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1、集合、常用逻辑用语、不等式 1.利用描述法表示集合时，要注意代表元素的意义，如集合表示函数的定义域，集合表示函数的值域，集合表示函数的图象.2.分析集合关系时，弄清集合由哪些元素组成，这就需要我们把抽象的问题具体化、形象化，也就是善于对集合的三种语言(文字、符号、图形)进行相互转化，同时还要善于将多个参数表示的符号描述法的集合化到最简形式此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时因此分类讨论思想是必须的3.求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交
2、集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴，进而用集合语言表示，增强数形结合思想的应用意识要善于运用数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想方法来解决集合的问题要注意若，则，这五个关系式的等价性4.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假.5.充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若pq，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若pq且qp，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充
3、分条件).(2)集合法：利用集合间的包含关系.例如，若AB，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若AB，则A是B的充要条件.(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题.6.（1）命题pq，只要p，q有一真，即为真；命题pq，只有p，q均为真，才为真；p和p为真假对立的命题.（2）命题pq的否定是(p)(q)；命题pq的否定是(p)(q).7.线性规划中常见目标函数的转化公式：（1）截距型：，与直线的截距相关联，若，当的最值情况和z的一致；若，当的最值情况和的相反；（2）斜率型：与的斜率，常见的变形：，.（3）点点距离型：表示到两点距离的平方；（4）点线距离型：表示到直线的距离的
4、倍.注：线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围.一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.8.基本不等式的变形式：，(当且仅当时取“”号)；(当且仅当时取“”号).利用基本不等式求最值满足条件：一正、二定、三相等.注意：（1）若多次利用基本不等式求解一个式子的最值时，需验证每次等号成立的条件必须相同；（2）若等号成立不在给定的区间内，通常利用函数的单调性求最值. 9.含有绝对值的不等式（1）或；（2）；（3）对形如，的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解；（4），此性质可用来解不等式或证明不等式1（2018浙江
5、高考真题）已知全集，则（ ）ABCD【答案】C【解析】因为全集，所以根据补集的定义得，故选C.【回扣要点】集合的概念、集合的补集运算、空集的概念2（2020浙江高三学业考试）已知集合，则（ ）ABCD【答案】D【解析】因为集合,由集合的并集定义可知故选:D【回扣要点】集合的概念、集合的并集运算.3（2022湖南永州市高三二模）已知，是的子集，且，则（ ）ABCD【答案】C【解析】依题意画Venn图，结合Venn图即判断交集结果.【详解】，是的子集，且，如图所示，表示Venn图中的阴影部分，故可知，故选：C.【回扣要点】集合的概念、子集、补集和并集的运算、韦恩图.4（2020浙江高考真题）已知集
6、合P=，则PQ=（ ）ABCD【答案】B【解析】根据集合交集定义求解.【详解】故选：B【回扣要点】集合的概念、集合的交集运算、简单不等式的解法.5（2022浙江高一月考）若全集，则集合的真子集共有（ ）A个B个C个D个【答案】A【解析】由题可知，集合有三个元素所以的真子集个数为：个选A【回扣要点】集合的概念、集合的运算、子集的概念及子集的个数.集合中有n个元素其子集个数为，真子集的个数为-1，非空真子集的个数为-2.6（2020全国高考真题（理）已知集合，则中元素的个数为（ ）A2B3C4D6【答案】C【解析】采用列举法列举出中元素的即可.【详解】由题意，中的元素满足，且，由，得，所以满足的有
7、，故中元素的个数为4.故选：C.【回扣要点】集合的概念、集合的运算、集合中元素的个数.7（2022天津耀华中学高三月考）设，则“”是“”的（ ）A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由解得.由得.所以“”是“”的必要而不充分条件故选：C【回扣要点】充分、必要条件的概念，绝对值不等式的解法.8（2020全国高考真题（理）设集合A=x|x240，B=x|2x+a0，且AB=x|2x1，则a=（ ）A4B2C2D4【答案】B【解析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.【详解】求解二次不等式可得：，求
8、解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故选：B.【回扣要点】集合的运算、简单不等式的解法、集合中参数的确定方法.9（2020浙江高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.【详解】依题意是空间不过同一点的三条直线，当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充
9、分条件.故选：B【回扣要点】充要条件的概念、直线与直线位置关系的判断.10（2022全国高三开学考试（文）“”是“函数在上单调递增”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由函数在上单调递增有恒成立，进而转化为不等式恒成立问题，求的范围，即可判断条件间的充分、必要性.【详解】若在上单调递增，则对任意的恒成立，有对任意的恒成立，即，而当且仅当时等号成立，则.“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.故选：A【回扣要点】充要条件、基本不等式、导数的基本应用.11.（2019北京高考真题（理）若x，y满足，且y1，则3x+y的最大值为（ ）A7B1
10、C5D7【答案】C【解析】由题意作出可行域如图阴影部分所示. 设,当直线经过点时,取最大值5.故选C.【回扣要点】简单线性规划问题的基本解法.12（浙江省宁波市2019届高三上期末）关于x,y的不等式组2xy+30x+m0表示的平面区域内存在点Px0,y0，满足x02y0=3，则实数m的取值范围是（ ）A,3 B1,1 C,1 D1,【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：若平面区域内存在点Px0,y0，满足x02y0=3，则说明直线x2y=3与区域有交点，即点Am,m位于直线x2y=3的下方即可，则点A在区域x2y30，即m2m30，得m1，即实数m的取值范围是，1，故选C【回扣要
11、点】简单线性规划的应用.13（2020浙江高三专题练习）已知且，若在上恒成立，则（ ）ABCD【答案】C【解析】设，求得函数的零点，根据在上恒成立，讨论的符号，结合三次函数的图象，即可求解.【详解】设，可得函数的图象与轴有三个交点，即有三个零点且，由题意知，在上恒成立，则，可得恒成立，排除B，D；当零点重合时，即中间和右边的零点重合，左边的零点再负半轴上，则由或或三种情况，此时显然成立；若，则不成立；若，即，可得且和都在正半轴上，符合题意，综上恒成立.故选：C.【回扣要点】不等式恒成立问题，函数与方程、基本不等式的应用、数形结合思想、分类讨论思想的应用.14.（2020浙江高考真题）若实数x，
12、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数在何处能够取得最大值和最小值从而确定目标函数的取值范围即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最小值为：且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是.故选：B.【回扣要点】线性规划问题的基本解法.把代数问题几何化，即用数
13、形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得.15（2020湖南长沙市高三月考）若0abc，且abc1，则下列结论正确的是（ ）2a+2b4 lg a+lg b0 a+c22 a2+c2ABCD【答案】B【解析】由题干分析得0a1，c1，0ab1，bc1，可变形为2a(1-2bc)+2b(1-2ac)，利用指数函数性质可判断；利用对数函数性质可判断；结合基本不等式再进一步放缩可判断；代换成关于a的表达式，再利用导数研究即可【详解】由题意
14、0abc且abc1，0a1，c1，0ab1，bc1 2a+2b-42a+2b-2abc-2abc2a(1-2bc)+2b(1-2ac)，0abc，bc0，ac0，2bc1，2ac1，所以2a+2b-40，所以错； lg a+lg blg ab0，正确； ，所以a+c22，正确； 由题意，令b1，则，令，(0a1)，则， 令f(a)0，得，所以f(a)在(0，a0)上单调递减，在(a0，1)上单调递增， 所以f(a0)f(1)2，所以错误故选：B【回扣要点】利用指数函数、对数函数的单调性、基本不等式、导数进行大小比较.16（2020全国高三专题练习）设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定与是两个不同的“理想配集”的个数是（ ）A16B
