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1、弹性力学Elastic Mechanics平面问题的基本理论平面问题的直角坐标解答平面问题的极坐标解答空间问题的基本理论空间问题的解答大 纲2第二章 平面问题的基本理论目录目录平面应力与平面应变平衡微分方程平面应力状态几何方程 刚体位移物理方程边界条件圣维南原理及其应用按位移求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程常体力情况下的简化 应力函数提 要41. 平衡微分方程平衡微分方程2-22. 几何方程几何方程2-83. 物理方程物理方程平面应力问题平面应力问题2-124. 边界条件边界条件位移：位移：（2-14）应力：应力：2-15平面问题的基本方程平面问题的基本方程5平面问题基本方程2-13平
2、面应变问题平面应变问题平面应力平面应变：按位移求解平面问题的基本方程按位移求解平面问题的基本方程1 1平衡方程：平衡方程：2-182边界条件：边界条件：位移边界条件：位移边界条件：2-14应力边界条件：应力边界条件：2-196按位移求解平面问题的基本方程平面应力问题平面应力问题平面应力平面应变：按应力求解平面问题的基本方程按应力求解平面问题的基本方程1平衡方程平衡方程2相容方程形变协调方程相容方程形变协调方程3边界条件：边界条件：平面应力情形平面应力情形7按应力求解平面问题平面应变情形平面应变情形1平衡方程平衡方程2相容方程形变协调方程相容方程形变协调方程3边界条件边界条件常体力下平面问题的基
3、本方程常体力下平面问题的基本方程8常体力下平面问题的基本方程全解全解 = 齐次方程齐次方程通解通解+非齐次方程的非齐次方程的特解特解。1 特解特解常体力下特解形式：常体力下特解形式：2 通解通解 应力函数表示的相容方程应力函数表示的相容方程第三章平面问题的直角坐标解答目录目录逆解法与半逆解法 多项式解答矩形梁的纯弯曲位移分量的求出简支梁受均布载荷楔形体受重力和液体压力提 要10应力函数的求解方法应力函数的求解方法1 逆解法逆解法1根据问题的条件根据问题的条件几何形状、受力特点、边界条件等，几何形状、受力特点、边界条件等，假设各种满足相容方程假设各种满足相容方程2-25的的(x,y) 的形式；的
4、形式；2 主要适用于主要适用于简单边界条件简单边界条件的问题。的问题。然后利用应力分量计算式（然后利用应力分量计算式（2-24），求出），求出 （具有待（具有待定系数）；定系数）；3再利用应力边界条件式再利用应力边界条件式2-15，来考察这些应力函数，来考察这些应力函数(x,y) 对应对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数(x,y) 可以求解什可以求解什么问题。么问题。应力函数的求解方法11多项式解答多项式解答适用性：适用性：由一些直线边界构成的弹性体。由一些直线边界构成的弹性体。目的：目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数考察一些简单多项式
5、函数作为应力函数(x,y) ，能解决，能解决什么样的力学问题。什么样的力学问题。逆解法逆解法多项式解答12应力函数的求解方法应力函数的求解方法2 半逆解法半逆解法1根据问题的条件根据问题的条件几何形状、受力特点、边界条件等，几何形状、受力特点、边界条件等，假设部分应力分量假设部分应力分量 的某种函数形式的某种函数形式 ；2根据根据 与应力函数与应力函数(x,y)的关系及的关系及 ，求，求出出(x,y) 的形式；的形式；3最后利用式（最后利用式（2-24）计算出）计算出 并让其满足边界条件和并让其满足边界条件和位移单值条件。位移单值条件。 半逆解法的数学基础：半逆解法的数学基础：数理方程中分离变
6、量法数理方程中分离变量法。应力函数的求解方法13多项式解答多项式解答其中：其中： a、b、c 为待定系数。为待定系数。检验检验(x,y) 是否满足双调和方程：是否满足双调和方程：显然显然(x,y) 满足双调和方程，因而可作为应力函数。满足双调和方程，因而可作为应力函数。11. 一次多项式一次多项式23 对应的应力分量：对应的应力分量：假设体力：假设体力：fx = fy=0，那么有：，那么有：多项式解答14结论结论1：12一次多项式对应于一次多项式对应于无体力、无面力和无应力状态；无体力、无面力和无应力状态；在该函数在该函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。上加上或减去一个一次
