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1、2021年高考数学尖子生培优题典(新高考专版) 专题02 函数、导数姓名：_ 班级：_ 得分：_一、 选择题1下列函数在定义域上是增函数的是()AyBylogxCy()xDyx3【答案】D【解析】在单调递减，故舍去；在定义域单调递减，故舍去；在定义域上单调递减，故舍去；在定义域上单调递增.2下列求导结果正确的是( )ABCD【答案】D【解析】对于A，故A错误；对于B，故B错误；对于C，故C错误；对于D，故D正确3已知，则的大小关系是( )ABCD【答案】C【解析】，.4已知幂函数的图象经过点，则的增区间为( )ABCD【答案】C【解析】设幂函数，经过点，得，即，得，所以幂函数为，单增区间为.5
2、函数的图像大致是( )ABCD【答案】B【解析】由，得，则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C；当时，故，故排除A、D，6设函数是定义在上的偶函数，当时，单调递增，则不等式的解集为( )A或BCD【答案】A【解析】当时，函数单调递增，且函数是上的偶函数， ，由，得，故，得或.7把满足条件(1)，(2)，使得的函数称为“D函数”，下列函数是“D函数”的个数为( ) A1个B2个C3个D4个【答案】B【解析】满足(1)(2)的函数是偶函数且值域关于原点对称，不满足(2)；不满足(1)；不满足(2)；均满足(1)(2).8在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配
3、货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )A10名B18名C24名D32名【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x名，,故需要志愿者名.9已知曲线在点处的切线方程为，则( )ABCD【答案】D【解析】详解：，将代入得，故选D10已知方程，在上有两个不同的解，则的取值范围是( )ABCD【答案】C【解析】解：设方程在上的两个根为，且
4、，则设，且，所以，上式等号不成立，所以，所以的取值范围为，11设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最小值是( )ABCD【答案】A【解析】，当时，时，时，将函数大致图象绘制如下：时，令，解得：，若对于任意，都有，所以，故选：A.12已知定义在上的奇函数满足：当时，.若不等式对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是( )ABCD【答案】A【解析】由题意知，时，则，因为是上的奇函数，所以，所以当时，.因为函数为上的减函数，所以为上的增函数，故为上的增函数，由，可得，即对任意恒成立，当时，不等式可化为，显然不符合题意，所以，可得，解得.13(多选题)下列函数既是偶函数，又在上单
5、调递减的是( )ABCD【答案】AD【解析】对于A选项，为偶函数，且当时，为减函数，符合题意.对于B选项，为偶函数，根据幂函数单调性可知在上递增，不符合题意.对于C选项，为奇函数，不符合题意.对于D选项，为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，在区间上单调递减，符合题意.14(多选题)如图是函数导函数的图象，下列选项中正确的是( )A在处导函数有极大值B在，处导函数有极小值C在处函数有极大值D在处函数有极小值【答案】ABCD【解析】根据导函数的图像可知：的两侧左减右增，所以在，处导函数有极小值；的两侧左增右减，所以在处导函数有极大值.根据导函数的图像可知：的左侧导数大于零，右侧导数小于零，所
6、以在处函数有极大值.的左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以在处函数有极小值.而左右两侧导函数符号相同，原函数不取得极值.故选：ABCD15(多选题)已知函数，若过点(其中是整数)可作曲线的三条切线，则的所有可能取值为( )A2B3C4D5【答案】ABCD【解析】解：由题知，设切点为，则切线方程为，将，代入得；令，则，或时，；时，的极大值为，极小值为，由题意知，又为整数，.16(多选题)已知符号函数，则( )ABC是奇函数D函数的值域为(，1)【答案】BC【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，log230而log30，则log23log30，故sgn(log23log3)1，A错误；对于B，2
7、0，则sgn()1，B正确；对于C，sgn(x)，当x0时，sgn(x)sgn(x)1，当x0时，sgn(x)sgn(x)1，当x0时，sgn(x)sgn(x)0，则对于任意的x，都有sgn(x)sgn(x)，故sgn(x)是奇函数，C正确；对于D，函数y2xsgn(x)，其图象大致如图，值域不是(，1)，D错误；故选：BC17(多选题)已知是定义在上的函数，是的导函数，给出如下四个结论，其中正确的是( )A若，且，则的解集为B若，且，则函数有极小值0C若，且，则不等式的解集为D若，则【答案】ABD【解析】对选项A：设，因为，且，则，所以在上增函数，又因为，所以当时，即的解集为，故A正确.对选
8、项B，设，因为所以当时， ，为减函数，当时， ，为增函数，故当，取得极小值，极小值为，故B正确.对选项C，设，.因为，所以，在上增函数.又因为，所以.所以当时，故C错误.对选项D，设，因为，所以，在上增函数.所以，即.故D正确.18(多选题)已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=1，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是( )A函数g(x)在(1，+)上为单调递增函数Bx=1是函数g(x)的极小值点C函数g(x)至多有两个零点D当x0时，不等式 恒成立【答案】ABC【解析】函数，则，当时，故在单调递增，A正确；当时，故在单调递减，故x=1是函数g(x)的极小值点，B正确；若，则有两个零点
9、，若，则有一个零点，若，则没有零点，故C正确；在单调递减，则在单调递减，可知时，故，即，D错误；二、 解答题19已知函数.(1)若xR，f(x)0，求实数a的取值范围；(2)用minm，n表示m，n中的较小者.设h(x)minf(x)，g(x)(x0)，若h(x)有三个零点，求实数a的取值范围.【解析】(1)根据题意知对任意实数恒成立，所以，解得.(2)当时，所以，所以在上无零点；所以在上有三个零点，当时，得，所以，所以是的一个零点；当时，所以，所以不是的一个零点；当时，由题意可知，是的一个零点，且在上有两个零点，所以，且，解得，综上所述，若有三个零点，则的取值范围是.20新冠肺炎疫情造成医用
10、防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率().A公司生产万件防护服还需投入成本(万元).(1)将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；(2)在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？(3)对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？(精确到0.01).【解析】(1)由题意，即，.(2)，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以，故政府补贴
11、为万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大为万元.(3)对任意的(万元)，A公司都不产生亏损，则在上恒成立，不等式整理得，令，则，则，由函数在上单调递增，可得，所以，即.所以当复工率达到时，对任意的(万元)，A公司都不产生亏损.21函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)函数在区间上是单调递减函数，求的取值范围.【解析】(1)，因此，曲线在点处的切线方程，即；(2)，令，得或，由于函数在区间上是单调递减函数，则，解得.因此，实数的取值范围是.22已知函数(I)讨论的单调性；(II)设有两个极值点若过两点的直线与轴的交点在曲线上，求的值【解析】(I)，当时，当且仅当时，所以是上增函数；当时，的两个根为，综上所述，当时，单调递增区间是；当时，单调递增区间是，单调递减区间是；(II)由题设知，是方程的两个根，故有，因此，同理，因此直线的方程为，设直线与轴的交点为，得，由题设知，点在曲线上，故，解得或或所以的值为.
