通信原理数字信号最佳接收

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1、通信原理1通信原理第第10章章 数字信号最佳接收数字信号最佳接收2第10章 数字信号最佳接收l数字信号的数字信号的统计特性特性n以二进制为例研究接收电压的统计特性。n假设：通信系统中的噪声是均值为0的带限高斯白噪声，其单边功率谱密度为n0；并设发送的二进制码元为“0”和“1”，其发送概率分别为P(0)和P(1)，则有P(0) + P(1) = 1n若此通信系统的基带截止频率小于fH，则根据低通信号抽样定理，接收噪声电压可以用其抽样值表示，抽样速率要求不小于其奈奎斯特速率2fH。n设在一个码元持续时间Ts内以2fH的速率抽样，共得到k个抽样值：，则有k 2fHTs。3第10章 数字信号最佳接收n

2、由于每个噪声电压抽样值都是正态分布的随机变量，故其一维概率密度可以写为式中，n 噪声的标准偏差； n2 噪声的方差，即噪声平均功率； i 1，2，k。n设接收噪声电压n(t)的k个抽样值的k维联合概率密度函数为 4第10章 数字信号最佳接收n由高斯噪声的性质可知，高斯噪声的概率分布通过带限线性系统后仍为高斯分布。所以，带限高斯白噪声按奈奎斯特速率抽样得到的抽样值之间是互不相关、互相独立的。这样，此k 维联合概率密度函数可以表示为n当k 很大时，在一个码元持续时间Ts内接收的噪声平均功率可以表示为：或者将上式左端的求和式写成积分式，则上式变成5第10章 数字信号最佳接收n利用上式关系，并注意到

3、式中 n0 噪声单边功率谱密度则前式的联合概率密度函数可以改写为：式中 n = (n1, n2, , nk) k 维矢量，表示一个码元内噪声的k个抽样值。n需要注意，f(n)不是时间函数，虽然式中有时间函数n(t)，但是后者在定积分内，积分后已经与时间变量t无关。n是一个k维矢量，它可以看作是k 维空间中的一个点。 6第10章 数字信号最佳接收n在码元持续时间Ts、噪声单边功率谱密度n0和抽样数k（它和系统带宽有关）给定后，f(n)仅决定于该码元期间内噪声的能量：n由于噪声的随机性，每个码元持续时间内噪声的波形和能量都是不同的，这就使被传输的码元中有一些会发生错误，而另一些则无错。7第10章

4、数字信号最佳接收n设接收电压r(t)为信号电压s(t)和噪声电压n(t)之和:r(t) = s(t) + n(t)则在发送码元确定之后，接收电压r(t)的随机性将完全由噪声决定，故它仍服从高斯分布，其方差仍为n2，但是均值变为s(t)。所以，当发送码元“0”的信号波形为s0(t)时，接收电压r(t)的k维联合概率密度函数为式中 r = s + n k 维矢量，表示一个码元内接收电压的k个抽 样值； s k 维矢量，表示一个码元内信号电压的k个抽样值。 8第10章 数字信号最佳接收n同理，当发送码元“1“的信号波形为s1(t)时，接收电压r(t)的k维联合概率密度函数为n顺便指出，若通信系统传输

5、的是M 进制码元，即可能发送s1，s2，si，sM之一，则按上述原理不难写出当发送码元是si时，接收电压的k 维联合概率密度函数为 仍需记住，以上三式中的k 维联合概率密度函数不是时间t的函数，并且是一个标量，而r 仍是k维空间中的一个点，是一个矢量。9第10章 数字信号最佳接收l10.2 数字信号的最佳接收数字信号的最佳接收n“最佳”的准则：错误概率最小n产生错误的原因：暂不考虑失真的影响，主要讨论在二进制数字通信系统中如何使噪声引起的错误概率最小。n判决规则设在一个二进制通信系统中发送码元“1”的概率为P(1)，发送码元“0”的概率为P(0)，则总误码率Pe等于式中Pe1 = P(0/1)

