《小波分析》PPT课件

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1、1. .小波和小波变换小波和小波变换( (Wavelet and Wavelet Transform) )几点约定几点约定:我们的讨论范围只是函数空间我们的讨论范围只是函数空间 L2（R）；小写小写 是时间信号，大写是时间信号，大写 是其是其Fourier变换；变换；尺度函数总是写成尺度函数总是写成 （时间域）和（时间域）和 （频率（频率域）；域）；小波函数总是写成小波函数总是写成 （时间域）和（时间域）和 （频率（频率域）。域）。 小波小波( (Wavelet) ) 小波小波就是空间就是空间L2(R)中满足下述条中满足下述条件的函数或者信号件的函数或者信号 : : 这这时时， 也也称称为为小

2、小波波母母函函数数，(2) 称称为为容容许性条件许性条件。（1）（2）连续小波连续小波函数：函数：为为由由小小波波母母函函数数 生生成成的的依依赖赖于于参参数数（a,b）的的连连续续小小波波，简简称称为为小波小波。（3）注释注释注释：如果小波母函数注释：如果小波母函数 的的Fourier 变换变换 在原点在原点 是连续是连续 的，那么公式的，那么公式(2)说明说明 ，于是于是这说明函数这说明函数 有波动的特点，公式有波动的特点，公式(1)又说明函数又说明函数 有衰减的特点，因此，有衰减的特点，因此，称函数称函数 为为“小波小波”。 小波变换小波变换( (Wavelet Transform) )

3、对对于于任任意意的的函函数数或或者者信信号号 ，其其小波变换为小波变换为 （4）性质性质这样定义的小波变换具有下列性质：这样定义的小波变换具有下列性质：Plancherel恒等式：恒等式： 小波变换的逆变换公式：小波变换的逆变换公式： （5）（6）性质性质吸收公式：当吸收条件吸收公式：当吸收条件 成立时，有吸收的成立时，有吸收的Plancherel恒等式恒等式 （7）（8）性质性质吸收的逆变换公式吸收的逆变换公式 （9）1.3.二进小波和二进小波变换二进小波和二进小波变换(Dyadic Wavelet Transform) 如果小波函数如果小波函数 满足稳定性条件满足稳定性条件(10)则称则称

4、 为二进小波，对于任意的整数为二进小波，对于任意的整数k, ,记记(11)逆变换逆变换对于任意的对于任意的 ，其二进小波变换为：，其二进小波变换为：这时，逆变换公式是这时，逆变换公式是（12）（13）重构小波重构小波其中其中 的的Fourier变换满足变换满足 称为二进小波称为二进小波 的重构小波，比如可取：的重构小波，比如可取：（14）（15）设小波为设小波为 ，对于任意的整数，对于任意的整数k 和和j，记记1.4. 正交小波和小波级数正交小波和小波级数( (Orthonormal Wavelet) ) 构构成成空空间间 的的标标准准正正交交基基，则则称称 是是正正交小波。交小波。如果函数族

5、如果函数族(16)(17)小波级数小波级数这时，逆变换公式就是小波级数这时，逆变换公式就是小波级数 (18)其中小波系数其中小波系数 的算法是的算法是 (19)连续和离散统一连续和离散统一上上的的取取值值，因因此此，小小波波系系数数 实实际际上上是是信信号号f(x)的的离离散散小小波波变变换换。其其实实，这这也也是是小波变换迷人的风采之一：小波变换迷人的风采之一：小波系数是信号小波系数是信号f(x)的小波变换的小波变换 在在二进离散点二进离散点(20)连续变换和离散变换形式统一；连续变换和离散变换形式统一；连续变换和离散变换都适合全体信号；连续变换和离散变换都适合全体信号；2. 小波分析和时小

6、波分析和时- -频分析频分析(Time-Frequency Analysis )2.1 窗口窗口Fourier变换和变换和Gabor变换变换(Windowed Fourier Transform and Gabor Transform) 在在1946年开创时年开创时-频分析的先河提出频分析的先河提出Gabor Transform一般的时一般的时-频分析是频分析是Windowed Fourier TransformShort-Time Fourier TransformWindowed Fourier Transform称称为为信信号号 的的窗窗口口Fourier变变换换，其其中中的的函函数数

