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1、 绝密启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第I卷注意事项：1答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 3本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式 如果事件相互独立，那么 其中R表示球的半径 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中R表示球的半径一选择题（1）复数（
2、A） （B） （C） （D）（2）函数的反函数是（A） （B）（C） （D）（3）若变量满足约束条件则的最大值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（4）如果等差数列中，那么（A）14 （B）21 （C）28 （D）35（5）不等式的解集为（A） （B）（C） （D）（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种（7）为了得到函数的图像，只需把函数的图像（A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单
3、位（8）中，点在上，平方若，则（A） （B） （C） （D）（9）已知正四棱锥中，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A）1 （B） （C）2 （D）3（10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则来（A）64 （B）32 （C）16 （D）8（11）与正方体的三条棱、所在直线的距离相等的点（A）有且只有1个 （B）有且只有2个（C）有且只有3个 （D）有无数个（12）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若，则（A）1 （B） （C） （D）2第卷注意事项：1用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。2本卷共10小题，共90分。二填空题：本大题共4小题，每
4、小题5分，共20分（13）已知是第二象限的角，则 （14）若的展开式中的系数是，则 （15）已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为若，则 （16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，若，则两圆圆心的距离 三解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分10分）中，为边上的一点，求（18）（本小题满分12分）已知数列的前项和（）求；（）证明：（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，为的中点，为上的一点，（）证明：为异面直线与的公垂线；（）设异面直线与的夹角为45，求二面角的大小（20）（本小题满分1
5、2分） 如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9电流能否通过各元件相互独立已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999（）求p； （）求电流能在M与N之间通过的概率； （）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望（21）（本小题满分12分） 己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为 （）求C的离心率； （）设C的右顶点为A，右焦点为F，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切（22）（本小题满分12分）设函数（）证明：当时，；（）设当时，求a的取值
6、范围 2010年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(理)试题答案解析:一、选择题（1）A 解析：.（2）D解析：由y，得ln(x1)2y1，解得 xe2y11，故反函数为ye2x11(xR)故选D。（3）C解析：约束条件所对应的可行域如图 由z2xy得y2xz.由图可知，当直线y2xz经过点A时，z最大由，得，则A(1,1)zmax2113.（4）C解析：an为等差数列，a3a4a512，a44.a1a2a77a428. （5）C解析：，利用数轴穿根法解得-2x1或x3，故选C（6）B解析：标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故
7、选B.（7）B 解析：=，=，所以将的图像向右平移个长度单位得到的图像，故选B.（8）B 解析：因为平分，由角平分线定理得，所以D为AB的三等分点，且，所以，故选B.（9）C解析：本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.设底面边长为a，则高，所以体积，设：，则，当y取最值时，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.（10）A 解析：，切线方程是，令，令，三角形的面积是，解得.故选A.（11）D解析：直线B1D上取一点，分别作PO1，PO2，PO3垂直于B1D1，B1C，B1A于O1，O2，O3则PO1平面A1C1，PO2平面B1C，PO2平面A1B，O1，O2，O3分别作O1N
8、A1D1，O2MCC1，O3QAB，垂足分别为M，N，Q，连PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PNA1D1；PMCC1；PQAB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以PO1=PO2=PO3，O1N=O2M=O3Q，PM=PN=PQ，即P到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.（12）B解析：设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分（13） 解析：由得，又，解得，又是第二象限的角，所以.（14）1 解析：展开式中
9、的系数是.（15）2 解析：过B作BE垂直于准线于E，M为中点，又斜率为，M为抛物线的焦点，2.（16）3 解析：设E为AB的中点，则O，E，M，N四点共面，如图，所以，由球的截面性质，有，所以与全等，所以MN被OE垂直平分，在直角三角形中，由面积相等，可得， 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）解：由由已知得从而 由正弦定理得所以（18）解：（I）所以 （II）当n=1时，当时，所以，当 （19）解：(1)证明：连结A1B，记A1B与AB1的交点为F， 因为面AA1B1B为正方形，故A1BAB1，且AFFB1，又AE3EB1，所以FEEB1，又D
10、为BB1的中点，故DEBF，DEAB1.作CGAB，G为垂足，由ACBC知，G为AB中点又由底面ABC面AA1B1B，得CG面AA1B1B，连结DG，则DGAB1，故DEDG，由三垂线定理，得DECD，所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线(2)因为DGAB1，故CDG为异面直线AB1与CD的夹角，CDG45，设AB2，则AB12，DG，CG，AC，作B1HA1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1面AA1C1C，故B1H面AA1C1C.又作HKAC1，K为垂足，连结B1K，由三垂线定理，得B1KAC1，因此B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角B1H，HC1，AC1，HK，tanB1KH.
11、所以二面角A1-AC1-B1的大小为arctan.（20）解：记A1表示事件，电流能通过A表示事件：中至少有一个能通过电流，B表示事件：电流能在M与N之间通过。 （I）相互独立， 又故 （III）由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能通过各元件相互独立。故（21）解：(1)由题设知，l的方程为yx2. 代入C的方程，并化简，得(b2a2)x24a2x4a2a2b20，设B(x1，y1)、D(x2，y2)，则x1x2，x1x2， 由M(1,3)为BD的中点知1，故1，即b23a2， 故c2a，所以C的离心率e2.(2)由知，C的方程为3x2y23a2，A(a,0)，F(2a,0)，x1x
12、22，x1x20，故不妨设x1a，x2a.|BF|a2x1，|FD|2x2a.|BF|FD|(a2x1)(2x2a)4x1x22a(x1x2)a25a24a8.又|BF|FD|17，故5a24a817，解得a1或a (舍去)故|BD|x1x2|6.连结MA，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|3，从而MAMBMD，且MAx轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切所以过A、B、D三点的圆与x轴相切（22）解：(1)当x1时，f(x)，当且仅当ex1x.令g(x)exx1，则g(x)ex1.当x0时，g(x)0，g(x)在0，)上是增函数；当x0时，g(x)0，g(x)在(，0上是减函数于是g(x)在x0处达到最小值，因而当xR时，g(x)g(0)，即exx1.所以当x1时，f(x).(2)由题设x0，此时f(x)0.
