2.2不等式2.2.1不等式及其性质1.不等式与不等关系不等式与不等关系不等式的定义所含的两个要点不等式的定义所含的两个要点.(1)不等符号不等符号，或或.(2)所表示的关系是不等关系所表示的关系是不等关系.【思考思考】(1)不等号不等号“，”的读法分别是什么？的读法分别是什么？提示：提示：“”读作小于或者等于，读作小于或者等于，“”读作大于或读作大于或者等于者等于. .(2)不等式不等式“ab”的含义是什么？只有当的含义是什么？只有当“ab”与与“a=b”同时成立时，该不等式才成立，是吗？同时成立时，该不等式才成立，是吗？提示：提示：不等式不等式abab应读作：应读作：“a a小于或等于小于或等于b b”，其含，其含义是指义是指“或者或者abab或者或者a=ba=b”，等价于，等价于“a a不大于不大于b b”，即若即若aba0，那么，那么ab如果如果a-b0，那么，那么a0”，则，则a，b的大小关系是怎样的？的大小关系是怎样的？提示：提示：ba.ba.3.不等式的性质不等式的性质性质性质1aba+cb+c性质性质2ab，c0acbc性质性质3ab，c0acb，bcac性质性质5abbcac-b推论推论2ab，cda+cb+d推论推论3ab0，cd0acbd推论推论4ab0anbn(n N，n1)推论推论5ab0_【思考思考】(1)性质性质2，3可以概括为在不等式的两边同乘以一个不可以概括为在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？提示：提示：不对不对. .要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向等号的方向. .(2)推论推论1类似于解方程中的什么法则？类似于解方程中的什么法则？提示：提示：移项法则移项法则. .(3)使用推论使用推论3，4，5时，要注意什么条件？时，要注意什么条件？提示：提示：各个数均为正数各个数均为正数. .5.证明问题的常用方法证明问题的常用方法(1)综合法综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法过逐步推导最后得到结论的方法.(2)分析法分析法：从要证明的：从要证明的结论出发结论出发，逐步寻求使它成立，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等已知条件、定理、定义、公理等)为止为止.(3)反证法反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立推理得到矛盾，最后得出假设不成立.反证法是一种间反证法是一种间接证明的方法接证明的方法.【思考思考】(1)综合法与分析法有什么区别？综合法与分析法有什么区别？提示：提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因寻找的是充分条件，即执果索因. .(2)反证法的实质是什么？反证法的实质是什么？提示：提示：反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的证明原结论是正确的. .【素养小测素养小测】1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)(1)不等式不等式x2的含义是指的含义是指x不小于不小于2. ()(2)两个实数两个实数a，b之间，有且只有之间，有且只有ab，a=b，ab，则，则ac2bc2.()(4)若若a+cb+d，则，则ab，cd.()提示：提示：(1).(1).不等式不等式x2x2表示表示x2x2或或x=2x=2，即，即x x不小于不小于2.2.(2).(2).任意两数之间，有且只有任意两数之间，有且只有abab，a=ba=b，ababcbc2 2 abab；反之，；反之，c=0c=0时，时，ab acab ac2 2bcbc2 2. .(4).(4).取取a=4a=4，c=5c=5，b=6b=6，d=2d=2，满足，满足a+cb+da+cb+d，但不满，但不满足足abab，故此说法错误，故此说法错误. .2.设设ba，db-dB.acbdC.a+cb+dD.a+db+c【解析解析】选选C.因为因为ba，dc，所以，所以b+da+c.3.已知已知x1，则，则x2+2与与3x的大小关系为的大小关系为_.【解析解析】x2+2-3x=(x-2)(x-1)，而，而x1，所以，所以x-20，x-10，所以，所以x2+23x.答案：答案：x2+23x类型一作差法比较大小类型一作差法比较大小【典例典例】比较下列各式的大小：比较下列各式的大小：(1)当当x1时，比较时，比较3x3与与3x2-x+1的大小的大小.(2)当当x，y，z R时，比较时，比较5x2+y2+z2与与2xy+4x+2z-2的大小的大小.【思维思维引引】利用作差法比较，先作差、化简，再判断利用作差法比较，先作差、化简，再判断差的符号差的符号.【解析解析】(1)3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).因为因为x1，所以，所以x-10，而，而3x2+10.所以所以(3x2+1)(x-1)0，所以，所以3x33x2-x+1.(2)(2)因为因为5x5x2 2+y+y2 2+z+z2 2-(2xy+4x+2z-2)-(2xy+4x+2z-2)=4x=4x2 2-4x+1+x-4x+1+x2 2-2xy+y-2xy+y2 2+z+z2 2-2z+1-2z+1=(2x-1)=(2x-1)2 2+(x-y)+(x-y)2 2+(z-1)+(z-1)2 200，所以所以5x5x2 2+y+y2 2+z+z2 22xy+4x+2z-22xy+4x+2z-2，当且仅当当且仅当x=y= x=y= 且且z=1z=1时取到等号时取到等号. .