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1、绝密本科目考试启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5页，150分，考试时长120分钟考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题 共40分）一、选择题10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2.在复平面内，复数对应点的坐标是，则（ ）A. B. C. D. 3.在的展开式中，的系数为（ ）A. B. 5C. D. 104.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）A. B. C. D. 5.已知半径为1的
2、圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 76.已知函数，则不等式的解集是（ ）A B. C D. 7.设抛物线的顶点为，焦点为，准线为是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）A. 经过点B. 经过点C. 平行于直线D. 垂直于直线8.在等差数列中，记，则数列（ ）A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项9.已知，则“存在使得”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）历史
3、上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似数学家阿尔卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域是_12.已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_；C的焦点到其渐近线的距离是_13.已知正方形的边长为2，点P满足，则_；_14.若函数的最大值为2，则常数的一个取值为_15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排
4、放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强其中所有正确结论的序号是_三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在正方体中，E为的中点（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值17.在中，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知，求：（）
5、a的值：（）和的面积条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立（）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（）将该校学生支持方案的概率估计值记为，假设该校年级有500名男生
6、和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小（结论不要求证明）19.已知函数（）求曲线斜率等于的切线方程；（）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值20.已知椭圆过点，且（）求椭圆C的方程：（）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点求的值21.已知是无穷数列给出两个性质：对于中任意两项，在中都存在一项，使；对于中任意项，在中都存在两项使得()若，判断数列是否满足性质，说明理由；()若，判断数列是否同时满足性质和性质，说明理由；()若递增数列，且同时满足性质和性质，证明：为等比数列.绝密本科目考试启用前2020年普通高等学校招生全国统
7、一考试（北京卷）数学本试卷共5页，150分，考试时长120分钟考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题 共40分）一、选择题10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据交集定义直接得结果.【详解】，故选：D.【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则得结果.【详解】由题意得，.
8、故选：B.【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.3.在的展开式中，的系数为（ ）A. B. 5C. D. 10【答案】C【解析】【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.【详解】展开式的通项公式为：，令可得：，则的系数为：.故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项4.某三棱柱的底面为正三
9、角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：.故选：D.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系(2)多面体表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和5.已知半径为1
10、的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心，则，化简得，所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号，故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.6.已知函数，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.【详解】因为，所以等价于，在同一直角坐标系中作出和的图象如图：两函数图象的交点坐标为，不等式的解为或.所以不等式的解集为：.故选：D.【点睛】本题考
11、查了图象法解不等式，属于基础题.7.设抛物线的顶点为，焦点为，准线为是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）A. 经过点B. 经过点C. 平行于直线D. 垂直于直线【答案】B【解析】【分析】依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解.【详解】如图所示：因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，所以线段的垂直平分线经过点.故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.8.在等差数列中，记，则数列（ ）A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有
12、最小项D. 无最大项，无最小项【答案】B【解析】【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差，则其通项公式为：，注意到，且由可知，由可知数列不存在最小项，由于，故数列中的正项只有有限项：，.故数列中存在最大项，且最大项为.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.9.已知，则“存在使得”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件，必要条件
13、的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在使得时，若为偶数，则；若为奇数，则；(2)当时，或，即或，亦即存在使得所以，“存在使得”是“”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似数学家阿尔卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长，利用它们的算术平均数作为的近似值可得出结果.【详解】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆周角为，每条边长为，所以，单位圆的内接正边形的周长为，单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，则.故选：A.【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域是_【答案】【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由
