度矩阵分量为ξ与n的函数，因此可将各刚度矩阵分量作为铺层数可变时代理模型的输入当采用对称铺层时，因此代理模型的输入中刚度矩阵分量为A11、A12、A22、A66、D11、D12、D22、D16、D26、D663.2 D-optimal实验设计在代理模型类型一定的情况下，采样点的选取对代理模型的精度有很大影响为了用较少采样点获得较高精度的代理模型，通常采用的实验设计方法来得到采样点方案由于代理模型输入中各刚度矩阵的分量之间互不独立，因此采样点的样本空间不规则图3 为铺层数为5 时D11与D12的空间分布图在此选用D-optimal 实验设计[9]对不规则样本空间进行采样采样过程中，首先选取一定规模且满足要求的样本点构成初始采样空间，然后通过D-optimal 实验设计从初始采样空间内选出指定数量的点作为采样方案3.3 代理模型的建立常用的创建代理模型的方法包括响应面法、克里金法以及径向基神经网络等响应面代法具有良好的连续性[来自wwW.lw5u.Com]和可导性，但对高维度问题的拟合精度较低。
克里金法是估计方差最小的无偏估计，为了获得足够的拟合精度通常需要较多的采样点径向基神经网络对高维度、非线性问题拟合具有较高拟合精度且不需要较多采样点本文选用径向基神经网络来创建代理模型代理模型的创建过程如下：（1）采用D-optimal实验设计选取创建代理模型所需的采样点；（2）根据各采样点中的铺层数、铺层顺序及截面尺寸创建有限元模型，并计算相应的应变能及屈曲载荷；（3）将各采样点的铺层数及铺层顺序转化为层合板刚度矩阵分量；（4）以各采样点的加强筋截面尺寸及各层合板刚度矩阵分量作为代理模型输入，相应的应变能及屈曲载荷作为输出，采用径向基神经网络创建代理模型5）对所建立的代理模型进行误差分析如果精度满足要求则结束，否则增加采样点并重复上述过程，直至精度满足要求为止（通常要求）以上代理模型的创建过程可用图4表示创建代理模型后，优化过程中屈曲载荷及应变能的计算过程如图5所示由于模型的质量只与加强筋的截面尺寸相关且可用来衡量，因此不需要建立代理模型 4、算例4.1 问题描述加强筋板的[来自wWw.lW5u.CoM]结构尺寸如图6所示加强筋板A端施加沿Y 轴负方向1000Mpa 的均布力A 端约束为：标轴的旋转自由度）。
加强筋的铺层数变化范围为20~30，截面尺寸的变化范围为29.0mm~58.0mm平板的铺层方案为[90/02/90/±45/0/90/±45/0]s铺层厚度为0.125mm平板与加强筋采用相同的材料，材料属性如表1所示每条加强筋的腹板和凸缘尺寸相同铺层的0°方向平行于y轴4.2 建立代理模型在变量n、l取值范围内随机生成10000个满足铺层约束的采样点构成初始采样空间选取200 个采样点创建代理模型，误差分析采用交叉验证方法本文所有计算工作均在IntelCore i5 处理器、4G 内存的PC 机上进行代理模型的构建过程用时约40minD11与D12间初始采样空间及采用D-optimal 实验设计获得的采样点分布如图7所示代理模型的估计误差如图8、9所示，由图中可得代理模型对屈曲载荷及应变能的估计误差均在5%误差带内，因此代理模型精度满足要求4.3 多目标优化采用NSGA-II算法对加强筋的铺层层数、铺层顺序及截面尺寸进行优化根据试错法确定种群规模为100，遗传代数为600，交叉概率为0.9，变异概率为0.1，Permutation 概率为0.1屈曲载荷与应变能通过代理模型的计算获得。
优化所得Pareto 解集如图10 所示，其中E*、BL*、M*分别表示加强筋板的刚度、屈曲及质量的衡量指标值Pareto 解集中部分解的情况如表2所示整个过程用时约1h5、结论（1）对NSGA-II 算法中基因编码方式及遗传操作的改造和Permutation操作的引入，使其可适用于铺层数可变且具有铺层约束的铺层优化问题2）在铺层数可变的情况下，以刚度矩阵分量作为输入的代理模型可以基于较少的采样点对结构响应进行估计在优化过程中减少了有限元的调用次数，提高了优化效率Reference[1] Nagendra S, Jestin D, Gürdal Z, et al. Improved genetic algorithm for the design of stiffened composite panels[J]. Computers & Structures,1996, 58(3): 543-555.[2] Kang J H, Kim C G. Mi。