【素养素养探探】本例考查作差法比较大小，突出考查了逻辑推理与数本例考查作差法比较大小，突出考查了逻辑推理与数学运算的核心素养学运算的核心素养.本例本例(1)中，若把条件中，若把条件“x1”去掉，试比较所给两式去掉，试比较所给两式的大小的大小.【解析解析】去掉条件去掉条件“x1”后需对差的符号进行讨论后需对差的符号进行讨论.显然显然3x2+10，所以，所以当当x1时，时，(3x2+1)(x-1)0，所以，所以3x31时，时，(3x2+1)(x-1)0，所以，所以3x33x2-x+1.【类题类题通通】作差法比较大小的步骤作差法比较大小的步骤【习练习练破破】已知已知x，y R，P=2x2-xy+1，Q=2x-，试比较，试比较P，Q的的大小大小.【解析解析】因为因为P-Q=2xP-Q=2x2 2-xy+1- -xy+1- =x=x2 2-xy+ +x-xy+ +x2 2-2x+1= +(x-1)-2x+1= +(x-1)2 200，所以所以PQ.PQ.【加练加练固固】 比较下列各组中两个代数式的大小：比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x2+3与与2x；(2)已知已知a，b为正数，且为正数，且ab，比较，比较a3+b3与与a2b+ab2的大的大小小.【解析解析】(1)(x(1)(x2 2+3)-2x=x+3)-2x=x2 2-2x+3-2x+3=(x-1)=(x-1)2 2+220+220，所以所以x x2 2+32x.+32x.(2)(a(2)(a3 3+b+b3 3)-(a)-(a2 2b+abb+ab2 2)=a)=a3 3+b+b3 3-a-a2 2b-abb-ab2 2=a=a2 2(a-b)-b(a-b)-b2 2(a-b)=(a-b)(a(a-b)=(a-b)(a2 2-b-b2 2) )=(a-b)=(a-b)2 2(a+b)(a+b)，因为因为a0a0，b0b0，且，且abab，所以所以(a-b)(a-b)2 200，a+b0.a+b0.所以所以(a(a3 3+b+b3 3)-(a)-(a2 2b+abb+ab2 2)0)0，即即a a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2. .类型二利用不等式的性质判断命题真假类型二利用不等式的性质判断命题真假【典例典例】下列命题中一定正确的是下列命题中一定正确的是 ()世纪金榜导学号世纪金榜导学号A.若若ab且且 ，则，则a0，bb，b0，则，则 1C.若若ab，且，且a+cb+d，则，则cdD.若若ab且且acbd，则以，则以cd【思维思维引引】利用不等式的性质和特殊值检验求解利用不等式的性质和特殊值检验求解.【解析解析】选选A.对于对于A项，因为项，因为 ，所以所以 0，即，即 0，又又ab，所以，所以b-a0，所以，所以ab0，b0，b0时，有时，有 03+2，但，但1(-2)7(-1)(-1)(-2)7，但但-17-1b，则，则ac2bc2B.若若ab0，则，则 C.若若ab|b|，则，则a2b2【解析解析】选选D.当当c=0时，有时，有ac2=bc2，故，故A为假命题；为假命题；当当ab0，有，有 ，故，故B为假命题；为假命题；ab-b0，故，故C为假命题；为假命题；若若a|b|0，则，则a2b2，故，故D为真命题为真命题.【类题类题通通】1.运用不等式的性质判断命题真假的技巧运用不等式的性质判断命题真假的技巧(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质.(2)解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算件；二是取值要简单，便于验证计算.2.倒数性质：倒数性质：(1)若若ab0，则，则 .(2)若若0ab，则，则 .即即ab，ab0.【习练习练破破】若若abc，则下列不等式成立的是，则下列不等式成立的是()A.B.C.acbcD.acbcabc，所以，所以a-cb-c0.a-cb-c0.所以所以 . .【加练加练固固】设设a1b-1，则下列不等式中恒成立的是，则下列不等式中恒成立的是()A.B.C.a22bD.ab2【解析解析】选选D.A错，例如错，例如a=2，b=-时，时， ， =-2，此时，此时， ；B错，例如错，例如a=2，b=时，时， ， =2，此，此时，时， ；C错，例如错，例如 时，时， ，此时此时a21，b2b2.类型三利用不等式的性质证明不等式类型三利用不等式的性质证明不等式角度角度1综合法综合法【典例典例】已知已知ab0，cd0，e0，求证：求证： .【思维思维引引】本题可利用不等式的性质进行证明，也可本题可利用不等式的性质进行证明，也可以作差进行证明以作差进行证明.【证明证明】方法一：因为方法一：因为cd0cd-d0-c-d0，因为因为ab0ab0，所以，所以a-cb-d0a-cb-d0，所以所以0 0 ，又因为，又因为e0eb0ab0，cd0cd-d0-c-d0，所以，所以a-c0a-c0，b-d0b-d0，b-a0b-a0，c-d0c-d0，又，又e0e00，所以，所以 . .【素养素养探探】本题主要考查不等式的基本性质，同时考查了逻辑推本题主要考查不等式的基本性质，同时考查了逻辑推理的核心素养理的核心素养.本例条件不变，结论改为求证本例条件不变，结论改为求证 ，请证，请证明明.【证明证明】因为因为cd0cd-d0-c-d0，因为因为ab0ab0，所以，所以a-cb-d0a-cb-d0，所以所以(a-c)(a-c)2 。