7、称称为为窗窗口口函函数数，一一般般要要求求是：是：具体地具体地(21)Gabor Transform取取(22)是是Gaussian函函数数，对对应应的的变变换换称称为为Gabor变变换换(1946)。对对于于Gabor变变换换，存存在在如如下下的频率再分割公式：的频率再分割公式：(23)物理解释物理解释Gabor变变换换 是是信信号号 在在x=x0点点“附近附近”的频率为的频率为 的频率成分；的频率成分；只只要要把把信信号号 在在各各个个时时间间点点“附附近近”的的频频率率为为 的的频频率率成成分分全全部部累累加加起起来来，理理所所当当 然然就就应应该该是是这这个个信信号号的的频频率率为为

8、的的频频率率成成 分；分；Gabor变变换换 可可以以认认为为是是信信号号f(x)的的另另一一种种等等价价描描述述(因因为为Fourier变变换换是是信信号号的的等价描述等价描述)局限局限Gabor变变换换没没有有“好好”的的（即即可可以以构成标架或者正交基）离散形式；构成标架或者正交基）离散形式；Gabor变变换换没没有有快快速速算算法法：比比如如没没有有类类似似于于离离散散Fourier变变换换之之FFT的快速数值算法；的快速数值算法；遗憾的是，遗憾的是，Gabor变换存在如下局限：变换存在如下局限： Appendix A Fig.1. Gabor变换的固定时变换的固定时- -频窗口频窗口

9、t00t1t12.2. 时时- -频分析频分析(Time-Frequency Analysis）时时- -频频分分析析本本质质上上是是信信号号描描述述、分分析析和和处处理理的的一一种种方方法法，它它给给信信号号的的“最最优优描描述述问问题题”提提供供一一种种解解决决方方案案。R.Balian(1981)早早在八十年代就清清楚楚地描述了这个问题：在八十年代就清清楚楚地描述了这个问题：在在通通讯讯理理论论中中，人人们们对对于于在在给给定定的的时时间间内内，把把一一个个信信号号表表示示成成“每每一一个个都都同同时时具具有有足足够够确确定定的的位位置置及及频频率率的的谐谐波波”的的叠叠加加这这种种信信

10、号号的的描描述述方方法法极极感感兴趣兴趣最优描述问题最优描述问题有有用用的的信信息息总总是是同同时时被被所所发发射射信信号号的的频频率率特特性性与与信信号号的的时时间间结结构构所所传传递递，最最好好的的例例子是演奏音乐；子是演奏音乐；把把信信号号表表成成时时间间的的函函数数其其频频率率特特征征无无法法突突出出，而而Fourier分分析析又又无无法法标标定定各各个个分分量发射的瞬时位置和持续时间；量发射的瞬时位置和持续时间；“最优描述最优描述”应该综合这两种描述的优点，应该综合这两种描述的优点，并用一个离散的刻画来表示，以适应信息并用一个离散的刻画来表示，以适应信息理论和计算机处理的需要。理论和

11、计算机处理的需要。 Wigner分布函数分布函数Wigner分分布布函函数数是是信信号号时时-频频分分析析的的另另一一种种具具体体的的解解决决途途径径。信信号号f(x)的的Wigner分分布布函函数数是是著著名名理理论论物物理理学学家家在在1932年年提提出出来来的的，定义是：定义是： (24)显然，这是一个实的二元函数显然，这是一个实的二元函数。性质性质Wigner分布函数有如下性质分布函数有如下性质：(25)(26)(27)Wigner分布函数的物理意义分布函数的物理意义Wigner分分布布函函数数的的Plancherel恒恒等等式式成立；成立；Wigner分分布布函函数数 标标明明信信号

