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1、第二章第二章 量子力学初步量子力学初步2016年年9月月量子力学的基本原理量子力学的基本原理2.1薛定谔波动方程薛定谔波动方程2.2薛定谔波动方程的应用薛定谔波动方程的应用2.3原子波动理论的延伸原子波动理论的延伸2.4小结小结2.5第二章第二章 量子力学初步量子力学初步从普通物理从普通物理四大力学四大力学 -基础课基础课 物理学是实验科学物理学是实验科学 物理学的理论体系物理学的理论体系宏观和低速领域宏观和低速领域牛顿力学和麦克斯韦方程组牛顿力学和麦克斯韦方程组-经典物理经典物理微观和高速领域微观和高速领域相对论和量子力学相对论和量子力学-近代物理近代物理量子力学量子力学的波理论是半导体物理
2、学理论基础。的波理论是半导体物理学理论基础。第二章第二章 量子力学初步量子力学初步2.12.1量子力学的基本原理量子力学的基本原理n三个基本原理三个基本原理n能量量子化原理能量量子化原理n波粒二相性原理波粒二相性原理n不确定原理（测不准原理）不确定原理（测不准原理）2.12.1量子力学基本原理量子力学基本原理 2.1.12.1.1能量量子化原理能量量子化原理n光电效应光电效应-理论与实验的矛盾理论与实验的矛盾2.12.1量子力学基本原理量子力学基本原理-能量量子化能量量子化u光电效应理论与实验的矛盾光电效应理论与实验的矛盾u19001900年普郎克提出热辐射年普郎克提出热辐射量子量子化的概念化
3、的概念( (从加热表发出的从加热表发出的热辐射是不连续的假设热辐射是不连续的假设，即量子。，即量子。) ) hv (hv (普郎克常数普郎克常数h=6.625x10h=6.625x10-34-34J-s)J-s)u19051905年爱因斯坦提出光量子概念（年爱因斯坦提出光量子概念（光子光子）解释了光）解释了光电效应电效应( (光波也是由分立的粒子组成的假设，即光量子。光波也是由分立的粒子组成的假设，即光量子。) )光电子的最大动能：光电子的最大动能：入射光子能量入射光子能量功函数：电子逸出表面吸收的最小能量功函数：电子逸出表面吸收的最小能量2.12.1量子力学基本原理量子力学基本原理-能量量子
4、化能量量子化u量子：热辐射的粒子形式量子：热辐射的粒子形式（普朗克能量量子化）（普朗克能量量子化）u光子：电磁能量的粒子形式光子：电磁能量的粒子形式（爱因斯坦光电效应）（爱因斯坦光电效应）2.12.1量子力学基本原理量子力学基本原理-2.1.22.1.2波粒二相性波粒二相性19241924年德布罗意提出物质波假说年德布罗意提出物质波假说波具有粒子性，粒子也具有波动性波具有粒子性，粒子也具有波动性波粒二相性原理。波粒二相性原理。光子动量：光子动量：粒子的波长：粒子的波长：h h为普郎克常数，为普郎克常数，P P为粒子动量为粒子动量。为物质波的德布罗意波长为物质波的德布罗意波长。波粒二相性原理是波
5、粒二相性原理是利用波理论利用波理论描述晶体中的电子的运动和状态的基础。描述晶体中的电子的运动和状态的基础。P23例例2.2电子的波动性实验电子的波动性实验10电磁波频谱2.1.3 不确定原理不确定原理（测不准原理）（测不准原理）2.1量子力学的（三个）基本原理量子力学的（三个）基本原理主要观点：（1）对于同一粒子）对于同一粒子不可能同时确定其坐标和动量不可能同时确定其坐标和动量。若动量的不确定程度为若动量的不确定程度为p，坐标的不确定程度为，坐标的不确定程度为x，则不确定关系为，则不确定关系为 =h/2 为修正普朗克常数修正普朗克常数。 （2）对于同一粒子）对于同一粒子不可能同时确定其能量和具