7、多项式，对应力无影响。多项式解答多项式解答2. 二次多项式二次多项式1其中：其中： a、b、c 为待定系数。为待定系数。(假定：假定：fx =fy = 0 ; a 0 , b 0, c 0)检验检验(x,y) 是否满足双调和方程，显然有是否满足双调和方程，显然有2(可作为应力函数可作为应力函数 )3 由式由式2-24计算应力分量：计算应力分量：xy2c2c2a2a多项式解答15结论结论2：二次多项式对应于二次多项式对应于均匀应力分布。均匀应力分布。多项式解答多项式解答结论结论2：二次多项式对应于二次多项式对应于均匀应力分布。均匀应力分布。xy试求图示板的应力函数。试求图示板的应力函数。例：例：
8、xy2. 二次多项式二次多项式多项式解答163. 三次多项式三次多项式1其中其中: a、b、c 、d 为待定系数。为待定系数。检验检验(x,y) 是否满足双调和方程，显然有是否满足双调和方程，显然有2(可作为应力函数可作为应力函数 )(假定：假定：fx =fy = 0)3 由式由式2-24计算应力分量：计算应力分量：结论结论3：三次多项式对应于三次多项式对应于线性应力分布。线性应力分布。多项式解答多项式解答多项式解答17讨论：讨论：可算得：可算得：xy1ll图示梁对应的边界条件：图示梁对应的边界条件：MM可见：可见： 对应于矩形截面梁的对应于矩形截面梁的纯弯曲问题纯弯曲问题应力分布。应力分布。
9、常数常数 a 与弯矩与弯矩 M 的关系：的关系：(1)由梁端部的边界条件：由梁端部的边界条件：多项式求解多项式求解多项式解答18(2)此结果与材力中结果相同，此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。多项式求解多项式求解多项式解答19xy1llMM(1)由梁端部的边界条件：由梁端部的边界条件：多项式求解多项式求解xy1llMM说明：说明：(1)组成梁端力偶组成梁端力偶 M 的面力的面力须须线性分布线性分布，且中心处为零，且中心处为零，结果才是结果才是精确的精确的。(2)假设按其它形式分布，如：假设按其它形式分布，如：那么此结果不精确，有
10、误差；那么此结果不精确，有误差；但按圣维南原理，仅在两端误差较但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。大，离端部较远处误差较小。(3)当当 l 远大于远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。时，误差较小；反之误差较大。多项式解答204. 四次多项式四次多项式1检验检验(x,y) 是否满足双调和方程是否满足双调和方程2代入：代入：得得多项式求解多项式求解可见，对于函数：可见，对于函数：其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数：其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数：多项式解答213 应力分量：应力分量： 应力分量为应力分量为 x、y 的二次函数。的二次函数。4 特例：特例：须满
11、足：须满足：a + e =0多项式求解多项式求解多项式解答224. 四次多项式四次多项式总结总结 多项式应力函数多项式应力函数 的性质的性质1 多项式次数多项式次数 n 4 时，则系数可以任意选取，总可满足时，则系数可以任意选取，总可满足 。多项式次数多项式次数 n 4 时，则系数时，则系数须满足须满足一定条件，才能满足一定条件，才能满足 。多项式次数多项式次数 n 越高，那么系数间需满足的条件越多。越高，那么系数间需满足的条件越多。2 一次多项式，对应于一次多项式，对应于无体力和无应力状态；无体力和无应力状态；任意应力函数任意应力函数(x,y)上加上上加上或减去一个或减去一个一次多项式一次多
