《高考数学（浙江专版）二轮复习专题突破专题16 计数原理与古典概率【教师版】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学（浙江专版）二轮复习专题突破专题16 计数原理与古典概率【教师版】（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、计数原理与古典概率1. 不能正确区分排列与组合导致错误 涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理例1. （江苏高二月考）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门，该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每
2、周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，六个板块都要做完，并且不能同时进行多个板块的学习，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有（ ）A192种B240种C432种D528种【答案】C【解析】本题要将相邻的情况和“阅读文章”与“视听学习”间恰有一个答题板块的情况分别思考，用排列组合的知识分别计算，最后相加即得结果.【详解】由题意，可知“阅读文章”与“视听学习”相邻的方法数为种；“阅读文章”与“视听学习”间恰有一个答题板块的方法数为种；共有种方法.故选：C.点评：1.常见排列组合问题的解法：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题
3、采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数. 2. 本题考查排列数和组合数的应用，关键点在于理解“最多间隔一个”，需要分相邻和间隔一个两种情况讨论.2.混淆“二项式系数与项的系数”致误 的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指，它仅是与二项式的幂的指数n及项数有关的组合数，而与a，b的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的系数有关在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别.例2.（安徽六安一中高三月考（理）已知展开式的各项系数和为12
4、8，则展开式中含项的系数为_.【答案】【解析】令得，解得，将看成7个相乘，要得到含项，则这7个因式中2个因式取，余下5个因式中3个取，余下2个因式取2，所以含项的系数为.故答案为:点评：1、二项式定理；2.赋值法求系数和；3.利用组合思想求项的系数，减少计算量.例3（浙江温州市高三期末）二项式的展开式中的常数项为_，各个二项式系数的和为_【答案】240 64 【解析】求出展开式通项，令的指数为0，即可求出常数项，根据公式可直接计算各个二项式系数的和.【详解】的展开式中的通项为，令，解得，所以常数项为，各个二项式系数的和为.故答案为：240；64.点评：1、二项式定理；2.二项式展开式通项公式；
5、3. 二项式系数为.3.基本事件判断不准、列举重复或遗漏致误 基本事件的特点：(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 例4.（河南高三月考（文）中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于周礼春官大师.八音分为“金、石、七、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.现从“金、石、土、革、丝”中任取“两音”，则“两音”中含“丝”的概率为（ ）ABCD【答案】A【解析】利用列举法写出基本事件，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】从“金
6、、石、土、革、丝”中任取“两音”有（金、石），（金、土），（金、革），（金、丝），（石、土），（石、革），（石、丝），（土、革），（土、丝），（革、丝）共10个基本事件，其中含“丝”的有（金、丝），（石、丝），（土、丝），（革、丝），共个基本事件，故所求概率.故选：A点评：1.列举法求古典概型的概率；2.利用对立事件求概率3.求解古典概型问题的关键是找出样本空间中的基本事件数及所求事件包含的基本事件数，常用方法有列举法、树状图法、列表法法等，所求事件包含的基本事件数与样本空间包含的基本事件数的比值就是所求事件的概率.4.因事件之间的关系不清致误 求事件的概率的关键在于搞清事件的关系，合理选择概
7、率公式进行求解；如：互斥事件有一个发生的概率使用加法公式，相互独立事件同时发生的概率使用乘法公式.例5.（湖南高三期末（理）世界排球比赛一般实行“五局三胜制”，在2019年第13届世界女排俱乐部锦标赛（俗称世俱杯）中，中国女排和某国女排相遇，根据历年数据统计可知，在中国女排和该国女排的比赛中，每场比赛中国女排获胜的概率为，该国女排获胜的概率为，现中国女排在先胜一局的情况下获胜的概率为（ ）ABCD【答案】A【解析】每场比赛中国女排获胜的概率为,该国女排获胜的概率为,现中国女排在先胜一局的情况下获胜,有以下三种情况:总共比赛三场,则第二场和第三场中国队获胜,所以此种情况下中国队获胜概率为 总共比