6、有此能量的时间点不可能同时确定其能量和具有此能量的时间点。若给定能量不确定程度为若给定能量不确定程度为E，而具有此能量的时间的不确定量为，而具有此能量的时间的不确定量为 t，则，则不确定关系为：不确定关系为：注：当同时测量注：当同时测量坐标与动量坐标与动量或同时或同时测量能量与时间测量能量与时间时，会出现一定程度的偏差。时，会出现一定程度的偏差。 无法确定一个电子的准确坐标，无法确定一个电子的准确坐标，因而可以确定某个坐标位置可能发现电子的因而可以确定某个坐标位置可能发现电子的概率。概率。1927 年年德国核物理学家沃纳沃纳-海森堡海森堡(Heisenberg)提出不确定原理不确定原理2.2
7、2.2 薛定谔波动方程薛定谔波动方程 http:/ 一维非相对论的薛定谔方程：一维非相对论的薛定谔方程： 其中，其中，(x,t)(x,t)为波函数，为波函数，V(x)V(x)为与时间无关的为与时间无关的势函数，势函数，m为为粒子的质量，粒子的质量，j为虚常数。波函数为虚常数。波函数(x,t)描述的是系统的状态描述的是系统的状态.2.2.1 波动方程波动方程 分离变量分离变量： 则有： 常数常数 常数常数 2.22.2薛定谔波动方程薛定谔波动方程 波动方程波动方程 得： 正弦波的指数形式正弦波的指数形式 角频率角频率= =/ / 而而 = E/认为分离常数认为分离常数 =E（粒子总能量）（粒子总
8、能量）薛定谔波动方薛定谔波动方程可写为程可写为：2.2.2 波函数的物理意义波函数的物理意义-几率波几率波2.2 薛定谔波动方程薛定谔波动方程整个波函数是与坐标有关（与时间无关）的函数和与时间有关的函数的乘积：整个波函数是与坐标有关（与时间无关）的函数和与时间有关的函数的乘积：与时间性无关的概率与时间性无关的概率密度函数密度函数即：即： 归一化条件归一化条件 要使能量要使能量E E和势函数和势函数V(x)V(x)在任何位置均为有限值，则：在任何位置均为有限值，则： 1 1、波函数、波函数(x)(x)必须有限、单值和连续。必须有限、单值和连续。 2 2、波函数、波函数(x)(x)的一阶导数必须有
9、限、单值和连续。的一阶导数必须有限、单值和连续。2.2 2.2 薛定谔波动方程薛定谔波动方程2.2.3 2.2.3 边界条件边界条件2.32.3薛定谔波动方程的应用薛定谔波动方程的应用2.3.1 2.3.1 自由空间中的电子自由空间中的电子在没有外力作用下的粒子，势函数在没有外力作用下的粒子，势函数V(x)V(x)为常量，且为常量，且EV(x)EV(x)，设，设V(x) =0V(x) =0 说明自由空间中的粒子运动表现为说明自由空间中的粒子运动表现为行波行波。沿方向沿方向+x+x运动的粒子：运动的粒子：K K为波数为波数=2=2/ /, , 为波长。为波长。是一个与坐标无关的常数，说明是一个与
10、坐标无关的常数，说明自由粒子在空间任意位置出现的概率相等。自由粒子在空间任意位置出现的概率相等。2.32.3薛定谔波动方程的应用薛定谔波动方程的应用 行波与驻波：行波与驻波：形象的说就是一个行走一个停留（当然不是真正的停留）形象的说就是一个行走一个停留（当然不是真正的停留）行行 波波：就是波从波源向外传播；：就是波从波源向外传播；驻驻 波波：波在一个空间中来回反射，由于来回的距离等于：波在一个空间中来回反射，由于来回的距离等于1/41/4波长的奇数倍，于是反射波长的奇数倍，于是反射回来的波与后面传来的波发生干涉，形成稳定的干涉场，各处的振幅稳定不变。振幅回来的波与后面传来的波发生干涉，形成稳定
11、的干涉场，各处的振幅稳定不变。振幅为零的地方叫波节，振幅最大的地方叫波腹。如果发生在一根绳子上我们就会看到一为零的地方叫波节，振幅最大的地方叫波腹。如果发生在一根绳子上我们就会看到一个稳定的象莲藕一样的图像，似乎波个稳定的象莲藕一样的图像，似乎波 停止停止“了传播，所以叫驻波（驻留）。了传播，所以叫驻波（驻留）。 2.32.3薛定谔波动方程的应用薛定谔波动方程的应用2.3.22.3.2无限深势阱（变为驻波方程）无限深势阱（变为驻波方程）与时间无关的波动方程为：与时间无关的波动方程为： 由于由于E E有限，所以区域有限，所以区域I I和和IIIIII中中： 区域区域IIII与时间无关的波动方程为
