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1、11简谐振动简谐振动2简谐振动的合成简谐振动的合成3阻尼振动与受迫振动简介阻尼振动与受迫振动简介第第6章章机械振动基础机械振动基础浙江工商大学大学物理2小号发出的波足以把玻璃杯振碎小号发出的波足以把玻璃杯振碎3机械振动：机械振动：物体位置在某一值附近来回往复的变化物体位置在某一值附近来回往复的变化广义振动：广义振动：一个物理量在某一定值附近往复变化一个物理量在某一定值附近往复变化该物理量的运动形式称振动该物理量的运动形式称振动物理量：物理量：等等等等4重要的振动形式是重要的振动形式是简谐振动简谐振动( (S.H.V.) )simpleharmonicvibration物理上：物理上：一般运动是
2、多个简谐振动的合成一般运动是多个简谐振动的合成数学上：数学上：付氏级数付氏级数付氏积分付氏积分也可以说也可以说S.H.V.是振动的基本模型是振动的基本模型或说或说振动的理论建立在振动的理论建立在S.H.V.的基础上的基础上注意：注意：以机械振动为例说明振动的一般性质以机械振动为例说明振动的一般性质51简谐振动简谐振动 基本概念基本概念基本概念基本概念1.1.平衡位置平衡位置平衡位置平衡位置质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于零，该位置即为平衡位置。等于零，该位
3、置即为平衡位置。等于零，该位置即为平衡位置。等于零，该位置即为平衡位置。 2.2.线性回复力线性回复力线性回复力线性回复力若作用于质点的力与质点相对于平衡位置的位移若作用于质点的力与质点相对于平衡位置的位移若作用于质点的力与质点相对于平衡位置的位移若作用于质点的力与质点相对于平衡位置的位移（线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则（线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则（线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则（线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则此作用力称作线性回复力。此作用力称作线性回复力。此作用力称作线性回复力。此作用力称作线性回复力。 公式：公式：公式：公式： 是相对于平
4、衡位置的位移。是相对于平衡位置的位移。是相对于平衡位置的位移。是相对于平衡位置的位移。 3.3.简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动。质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动。质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动。质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动。66.1.1.简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动以弹簧谐振子为例以弹簧谐振子为例设弹簧原长为坐标原点设弹簧原长为坐标原点由由牛顿第二定律牛顿第二定律令令简谐振动简谐振动整理得整理得7弹簧振子作简谐振动的弹簧振子作简谐振动的弹簧振子作简谐振动的弹簧振子作简谐振动的动力学方程动力学方程动力学方程动力学方程总结
5、：总结：总结：总结：如质点运动的动力学方程可归结为：如质点运动的动力学方程可归结为：如质点运动的动力学方程可归结为：如质点运动的动力学方程可归结为： 的形式，且其中的形式，且其中的形式，且其中的形式，且其中 决决决决定于振动系统本身的性质。上式的形式就是简谐振动的动力学方程式。定于振动系统本身的性质。上式的形式就是简谐振动的动力学方程式。定于振动系统本身的性质。上式的形式就是简谐振动的动力学方程式。定于振动系统本身的性质。上式的形式就是简谐振动的动力学方程式。方程的解为：方程的解为：方程的解为：方程的解为： （1 1 1 1）（1 1 1 1）式就是）式就是）式就是）式就是简谐振动的运动学方程
