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1、计算机科学学院计算机科学学院 裘国永裘国永第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 n随机变量随机变量 n离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律n随机变量的分布函数随机变量的分布函数n连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度n随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布p p ()()E(q)E(q)N (mN (m, 2 2) )b ( (n, p) )在实际问题中，有些随机试验的结果本身就是在实际问题中，有些随机试验的结果本身就是数值（如班级的平均分数），而许多并不是数数值（如班级的平均分数），而许多并不是数值（掷硬币的结果）。我们对数值的处理比较值（掷硬币的结果）
2、。我们对数值的处理比较得心应手。因此，如果能用数值来表示样本空得心应手。因此，如果能用数值来表示样本空间的样本点，就会非常方便。由此就产生了随间的样本点，就会非常方便。由此就产生了随机变量的概念。机变量的概念。2.1 随机变量随机变量 一、随机变量概念的产生一、随机变量概念的产生 1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）个数） 例如：例如：掷一颗骰子面上出现的点数；掷一颗骰子面上出现的点数； 七月份西安的最高温度。七月份西安的最高温度。每天从西安下火车的人数每天从西安下火车的人数；昆虫的产卵昆虫的产卵数；数；例如：例如：抛掷一枚硬币可能出现的两个
3、结果抛掷一枚硬币可能出现的两个结果, , 可以可以用一个变量来描述。用一个变量来描述。2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果。也就我们可以引进一个变量来表示它的各种结果。也就是说，把试验结果数值化是说，把试验结果数值化再如：再如：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面和反将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面和反面的情况，则样本空间是面的情况，则样本空间是S=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT。令。令X表示三次投掷表示三次投掷得到正面得到正面H的总数，那么的总数，那么X是定义在是
4、定义在S上的一个实上的一个实单值函数单值函数。e.X(e)R 称这种定义在样本空间上的实值函数为称这种定义在样本空间上的实值函数为随随量量机机变变简记为简记为 r.v.（Random variable） 定义定义 设设S=e是试验的样本空间，如果量是试验的样本空间，如果量X是定义是定义在在S上的一个实值单值函数，即对于每一个上的一个实值单值函数，即对于每一个e S，有一实数有一实数X=X(e)与之对应，则称与之对应，则称X为为随机变量随机变量。随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X, Y, Z或希腊字母或希腊字母 、 、 等表等表 示，而表示随机变量所取的值时，一般采用示，而表示随机变
5、量所取的值时，一般采用小写字母小写字母x, y, z等。等。这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？样吗？（2）随机变量的取值具有随机性，它随试验结果随机变量的取值具有随机性，它随试验结果的不同而取不同的值，试验之前仅知道它可能取的不同而取不同的值，试验之前仅知道它可能取值的范围，而不能预知它取什么值。它与普通函值的范围，而不能预知它取什么值。它与普通函数的数的区别在于随机变量取某一个值或在某个区间区别在于随机变量取某一个值或在某个区间内取值均为随机事件。内取值均为随机事件。 （1）随机变量是定义在样本空间）随机变量是定义在样本空间S上的实
6、值单值上的实值单值函数，函数，S中的元素不一定是实数，而普通函数只是中的元素不一定是实数，而普通函数只是定义在实数轴上。定义在实数轴上。 （3）随机变量的取值具有统计规律性。随机变量的取值具有统计规律性。由于试验由于试验结果的出现有一定的概率，因而随机变量取各个结果的出现有一定的概率，因而随机变量取各个值也有一定的概率。值也有一定的概率。 例如，例如，从某一学校随机选一学生，从某一学校随机选一学生，测量他的身高。测量他的身高。我们可以把可能的身高看作随机变量我们可以把可能的身高看作随机变量X，然后可然后可以提出关于以提出关于X的各种问题：的各种问题：如如 PX1.7=？ PX1.5=?P1.5
7、X1.7=?例：例：引入适当的随机变量描述下列事件：引入适当的随机变量描述下列事件： 将将3个球随机地放入三个格子中，事件个球随机地放入三个格子中，事件A=有有1个空格个空格，B=有有2个空格个空格，C=全有球全有球X：空格的个数：空格的个数 进行进行5次试验，事件次试验，事件D=试验成功一次试验成功一次，F=试试验至少成功一次验至少成功一次，G=至多成功至多成功3次次X：试验成功的次数：试验成功的次数随机变量概念的引入是概率论走向成熟的一个标随机变量概念的引入是概率论走向成熟的一个标志，它弥补了随机试验下的随机事件种类繁多，志，它弥补了随机试验下的随机事件种类繁多，不易一一总结它们取值规律的
8、缺陷，因为如果知不易一一总结它们取值规律的缺陷，因为如果知道随机变量的分布，道随机变量的分布， 随机试验下任一随机事件的随机试验下任一随机事件的概率也随之可以得到；另外引入随机变量后，可概率也随之可以得到；另外引入随机变量后，可以使用高等数学的方法来研究随机试验。以使用高等数学的方法来研究随机试验。二、引入随机变量的意义二、引入随机变量的意义事件及事件及事件概率事件概率随机变量及其随机变量及其取值规律取值规律思考思考 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷3次，用次，用X表示表示3次抛掷出次抛掷出现现H的总次数，那么对样本空间的总次数，那么对样本空间S中的每一个样本中的每一个样本点，点，X都有一个数与之