12、：与时间无关的波动方程为：2.32.3薛定谔波动方程的应用薛定谔波动方程的应用当当Ka=nKa=n时成立，且时成立，且n n为正整数，称为为正整数，称为量子数。量子数。边界条件：边界条件：归一化边界条件归一化边界条件: :波的表达式波的表达式: : （驻波）（驻波）能量能量E E此为此为驻波驻波的表达式，驻波代表束缚态粒子，而行波代表自由粒子。的表达式，驻波代表束缚态粒子，而行波代表自由粒子。2.32.3薛定谔波动方程的应用薛定谔波动方程的应用n能量量子化能量量子化波函数波函数: : 粒子的粒子的能量是不连续的，其能量是各个分立能量是不连续的，其能量是各个分立的能量确定值，称为能级，其值由主量
13、子数的能量确定值，称为能级，其值由主量子数n n决定。决定。例2.32.32.3薛定谔波动方程的应用薛定谔波动方程的应用无限深势阱（前级能量）无限深势阱（前级能量） 随着能量的增加，在任意随着能量的增加，在任意给定坐标值处发现粒子的概给定坐标值处发现粒子的概率会渐趋一致率会渐趋一致2.3.3 2.3.3 阶跃势函数阶跃势函数定义反射系数：定义反射系数：R=R=反射流反射流/ /入射流。入射流。在在区域，区域，EVEV0 0的粒子流入射到势垒上将全部反射回来；的粒子流入射到势垒上将全部反射回来；但但EVEV0 0时，区域时，区域中找到粒子的概率不为零；中找到粒子的概率不为零；在在区由于区由于 0
14、,0,说明入射粒子有一定的概率会穿过势垒到达区域说明入射粒子有一定的概率会穿过势垒到达区域。假设假设EVEV0 02.32.3薛定谔波动方程的应用薛定谔波动方程的应用2.32.3薛定谔波动方程的应用薛定谔波动方程的应用入射粒子能量小于势垒时也有一定概率穿过势垒入射粒子能量小于势垒时也有一定概率穿过势垒（与经典力学不同）（与经典力学不同）假设假设EVEV0 02.3.3 2.3.3 阶跃势函数阶跃势函数2.32.3薛定谔波动方程的应用薛定谔波动方程的应用穿透距离大约为两个硅晶格穿透距离大约为两个硅晶格2.3.4 2.3.4 矩形势垒矩形势垒分别在三个区域中求解与时间无关的分别在三个区域中求解与时
15、间无关的薛定谔方程薛定谔方程2.32.3薛定谔波动方程的应用薛定谔波动方程的应用假设假设EVEV0 02.32.3薛定谔波动方程的应用薛定谔波动方程的应用矩形势垒（隧道效应）矩形势垒（隧道效应） 当粒子撞击势垒时，存在有限的概率穿过势垒。这种当粒子撞击势垒时，存在有限的概率穿过势垒。这种现象称为现象称为隧道效应隧道效应。2.2 薛定谔波动方程薛定谔波动方程2.3.4 矩形势垒矩形势垒2.4 2.4 原子波动理论的延伸原子波动理论的延伸2.4.1 2.4.1 单电子原子单电子原子在单电子原子中，电子与质子间库仑力形成的势函数：在单电子原子中，电子与质子间库仑力形成的势函数：三维与时间无关的薛定谔
16、波动方程：三维与时间无关的薛定谔波动方程：在球坐标系中，波动方程还可写为：在球坐标系中，波动方程还可写为：分离变量法求解：分离变量法求解：n-n-主量子数，主量子数，n=1,2,3,n=1,2,3,L-L-角量子数，角量子数，L=n-1,n-2,L=n-1,n-2,，0 0m m磁量子数，磁量子数，|m|=L,L-1,L-2,|m|=L,L-1,L-2,0,0s s自旋量子数，自旋量子数，s=1/2,-1/2s=1/2,-1/2每一组量子数对应一个量子态的电子每一组量子数对应一个量子态的电子2.4 原子波动理论的延伸原子波动理论的延伸2.4.1 单电子原子单电子原子电子的能量为电子的能量为： n为主量子数，式中能量为负表示电子被束缚在核的周围。为主量子数，式中能量为负表示电子被束缚在核的周围。n取值为整数，取值为整数，说明总能量只能取分立值，能量的量子化。说明总能量只能取分立值，能量的量子化。，最小的能量状态，最小的能量状态，n=1,L=0,m=0,此时波函数：此时波函数：氢 原 子 能级图2.4 原子波动理论的延伸原子波动理论的延伸径向概率密度函数：径向概率密度函数：指电子出现在指电