8、赛四场,则第二场或第三场中国队获胜,该国胜一场.且第四场中国队获胜,则此种情况下中国队获胜的概率为总共比赛五场,则第五场中国队获胜,第二场、第三场、第四场中国队获胜一场,此种情况下的概率为所以中国队获胜的概率为故选:A点评：根据比赛情况,按照比赛总场次分类讨论.当总共比赛三场, 中国女排在先胜一局的情况下,则随后两场中国队都获胜;当总共比赛四场,则第二场或第三场中国队获胜,第四场获胜;当总共比赛五场时,则第二场、第三场、第四场中国队获胜一场,第五场中国队获胜即可.根据概率计算,将三种情况下的概率求和即可得解.分类讨论求符合要求条件的概率,注意分类讨论要全面.5.综合应用能力差而致错求复杂事件的
9、概率问题，关键是理解题目的实际含义：思路一：将所求事件化为彼此互斥事件的和，再用互斥事件的概率加法公式求解；思路二：先求对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式进行求解.例6.（河南高三（理）2019年暑假期间，河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告，观众甲首次看到该景区的广告后，不来此景区的概率为，从第二次看到广告起，若前一次不来此景区，则这次来此景区的概率是，若前一次来此景区，则这次来此景区的概率是.记观众甲第n次看到广告后不来此景区的概率为，若当时，恒成立，则M的最小值为_.【答案】【解析】根据题意，为观众甲第次看到广告后不来此景区的概率，则，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所
10、以， 即，显然数列单调递减，所以当时，所以，所以的最小值为.点评：本题考查概率与数列的综合题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力；求解时注意判断得到“等比数列”并寻找递推关系是解题的关键. 设为观众甲第次看到广告后不来此景区的概率，根据题意可得是首项为，公比为的等比数列，求出的通项公式，再判断其单调性，即可得答案.6.均值、方差的概念及计算公式混淆导致错误设离散型随机变量X的分布列为分布列的两个性质，；.（1）均值：为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平若服从两点分布，则；若，则.（2）方差：描述了 ()相对于均值的偏离程度，而为这些偏
11、离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差若服从两点分布，则若，则（3）六条性质(1) (为常数)(2) 若，其中为常数，则也是随机变量，且.(3) (4)如果相互独立，则(5) (6) 若，其中为常数，则也是随机变量，且例7.（全国高三专题练习）已知随机变量满足，其中.令随机变量，则（ ）ABCD【答案】D【解析】随机变量满足,其中.则随机变量的分布列为: 所以 随机变量,所以当时,当时, 所以随机变量的分布列如下表所示(当时,只有一个情况,概率为1):则当即,解得.所以A、B错误.恒成立.所以C错误,D正确故选:D点评：根据题意
12、,列表求得随机变量及的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出和,根据比较大小，熟记期望、方差的公式是解题的关键例8. （浙江丽水市高三月考）已知随机变量的分布列如下：12Pnm则的最大值（ ）ABCD【答案】C【解析】先根据概率分布列性质得，进而求得，再根据方差的计算公式得，最后结合二次函数性质即可得答案.【详解】解:有题得，即，所以，故，因为，故，所以由二次函数性质得，当，的最大值.故选：C点评：本题考查概率分布列的期望，方差等求解，解题的关键是计算出，进而根据二次函数性质求解.一、选择题1（黑龙江实验中学高三开学考试（理）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我
13、国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ ）A B C D【答案】B【解析】按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下 2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘法计数原理，则上列情况能表示的三位数字个数分别为：2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2，根据分布加法计数原理，5根算筹能表示的三位数字个数为：.故选B.【易错提醒】本题考查分类加法计数原理和
14、分步乘法计数原理，考查数学的应用意识及分析问题解决问题的能力.2.（全国高三专题练习（理）已知，随机变量的分布列如图：则当增大时，的期望变化情况是（ ）-101A增大B减小C先增后减D先减后增【答案】B【解析】由题意可知，所以则当增大时，的期望减小，故选：B.【易错提醒】本题主要考查随机变量的分布列的性质、数学期望的计算公式.3（江苏高三专题练习）设，则随机变量的分布列是：则当在内增大时（ ）A增大B减小C先增大后减小D先减小后增大【答案】D【解析】方法1：由分布列得，则，则当在内增大时，先减小后增大.方法2：则故选D.【易错提醒】1.研究方差随变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.2.易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.4（黑龙江哈尔滨三中高三（理）已知随机变量X服从二项分布.若，则（ ）AB