9、对应，即都有一个数与之对应，即那么那么 PX=1=? PX2=?样本点样本点 HHH HHT HTH THH HTTTHTTTHTTTX 的值的值 3 2 2 2 1 1 1 0一般，若一般，若L是一个实数集合，将是一个实数集合，将X在在L上取值写成上取值写成XL。它表示事件。它表示事件B=e| X(e)L，此时有，此时有PXL=P(B)=Pe| X(e)L。上上例例 PX=1=P(A), A=HTT, THT, TTH PX2=P(B), B=HTT, THT, TTH, TTT三、事件和随机变量之间的关系三、事件和随机变量之间的关系随随机机变变量量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量
10、连续型随机变量非离散型随机变量非离散型随机变量奇异型随机变量奇异型随机变量所有取值可以逐个所有取值可以逐个一一列举一一列举全部可能取值不仅全部可能取值不仅无穷多，而且还不能无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一一列举，而是充满一个区间一个区间四、随机变量的分类四、随机变量的分类离离散散型型随随机机变变量量：随随机机变变量量所所有有可可能能取取的的值值是是有限个或可列无限多个。有限个或可列无限多个。为了掌握随机变量为了掌握随机变量X X的统计规律性，我们不仅的统计规律性，我们不仅需要知道随机变量需要知道随机变量X X的取值，而且还应知道的取值，而且还应知道X X取取每个值的概率。每个值的概率。2
11、.2 离散型随机变量及其分布率离散型随机变量及其分布率如如X：取到次品的个数，：取到次品的个数，Y：收到的呼叫数等：收到的呼叫数等都是离散型随机变量，但都是离散型随机变量，但Z：电视机的寿命：电视机的寿命 不不是离散型随机变量。是离散型随机变量。 这样，我们就掌握了这样，我们就掌握了X X这这个随机变量取值的概率规个随机变量取值的概率规律。律。从中任取从中任取3个球个球取到的白球数取到的白球数X是一个随机变量是一个随机变量X X可能取的值是可能取的值是0,1,20,1,2取每个值的概率为取每个值的概率为例例2.1且且 1、定义、定义 设离散型随机变量设离散型随机变量X的所有可能的所有可能取值为
12、取值为xk（k=1, 2, ），称），称X取各个可能值的概率取各个可能值的概率，即事件，即事件X=xk的概率，的概率， PX=xk=pk, （k=1, 2, ） 为为X的的分布律分布律或概率分布或概率分布（Probability distribution）。也。也可以表示为可以表示为Xx1 x2xkpkp1p2pk一、离散型随机变量概率分布的定义一、离散型随机变量概率分布的定义用这两条性质判断用这两条性质判断一个函数是否是一个函数是否是概率分布概率分布（1） pk 0, k1, 2, ;（2） 2. 分布律的性质分布律的性质例例2.2 设随机变量设随机变量X X的概率分布为：的概率分布为：k
13、=0,1,2, ,试确定常数试确定常数a 。解解: : 依据概率分布的性质依据概率分布的性质: :PX =k0, a0从中解得从中解得 。欲使上述函数为概率分布欲使上述函数为概率分布这里用到了幂级数这里用到了幂级数展开式展开式k =0,1,2, ,3. 利用分布律求事件概率利用分布律求事件概率离散型随机变量的分布律不仅给出了离散型随机变量的分布律不仅给出了X=xk 的概率，而且通过它可以求事件的概率，而且通过它可以求事件发生的概率。发生的概率。 由概率的有限可加性有由概率的有限可加性有例例2.3 设袋中有设袋中有5只球，其中有只球，其中有2只白只白3只红。现从只红。现从中任取中任取3只球只球(
14、不放回不放回)，求抽得的白球数，求抽得的白球数X为为k的概的概率率。解解：k可取值可取值0，1，2，求抽得白球数至少为求抽得白球数至少为的概率。的概率。例例2.4 某篮球运动员投中篮圈概率是某篮球运动员投中篮圈概率是0.90.9，求他两，求他两次独立投篮投中次数次独立投篮投中次数X X的分布律。的分布律。解：解：X可取可取0、1、2为值为值 PX =0=(0.1)(0.1)=0.01 PX =1= 2 (0.9)(0.1) =0.18 PX =2=(0.9)(0.9)=0.81 且且 PX =0+ PX =1+ PX =2=11. （0-1）分布）分布若随机变量若随机变量X只取只取0和和1，其
15、分布律为，其分布律为 PXkpk(1p)1k, k0,1 (0p1)则称则称X服从参数为服从参数为p的的（0-1）分布）分布(贝努利分布或两点贝努利分布或两点分布分布) （Two-point distribution）。）。二、二、常见的离散型随机变量的概率分布常见的离散型随机变量的概率分布其分布律也可以写成其分布律也可以写成 凡是随机试验只有两个可能的结果，凡是随机试验只有两个可能的结果，常用常用0 - 1分布描述，如产品是否格、人口性别统分布描述，如产品是否格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等。计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等。应用场合应用场合 200件产品中，有
16、件产品中，有196件是正品，件是正品，4件是次品，件是次品，今从中随机地抽取一件，若规定今从中随机地抽取一件，若规定例例2.5X=1, 1, 取到合格品取到合格品0, 0, 取到不合格品取到不合格品则则 PX=1=196/200=0.98，PX=0=4/200=0.02， 故故X服从参数为服从参数为0.98的两点分布的两点分布。若以若以X表示表示n重重伯努利试验事件伯努利试验事件A发生的次数，则发生的次数，则称称X服从参数为服从参数为n, p的的二项分布二项分布（binomial distribution）。）。记作记作Xb（n, p), 其分布律为：其分布律为：2. 伯努利试验、二项分布伯努利试验、二项分布设将试验独立重复进行设将试验独立重复进行n次，每次试验都只有两次，每次试验都只有两种可能的结果种可能的结果A和和 ，设事件，设事件A发生的概率为发生的概率为p，则称这则称这n次试验为次试验为n重重伯努利试验。伯努利试验。 例例2.6 从某大学到火车站途中有从某大学到火车站途中有6个交通岗，假设在各个交个交通岗，假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立，并且遇到红灯的概率都是通岗是否遇到
