名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载“ 多次相遇问题” 解题技巧 “ 多次相遇” 问题有直线型和环型两种模型；相对来讲,直线型更加复杂；环型只是 单纯的周期问题；一、直线型 直线型多次相遇问题宏观上分“ 两岸型” 和“ 单岸型” 两种；“ 两岸型” 是指甲、乙两 人从路的两端同时动身相向而行； “ 单岸型” 是指甲、乙两人从路的一端同时动身同向而行；（一）两岸型 两岸型甲、乙两人相遇分两种情形,可以是迎面碰头相遇,也可以是背面追及相遇；题意假如没有明确说明是哪种相遇,对两种情形均应做出摸索；1、迎面碰头相遇：如下图,甲、乙两人从A、B两地同时相向而行,第一次迎面相遇在a 处,（为清晰表示两人走的路程, 将两人的路线分开画出） 就共走了 1 个全程,到达对岸 b 后两人转向其次 次迎面相遇在 c 处,共走了 3 个全程,就从第一次相遇到其次次相遇走过的路程是第一次相遇的 2 倍；之后的每次相遇都多走了2 个全程；所以第三次相遇共走了5 个全程,依次类推得出： 第 n 次相遇两人走的路程和为（2n-1 ）S,S为全程； 而其次次相遇多走的路程是第一次相遇的 用这个 2 倍关系解题；即对于甲和乙而言从细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2 倍,分开看每个人都是2 倍关系,常常可以a 到 c 走过的路程是从起点到a 的 2 倍； 第 1 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -相遇次数优秀教案欢迎下载再走全程数全程个数 1 1 1 2 3 2 3 5 2 4 7 2 ⋯⋯⋯ n 2n-1 2 2、背面追及相遇与迎面相遇类似,背面相遇同样是甲、乙两人从A、B两地同时动身,如下图,此时可假设全程为 4 份,甲 1 分钟走 1 份,乙 1 分钟走 5 份；就第一次背面追及相遇在 a 处,再经过 1 分钟,两人在 b 处迎面相遇,到第3 分钟,甲走 3 份,乙走 15 份,两人在 c 处相遇；我们可以观看, 第一次背面相遇时, 两人的路程差是 1 个全程,其次次背面相遇时, 两人的路程差为 3 个全程；同样其次次相遇多走的路程是第一次相遇的 2 倍,单看每个人多走的路程也是第一次的 2 倍；依次类推,得： 第 n 次背面追及相遇两人的路程差为（ 2n-1 ）S；（二）单岸型单岸型是两人同时从一端动身,与两岸型相像,单岸型也有迎面碰头相遇和背面追及相遇两种情形；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载1、迎面碰头相遇：如下图,假设甲、乙两人同时从A端动身,假设全程为3 份,甲每分钟走 2 份,乙每分钟走 4 份,就甲乙第一次迎面相遇在a 处,此时甲走了 2 份,乙走了 4 份,再过 1 分钟,甲共走了 4 份,乙共走了 8 份,在 b 处迎面相遇, 就其次次相遇多走的跟第一次相遇相同, 依次类推,可得出： 当第 n 次碰头相遇时,两人的路程和为 2ns；2、背面追及相遇与迎面相遇相像,假设全程为3 份,甲每分钟走 1 份,乙每分钟走 7 份,就第一次背面相遇在 a 处, 2 分钟后甲走了 2 份,乙走了 14 份,两人在 b 处相遇；第一次相遇,两人走的路程差为 2S,其次次相遇两人走的路程差为4S,依次类推,可以得出：当第 n 次追及相遇时,两人的路程差为2ns；“ 直线型” 总结（熟记）①两岸型：第 n 次迎面碰头相遇,两人的路程和是（ 2n-1）S；第 n 次背面追及相遇,两人的路程差是（ 2n-1）S；②单岸型：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载第 n 次迎面碰头相遇,两人的路程和为 2ns；第 n 次背面追及相遇,两人的路程差为 2ns；下面列出几种今后可能会考到的直线型多次相遇问题常见的模型：{ 模型一 } ：依据 2 倍关系求 AB两地的距离；【例 1】甲、乙两人在 A、B两地间来回漫步,甲从A,乙从 B同时动身,第一次相遇点距B 60 米,当乙从 A处返回时走了 10 米其次次与甲相遇； A、B相距多少米？ A 、150 B 、170 C 、180 D 、200 【答案及解析】 B；如下图,第一次相遇在 a 处,其次次相遇在 b 处,aB的距离为 60,Ab的距离为 10；以乙为争论对象,依据 2 倍关系,乙从 a 到 A,再到 b 共走了第一次相遇的 2倍,即为 60× 2=120 米,Ab 为 10,就 Aa 的距离为 120-10=110 米,就 AB距离为 110+60=170米；{ 模型二 } ：告知两人的速度和给定时间,求相遇次数；【例 2】甲、乙两人在长30 米的泳池内游泳,甲每分钟游37.5 米,乙每分钟游 52.5 米；两人同时分别从泳池的两端动身,触壁后原路返回,如是来回；假如不计转向的时间,就从动身开头运算的1 分 50 秒内两人共相遇多少次？ 第 4 页,共 12 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - A、2 B优秀教案欢迎下载 D、5 、3 C、4 【答案及解析】 B；题目没说是迎面仍是背面, 所以两种相遇的次数都应当运算； 分开争论,如是是迎面相遇,就走的全程的个数为个,依据迎面相遇n 次,走的全程为2n-1=5,求得 n=3；假如是背面相遇,就走的全程数为3 次；,故在 1 分 50 秒内,不能背面相遇；所以共相遇{ 模型三 } ：告知两人的速度和任意两次迎面相遇的距离,求AB两地的距离；【例 3】甲、乙两车分别从 A、B 两地同时动身,在 A、B 间不断来回行驶；甲车每小时行 20 千米,乙车每小时行 50 千米,已知两车第 10 次与第 18 次迎面相遇的地点相距 60 千米,就 A、B 相距多少千米？ A、95 B、100 C、105 D、110 【答案及解析】 C；走相同时间内,甲乙走的路程比为20：50=2：5；将全程看成 7 份,就第一次相遇走 1 个全程时,甲走 2 份,乙走 5 份；以甲为争论对象（也可以以乙）,第 10次迎面相遇走的全程数为 2× 10-1=19 个,甲走 1 个全程走 2 份,就走 19 个全程可走 19×2=38份；7 份是一个全程,就 38 份共有 38÷ 7=5⋯ 3 份（当商是偶数时从甲的一端数, 0 也是偶数；当商是奇数时从乙的一端数, 比如第 1 个全程在乙的一端, 第 2 个全程在甲的一端）从乙端数 3 份；同理当第 18 次相遇,甲走的份数为（ 2× 18-1 ）× 2=70 份；共有 70÷ 7=10个全程, 10 为偶数在甲的端点；如下图：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载就第 10 次相遇与第 18 次相遇共有 4 份为 60 千米,所以 AB长为 千米；点评：对于给定任意两次的距离, 主要是依据速度转化为全程的份数, 找一个为争论对象,看在相遇次数内走的全程数, 从而转化为份数, 然后依据一个全程的份数, 将争论对象走的总份数去掉全程的个数看剩余的份数,留意由全程的个数打算剩余的份数从哪一端数；【例 4】甲、乙两车分别从 A、B 两地同时动身,在 A、B 间不断来回行驶；甲车每小时行 45 千米,乙车每小时行 36 千米,已知两车第 2 次与第 3 次迎面相遇的地点相距 40 千米,就 A、B 相距多少千米？ A 、90 B 、180 C 、270 D 、110 【答案及解析】 A；法一： 同上题；相同时间,甲、乙路程比为 45：36=5：4,就将全程分成 9 份；就一个全程时甲走 5 份,乙走 4 份；以甲为争论对象,第 2 次相遇,走的全程数为2× 2-1=3 个,就甲走的份数为3× 5=15 份,一个全程为 9 份,就第 2 次相遇甲走的份数转化为全程的个数为 15÷ 9=1⋯ 6 份,就从乙端数 6 份；第 3 次相遇走的份数为（ 2× 3-1 ）×5=25份,转化为全程的个数为25÷ 9=2⋯ 7,就从甲端数 7 份；如下图：由图第 2 次和第 3 次相遇之间共有4 份为 40 千米,就 AB相距=90 千米；法二： 在此引入“ 沙漏模型” ；利用沙漏模型解题的前提是题干中已知两人的速度；将速度转化为相同路程的条件下两人的时间比,就以时间为刻度, 画出两人到达对岸的路线图,两人走的路线图相交的点即为两人相遇的地点； s-t 图中的路线因像古代记时间的沙漏故称为“ 沙漏模型” ；此题中,甲、乙走到端点用的时间比为36：45=4：5；如下图：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 12 页 - - - - - - - - - 。