12、号的的瞬瞬时时频频率率的位置；的位置；Wigner分分布布函函数数 标标明明信信号号的的瞬瞬时时位位置置的频率。的频率。在能量的意义下，在能量的意义下，Wigner分布函数的分布函数的物理意义是：物理意义是：Wigner分布函数理论的局限分布函数理论的局限Wigner分布函数的三个局限：分布函数的三个局限：Wigner分分布布函函数数 只只记记忆忆信信号号的部分信息；的部分信息；Wigner分分布布函函数数 没没有有有有效效的重建算法；的重建算法；Wigner分分布布函函数数 的的“瞬瞬时时”是渐近意义的。是渐近意义的。2.3. 小波的时小波的时-频分析频分析(Wavelets Time- F

13、requency Analysis) 小小波波变变换换是是一一种种时时-频频描描述述，它它的的信信息息记记忆忆是是完完全全的的，是是一一种种等等价价的的变变换换描描述述，具具有独特的时有独特的时频分析性质。引入记号：频分析性质。引入记号：(28)中心中心半径半径(29)对于对于 ，如果满足条件，如果满足条件:窗口函数及说明窗口函数及说明则则称称之之为为窗窗口口函函数数， 和和 分分别别称称为为它它的的时时间间中中心心和和时时间间半半径径，而而 和和 分分别别称称为为它的谱中心和谱半径。它的谱中心和谱半径。说明：中心和半径是下述分布的期望和均方差小波的时小波的时-频中心与半径频中心与半径2.3.

14、2.小波的时-频半径2.3.1.小波的时小波的时-频中心频中心（29）（30）2.3.3. 小波的时小波的时- -频窗频窗 (32)Appendix B Fig.2.小波在时小波在时- -频相平面上的窗频相平面上的窗t00t12t12.3.4. 小波的时小波的时- -频特性频特性小波时小波时-频窗的面积恒等于频窗的面积恒等于 ；小小波波的的时时-频频窗窗是是时时-频频相相平平面面中中的的可可变的矩形；变的矩形；小波时小波时-频窗的变化规律：频窗的变化规律：（1）尺尺度度参参数数a增增大大时时，小小波波的的时时窗窗变变宽宽，同时，它的主频变低，频窗变窄；同时，它的主频变低，频窗变窄；（2）尺尺度

15、度参参数数a减减小小时时，小小波波的的时时窗窗变变窄窄，同时，它的主频变高，频窗变宽；同时，它的主频变高，频窗变宽； 小波的频率分辨率小波的频率分辨率小波分析具有固定的相对频率分辨率小波分析具有固定的相对频率分辨率 (33)主频变低时，频窗变窄，频率分辨率提高；主频变低时，频窗变窄，频率分辨率提高；主频变高时，频窗变宽，频率分辨率降低；主频变高时，频窗变宽，频率分辨率降低；高频时出现较低的频率分辨率（难题！）。高频时出现较低的频率分辨率（难题！）。小波的频带特性小波的频带特性 (1)小小波波变变换换处处理理频频域域的的方方式式完完全全不不同同于于经经典典的的Fourier变变换换，任任何何小小

16、波波本本质质上上都都是是以以频频带带的的形形式式出出现现在在频频域域中中，这这样样避避免了许多理论和计算上的麻烦；免了许多理论和计算上的麻烦；(2)二二进进小小波波频频域域划划分分的的特特色色：将将参参数数a按按二二进方式离散化为进方式离散化为选择二进小波选择二进小波 满足满足二进小波二进小波 的主频是的主频是二进小波的分频特性二进小波的分频特性 (34)所在的频带是所在的频带是当当k取遍全体整数时，这些频带正好分离覆取遍全体整数时，这些频带正好分离覆盖正频轴，即盖正频轴，即这就是著名的二进小波频带划分技术。这就是著名的二进小波频带划分技术。2.4. 正交小波的时正交小波的时-频分析频分析Orthonormal Wavelets Time-Frequency Analysis对于正交小波对于正交小波 ，(35)其中系数是其中系数是是是一一个个标标准准正正交交基基，所所以以，对对于于任任何何信信号号f(X)，可以展开成，可以展开成小波级数：小波级数：(36)正交小波的吸收谱正交小波的吸收谱由由小小波波变变换换的的定定义义可可知知，正正交交小小波波级级数数的的系系数数 正正好好是是信信号号