6、简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程，该式又是周期函数，故简谐，该式又是周期函数，故简谐，该式又是周期函数，故简谐，该式又是周期函数，故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。振动是围绕平衡位置的周期运动。振动是围绕平衡位置的周期运动。振动是围绕平衡位置的周期运动。8简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程则速度和加速度分别为96.1.2、简谐振动的、简谐振动的振幅、周期、频率和相位振幅、周期、频率和相位表征了系统的能量表征了系统的能量位移位移振幅振幅最大位移最大位移由初始条件决定由初始条件决定1.运动学表达式运动学表达式广义：广义：振
7、动的物理量振动的物理量弹簧谐振子弹簧谐振子特征量：特征量：10位相位相周相周相系统的周期性系统的周期性固有的性质固有的性质称固有称固有频率频率圆频率圆频率相位相位初相位初相位角频率角频率取决于时间零点的选择取决于时间零点的选择初位相初位相频率频率周期周期11简谐振动的描述简谐振动的描述1.解析描述解析描述12均是作谐振动的物理量均是作谐振动的物理量频率相同频率相同振幅的关系振幅的关系相位差相位差超前超前落后落后132.曲线描述曲线描述141）谐振动谐振动运动学方程运动学方程运动学方程运动学方程从对象的运动规律出发从对象的运动规律出发（电学规律电学规律力学规律等）力学规律等）S.H.V.的标准形
8、式的标准形式小结小结2）动力学方程）动力学方程S.H.V.的判据的判据156.1.3 振幅和初相的确定决定简谐振动的具体形式 需知外力条件，还需知道初始条件，即t0时的位移 和速度 。设书中例题6.1，6.2，6.4（197页）16练习题： 弹簧振子的振动表达式用余弦函数表示。若t0时物体的运动状态分别为（1） （2）过平衡位置向x正方向运动；（3） 且向x负方向运动。试用相量图法分别确定相应的初相。解：设振动表达式为则同理相量图分别为：176.1.4简谐振动的能量简谐振动的能量如如弹簧谐振子弹簧谐振子系统机械能守恒系统机械能守恒以弹簧原长为势能零点以弹簧原长为势能零点18讨论讨论1) )普适
9、普适2) )时间平均值时间平均值3) )由简谐振动能量求振动由简谐振动能量求振动例题6.5（203页） （理解）19练习：一弹簧振子，劲度系数为25N/m,当物体以初动能和初势能分别为 振动时，请回答：（1）振幅是多大？（2）位移是多大时，动能和势能相等？（3）位移是振幅一半时，势能多大？练习：一弹簧振子，劲度系数为25N/m,当物体以初动能和初势能分别为 振动时，请回答：（1）振幅是多大？（2）位移是多大时，动能和势能相等？（3）位移是振幅一半时，势能多大？206.1.5.旋转矢量表示法旋转矢量表示法用匀速圆周运动用匀速圆周运动几何地描述几何地描述SHV规定规定端点端点在在x轴上的投影式轴上
10、的投影式逆时针转逆时针转以角速度以角速度211）直观地表达振动状态直观地表达振动状态优点优点当振动系统确定了振幅以后当振动系统确定了振幅以后表述振动的关键就是表述振动的关键就是相位相位即即表达式中的余弦函数的表达式中的余弦函数的综量综量而而旋转矢量图旋转矢量图可可直观地显示该综量直观地显示该综量分析解析式分析解析式可知可知用图用图代替了文字的叙述代替了文字的叙述22如如文字叙述说文字叙述说t 时刻弹簧振子质点时刻弹簧振子质点在正的端点在正的端点旋矢与轴夹角为零旋矢与轴夹角为零质点经二分之一振幅处质点经二分之一振幅处向负方向运动向负方向运动意味意味意味意味23质点过平衡位置向负方向运动质点过平衡
11、位置向负方向运动同样同样0向负方向运动向负方向运动000或或0向正向向正向运动运动25由图看出：速度超前位移由图看出：速度超前位移加速度超前速度加速度超前速度称两振动称两振动同相同相2）方便地方便地比较振动步调比较振动步调位移与加速度位移与加速度称两振动称两振动反相反相若若262简谐振动的合成简谐振动的合成一、同方向同频率一、同方向同频率谐振动谐振动的合成的合成二、同方向不同频率二、同方向不同频率谐振动谐振动的合成的合成 拍拍三、三、两个垂直方向谐振动的合成两个垂直方向谐振动的合成利萨如图形利萨如图形四、谐振分析四、谐振分析27当一个物体同时参与几个谐振动时当一个物体同时参与几个谐振动时就需考