6、 发送“1”时，收到“0”的条件概率； Pe0 = P(1/0) 发送“0”时，收到“1”的条件概率；上面这两个条件概率称为错误转移概率。10第10章 数字信号最佳接收按照上述分析，接收端收到的每个码元持续时间内的电压可以用一个k 维矢量表示。接收设备需要对每个接收矢量作判决，判定它是发送码元“0”，还是“1”。由接收矢量决定的两个联合概率密度函数f0(r)和f1(r)的曲线画在下图中（在图中把r 当作1维矢量画出。）：可以将此空间划分为两个区域A0和A1，其边界是r0 ，并将判决规则规定为： 若接收矢量落在区域A0内，则判为发送码元是“0”；若接收矢量落在区域A1内，则判为发送码元是“1”。

7、A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)11第10章 数字信号最佳接收显然，区域A0和区域A1是两个互不相容的区域。当这两个区域的边界r0 确定后，错误概率也随之确定了。这样，总误码率可以写为式中，P(A0/1)表示发送“1”时，矢量r落在区域A0的条件概率 P(A1/0)表示发送“0”时， 矢量r落在区域A1的条件概率这两个条件概率可以写为：这两个概率在图中分别由两块阴影面积表示。 A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)12第10章 数字信号最佳接收将上两式代入得到参考上图可知，上式可以写为上式表示Pe是r0的函数。为了求出使Pe最小的判决分

8、界点r0，将上式对r0求导 并令导函数等于0，求出最佳分界点r0的条件：A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)13第10章 数字信号最佳接收即当先验概率相等时，即P(1) = P(0)时，f0(r0) = f1(r0)，所以最佳分界点位于图中两条曲线交点处的r 值上。在判决边界确定之后，按照接收矢量r 落在区域A0应判为收到的是“0”的判决准则，这时有：若 则判为“0” ；反之，若则判为“1” 。在发送“0”和发送“1”的先验概率相等时，上两式的条件简化为：A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0) 若f0(r) f1(r)，则判为“0” 若f0

9、(r) f1(r)，则判为“1”14第10章 数字信号最佳接收这个判决准则常称为最大似然准则。按照这个准则判决就可以得到理论上最佳的误码率，即达到理论上的误码率最小值。p以上对于二进制最佳接收准则的分析，可以推广到多进制信号的场合。设在一个M 进制数字通信系统中，可能的发送码元是s1，s2，si，sM之一，它们的先验概率相等，能量相等。当发送码元是si时，接收电压的k 维联合概率密度函数为于是，若 则判为si(t)，其中，15第10章 数字信号最佳接收l10.3 确知数字信号的最佳接收机确知数字信号的最佳接收机n确知信号：指其取值在任何时间都是确定的、可以预知的信号。n判决准则当发送码元为“0

10、”，波形为so(t)时，接收电压的概率密度为当发送码元为“1”，波形为s1(t)时，接收电压的概率密度为因此，将上两式代入判决准则式，经过简化，得到：16第10章 数字信号最佳接收若则判为发送码元是s0(t)；若 则判为发送码元是s1(t)。 将上两式的两端分别取对数，得到若 则判为发送码元是s0(t)；反之则判为发送码元是s1(t)。由于已经假设两个码元的能量相同，即所以上式还可以进一步简化。 17第10章 数字信号最佳接收若式中则判为发送码元是s0(t)；反之，则判为发送码元是s1(t)。W0和W1可以看作是由先验概率决定的加权因子。 n最佳接收机u按照上式画出的最佳接收机原理方框图如下：

11、18第10章 数字信号最佳接收W1r(t)S1(t)S0(t)W0t = Ts比较判决积分器积分器19r(t)S0(t)S1(t)积分器积分器比较判决t = Ts第10章 数字信号最佳接收若此二进制信号的先验概率相等，则上式简化为最佳接收机的原理方框图也可以简化成 20第10章 数字信号最佳接收由上述讨论不难推出M 进制通信系统的最佳接收机结构 u上面的最佳接收机的核心是由相乘和积分构成的相关运算，所以常称这种算法为相关接收法。u由最佳接收机得到的误码率是理论上可能达到的最小值。 积分器r(t)SM(t)S0(t)S1(t)比较判决积分器积分器21第10章 数字信号最佳接收l10.4 确知数字