12、项式，对应力无影响。，对应力无影响。二次多项式二次多项式，对应，对应均匀应力均匀应力状态，即全部应力为常量；状态，即全部应力为常量；三次多项式三次多项式，对应于对应于线性分布应力线性分布应力。3 4 用多项式构造应力函数用多项式构造应力函数(x,y) 的方法的方法 逆解法只能解决简单直线逆解法只能解决简单直线应力边界问题。应力边界问题。多项式解答总结231讨论：讨论：当当 x = x0 =常数常数xyl1hMM u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。说明：说明： 同一截面上的各铅垂线同一截面上的各铅垂线段转角相同。段转角相同。横截面保持平面
13、横截面保持平面 材力中“平面假设 成立。24矩形梁的纯弯曲(f)2将下式中的第二式对将下式中的第二式对 x 求二阶导数：求二阶导数：说明：说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲率在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相同。即相同。即 材料力学中的挠曲线微分方程材料力学中的挠曲线微分方程25矩形梁的纯弯曲1两端简支两端简支(f)其边界条件：其边界条件：将其代入将其代入(f)式，有式，有将其代回将其代回(f)式，有式，有(3-3)梁的挠曲线方程：梁的挠曲线方程： 与材力中结果相同与材力中结果相同位移边界条件的利用位移边界条件的利用26位移边界条件的利用h/2h/2说明：说明：1 求位移的过程：求位移的过程：a
14、将应力分量代入物理方程将应力分量代入物理方程b再将应变分量代入几何方程再将应变分量代入几何方程c再利用位移边界条件，确定常数。再利用位移边界条件，确定常数。位移边界条件的利用位移边界条件的利用30位移边界条件的利用2 假设为平面应变问题，那么将材假设为平面应变问题，那么将材料常数料常数E、作相应替换。作相应替换。3假设取固定端边界条件为：假设取固定端边界条件为：h/2h/2中点不动中点不动中点处竖向线段转角为零中点处竖向线段转角为零得到：得到：求得：求得：此结果与前面情形相同。此结果与前面情形相同。为什么？为什么？位移边界条件的利用位移边界条件的利用31位移边界条件的利用应力函数的确定应力函数
15、的确定xyllqlql1yzh/2h/2q(1)分析：分析： 主要由弯矩引起；主要由弯矩引起； 主要由剪力引起；主要由剪力引起；由由 q 引起挤压应力。引起挤压应力。又又 q =常数，图示坐标系和几何对称，常数，图示坐标系和几何对称，不随不随 x 变化。变化。推得：推得：(2)由应力分量表达式确定应力函数由应力分量表达式确定应力函数 的形式：的形式：积分得：积分得：(a)(b) 任意的待定函数任意的待定函数32简支梁受均布载荷 - 应力函数的确定xyllqlql1yzh/2h/2q(3)由由 确定：确定：代入相容方程：代入相容方程：应力函数的确定应力函数的确定33应力函数的确定xyllqlql
16、1yzh/2h/2q方程的特点：方程的特点：关于关于 x 的二次方程，且要求的二次方程，且要求 l x l 内方程均成立。内方程均成立。由由“高等代数理论，须有高等代数理论，须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即：的一、二次的系数、自由项同时为零。即：对前两个方程积分：对前两个方程积分：(c) 此处略去了此处略去了f1(y)中的常数项中的常数项对第三个方程得：对第三个方程得：积分得：积分得：(d)34应力函数的确定(c)(d)(a)(b)将将(c) (d) 代入代入 (b) ，有，有(e)此处略去了此处略去了f2(y)中的一次项和常数项中的一次项和常数项式中含有式中含有9个待定常数。个待定常数。35应力函数的确定xyllqlql1yzh/2h/2q应力分量的确定应力分量的确定(f)(g)(h)36应力函数的确定xyllqlql1yzh/2h/2q(2-24)1对称条件的应用：对称条件的应用：xyllqlql1yzh/2h/2q由由 q 对称、几何对称：对称、几何对称： x 的偶函数的偶函数 x 的奇函数的奇函数由此得：由此得：要使上式对任意的要使上式对任意的 y 成立，须有：成立