12、虑振动的合成问题就需考虑振动的合成问题本节只讨论满足线性叠加的情况本节只讨论满足线性叠加的情况本节所讨论的本节所讨论的同频率同频率的谐振动合成结果的谐振动合成结果是波的是波的干涉和偏振光干涉干涉和偏振光干涉的重要基础的重要基础本节所讨论的本节所讨论的不同频率不同频率的谐振动合成结果的谐振动合成结果可以给出重要的可以给出重要的实际实际应用应用286.2.16.2.1、振动方向相同、振动方向相同 振动频率相同的振动频率相同的 两个两个SHV的合成的合成线性叠加线性叠加结果：结果：仍是谐振动仍是谐振动振动频率仍是振动频率仍是 振动的振幅振动的振幅（双光束干涉的理论基础）（双光束干涉的理论基础）29
13、若若反相反相合振动合振动减弱减弱同相同相合振动合振动加强加强特殊结果：特殊结果： 若若 若若两两振动同相振动同相两振动反相两振动反相可能的最强振动可能的最强振动“振动加振动振动加振动”不振不振动动306.2.2、振动方向相同振动方向相同频率略有差别的频率略有差别的振幅相等的振幅相等的两个两个SHV的合成的合成拍拍分振动：分振动：线性相加：线性相加：结论：结论：合成已不再是谐振动合成已不再是谐振动但考虑到但考虑到 1 2可以用可以用谐振动表达式等效谐振动表达式等效加深认识加深认识31分析：分析：则则较较随时间变化缓慢随时间变化缓慢将将合成式写成谐振动形式合成式写成谐振动形式32合振动可看做是振幅
14、缓变的谐振动合振动可看做是振幅缓变的谐振动合成振动如图示合成振动如图示表达式为表达式为33 拍拍 合振动的周期性的强弱变化叫做合振动的周期性的强弱变化叫做拍拍 拍频拍频 单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频测测未知频率的一种方法未知频率的一种方法由式由式得得346.2.3、两个垂直方向谐振动的合成、两个垂直方向谐振动的合成1.同频率的谐振动合成同频率的谐振动合成线性相加：线性相加：轨迹方程是椭圆轨迹方程是椭圆即即合成的一般结果是椭圆合成的一般结果是椭圆35不同不同椭圆形状、旋向也不同椭圆形状、旋向也不同 = =3 /2 =5 /4 =7 /4 = /2
15、= /4PQ =0yx =3 /4（-3 /4）（- /2）（- /4）362.频率比是简单的正整数频率比是简单的正整数合成轨迹为合成轨迹为稳定的闭合曲线稳定的闭合曲线利萨如图利萨如图 yxA1A20-A2- A1 例如左图：例如左图：应用：应用：测定未知频率测定未知频率37四、谐振分析四、谐振分析利用付里叶分解利用付里叶分解可将任意振动分解成若干可将任意振动分解成若干SHV的叠加的叠加(合成的逆运算）合成的逆运算） 对周期性振动：对周期性振动：T 周期周期k =1基频基频（ ）k =2二二次谐频次谐频（2 ）k =3三次谐频三次谐频（3 ）决定决定音调音调决定决定音色音色高次高次谐频谐频38
16、共振共振( (简谐振动）简谐振动） 振动振动受迫振动受迫振动自由振动自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由谐振动无阻尼自由谐振动振动的形式振动的形式:393阻尼振动与受迫振动阻尼振动与受迫振动一、一、阻尼振动阻尼振动二、受迫振动二、受迫振动三、共振三、共振40一、一、阻尼振动阻尼振动1.阻尼振动阻尼振动系统在振动过程中系统在振动过程中受到粘性阻力作用后受到粘性阻力作用后能量将随时间逐渐衰减能量将随时间逐渐衰减系统受的粘性阻力与速率成正比系统受的粘性阻力与速率成正比比例系数比例系数 叫阻力系数叫阻力系数关系式为关系式为:41令令称阻尼因子称阻尼因子系统固有频率系统固有频率2.阻尼振动的动力学方程阻尼振动的动力学方程由牛顿第二定律有由牛顿第二定律有整理得整理得式中式中42 如果无阻尼如果无阻尼是谐振动的形式是谐振动的形式 存在阻尼存在阻尼仍振动但能量会衰减仍振动但能量会衰减如果能振动起来（欠阻尼情况）如果能振动起来（欠阻尼情况）上述方程的解是什么形式呢？上述方程的解是什么形式呢？从物理上考虑：从物理上考虑：阻尼振动方程为阻