12、信号最佳接收的确知数字信号最佳接收的误码率率n总误码率在最佳接收机中，若 则判为发送码元是s0(t)。因此，在发送码元为s1(t)时，若上式成立，则将发生错误判决。所以若将r(t) = s1(t) + n(t)代入上式，则上式成立的概率就是在发送码元“1”的条件下收到“0”的概率，即发生错误的条件概率P(0 / 1)。此条件概率的计算结果如下 22第10章 数字信号最佳接收式中同理，可以求出发送s0(t)时，判决为收到s1(t)的条件错误概率式中23第10章 数字信号最佳接收因此，总误码率为n先验概率对误码率的影响当先验概率P(0) = 0及P(1) = 1时，a = - 及b = ，因此由上

13、式计算出总误码率Pe = 0。在物理意义上，这时由于发送码元只有一种可能性，即是确定的“1”。因此，不会发生错误。同理，若P(0) = 1及P(1) = 0 ，总误码率也为零。24第10章 数字信号最佳接收u当先验概率相等时：P(0) = P(1) = 1/2，a = b。这样，上式可以化简为式中上式表明，当先验概率相等时，对于给定的噪声功率2，误码率仅和两种码元波形之差s0(t) s1(t)的能量有关，而与波形本身无关。差别越大，c 值越小，误码率Pe也越小。 u当先验概率不等时：由计算表明，先验概率不等时的误码率将略小于先验概率相等时的误码率。就误码率而言，先验概率相等是最坏的情况。25第

14、10章 数字信号最佳接收n先验概率相等时误码率的计算在噪声强度给定的条件下，误码率完全决定于信号码元的区别。现在给出定量地描述码元区别的一个参量，即码元的相关系数 ，其定义如下：式中E0、E1为信号码元的能量。当s0(t) = s1(t)时，1，为最大值；当s0(t) = -s1(t)时，1，为最小值。所以 的取值范围在-1 +1。 26第10章 数字信号最佳接收当两码元的能量相等时，令E0 = E1 = Eb，则上式可以写成并且将上式代入误码率公式，得到 为了将上式变成实用的形式，作如下的代数变换：令则有27第10章 数字信号最佳接收于是上式变为式中 利用下式中2和n0关系代入上式，得到误码

15、率最终表示式：28第10章 数字信号最佳接收式中 误差函数 补误差函数 Eb 码元能量； 码元相关系数； n0 噪声功率谱密度。上式是一个非常重要的理论公式，它给出了理论上二进制等能量数字信号误码率的最佳（最小可能）值。在下图中画出了它的曲线。实际通信系统中得到的误码率只可能比它差，但是绝对不可能超过它。29第10章 数字信号最佳接收n误码率曲线dB30第10章 数字信号最佳接收n最佳接收性能特点u误码率仅和Eb / n0以及相关系数有关，与信号波形及噪声功率无直接关系。 u码元能量Eb与噪声功率谱密度n0之比，实际上相当于信号噪声功率比Ps/Pn。因为若系统带宽B等于1/Ts，则有 按照能消

16、除码间串扰的奈奎斯特速率传输基带信号时，所需的最小带宽为(1/2Ts) Hz。对于已调信号，若采用的是2PSK或2ASK信号，则其占用带宽应当是基带信号带宽的两倍，即恰好是(1/Ts) Hz。所以，在工程上，通常把(Eb/n0)当作信号噪声功率比看待。31第10章 数字信号最佳接收u相关系数 对于误码率的影响很大。当两种码元的波形相同，相关系数最大，即 = 1时，误码率最大。这时的误码率Pe = 1/2。因为这时两种码元波形没有区别，接收端是在没有根据的乱猜。当两种码元的波形相反，相关系数最小，即 = -1时，误码率最小。这时的最小误码率等于 例如，2PSK信号的相关系数就等于 -1。u当两种码元正交，即相关系数 等于0时，误码率等于u例如，2FSK信号的相关系数就等于或近似等于零。32第10章 数字信号最佳接收u若两种码元中有一种的能量等于零，例如2ASK信号，则误码率为u比较以上3式可见，它们之间的性能差3dB，即2ASK信号的性能比2FSK信号的性能差3dB，而2FSK信号的性能又比2PSK信号的性能差3dB。33第10章 数字信号最佳接收n多进制通信系统u若不同码元的信号正交，