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1、（一）电磁学（一）电磁学 共共 21 题题（二）相对论（二）相对论 共共 3 题题（三）量子力学（三）量子力学 共共 6 题题共共 21 题题1.均匀带电圆环轴线上一点的场强。设半径为均匀带电圆环轴线上一点的场强。设半径为R的细圆的细圆环均匀带电，总电量为环均匀带电，总电量为q，P是轴线上一点，离圆心是轴线上一点，离圆心O的距离为的距离为x, 求求P点的场强。点的场强。dqrOxRxP 解：解：(3) (4) 积分求解积分求解: 由于对称性由于对称性(1)(2)将将 分解为分解为在圆环上任意取一线在圆环上任意取一线元元dl，其带电量为其带电量为dq 在积分过程中，在积分过程中，r和和 保持保持
2、不变，可以提到积分号外，即不变，可以提到积分号外，即dqrOxRxP 讨论讨论(1) 环心处，环心处，x=0，E=0；即远离环心处的电场相当于一个点电荷即远离环心处的电场相当于一个点电荷产生的电场。产生的电场。(3) 当当xR时，时，思考思考如果把圆环去掉一半，如果把圆环去掉一半， P点的场强是否等于点的场强是否等于原来的一半？原来的一半？ (2) 当当q0时，时， 沿轴线指向远离轴线的方向，沿轴线指向远离轴线的方向， 当当q R)，取同样高斯面，取同样高斯面，所以得电场分所以得电场分布的矢量表达布的矢量表达lOabR1R2rbra3.均匀带电球层，内半径为均匀带电球层，内半径为R1，外半径为
3、，外半径为R2，体电荷密度为体电荷密度为 。求图中。求图中a点和点和b点电势。点电势。解：解： 取薄球壳，半径为取薄球壳，半径为r，厚为，厚为dr，可视为均匀带电球面，可视为均匀带电球面，其带电量为其带电量为rdr对对a点，此带电球面产生的电势为点，此带电球面产生的电势为对对b点，当球壳半径点，当球壳半径r rb时，其产生的电势为时，其产生的电势为OabR1R2rbrardr4.有一块大金属平板，面积为有一块大金属平板，面积为S，带有总电量，带有总电量 Q，今在，今在其近旁平行地放置第二块大金属平板，此板原来不带其近旁平行地放置第二块大金属平板，此板原来不带电。电。(1)求静电平衡时，金属板上
4、的电荷分布及周围空求静电平衡时，金属板上的电荷分布及周围空间的电场分布。间的电场分布。(2)如果把第二块金属板接地，最后情如果把第二块金属板接地，最后情况又如何？（忽略金属板的边缘效应。）况又如何？（忽略金属板的边缘效应。）1234解：解：（1）由于静电平衡时导）由于静电平衡时导体内部无净电荷，所以电体内部无净电荷，所以电荷只能分布在两金属板的荷只能分布在两金属板的表面上。设四个表面上的表面上。设四个表面上的面电荷密度分别为面电荷密度分别为1、2、3和和4。QS由电荷守恒定律可知：由电荷守恒定律可知：闭曲面作为高斯面。由于板间电场与板面垂直，且板闭曲面作为高斯面。由于板间电场与板面垂直，且板内
5、的电场为零，所以通过此高斯面的电通量为零。内的电场为零，所以通过此高斯面的电通量为零。选一个两底分别在两个金属选一个两底分别在两个金属板内而侧面垂直于板面的封板内而侧面垂直于板面的封金属板内任一点金属板内任一点P的场强是的场强是4 4个带电平面的电场的叠个带电平面的电场的叠加，并且为零，所以加，并且为零，所以1 12 23 34 4QSP P(1)(2)(3)(4)即：即：联立求解可得：联立求解可得：电场的分布为：电场的分布为：在在区，区，在在区，区，在在区，区，方向向左方向向左方向向右方向向右方向向右方向向右EEEIIII1234QS1 2 3 4由由有有（2 2）如果把第二块金属板接地，）
6、如果把第二块金属板接地，其右表面上的电荷就会分散到地其右表面上的电荷就会分散到地球表面上，所以球表面上，所以第一块金属板上的电荷守恒仍给出第一块金属板上的电荷守恒仍给出由高斯定律仍可得由高斯定律仍可得金属板内金属板内P点点的场强为零，所以的场强为零，所以联立求解可得：联立求解可得： IIII1234SP电场的分布为：电场的分布为：E =0=0，E方向向右方向向右 EIII=0O直线直线+ d导导体体板板5.如图，求如图，求 O 点处感应电荷密度点处感应电荷密度 。xO解：解：取导体板内很邻近取导体板内很邻近O点的点的O点，直线在点，直线在O点产生的电场点产生的电场感应电荷在 O 点产生的电场由
7、总电场得解：解：两极面间的电场两极面间的电场在电场中取体积元在电场中取体积元则在则在 dV 中的电场能量为：中的电场能量为：6.一一圆圆柱柱形形电电容容器器，两两个个极极面面的的半半径径分分别别为为R1和和R2，两两极极面面间间充充满满相相对对介介电电常常数数为为 r的的电电介介质质。求求此此电电容容器带有电量器带有电量Q时所储存的电能。时所储存的电能。L+QQ rR1R2S解解: 根根据据电电荷荷分分布布对对壁壁的的平平分分面面的的面面对对称称性性，可可知知电电场场分分布布也也具具有有这这种种对对称称性性。由由此此可可选选平平分分面面与与壁壁的的平平分分面面重重合合的的立立方方盒盒子子为为高
8、高斯斯面面，如图所示，高斯定理给出：如图所示，高斯定理给出：7.一一无无限限大大均均匀匀带带电电厚厚壁壁，壁壁厚厚为为D，体体电电荷荷密密度度为为 ，求求其其电电场场分分布布，并并画画出出 E-d 曲曲线线，d为为垂垂直直于于壁壁面面的坐标，原点在厚壁的中心的坐标，原点在厚壁的中心。DdE-d 曲线如图曲线如图EdO8.两个同心金属球壳，内球壳半径为两个同心金属球壳，内球壳半径为R1，外球壳半径为，外球壳半径为R2，中间充满相对介电常数为，中间充满相对介电常数为 r 的均匀介质，构成一个的均匀介质，构成一个球形电容器。球形电容器。 (1) 求该电容器的电容；求该电容器的电容； (2)设内外球壳
9、上设内外球壳上分别带有电荷分别带有电荷+Q和和-Q，求电容器储存的能量。，求电容器储存的能量。 解解: (1) 已知内球壳上带正电荷已知内球壳上带正电荷Q，则，则 两球壳中间的场强大小为两球壳中间的场强大小为 两球壳间电势差两球壳间电势差: 电容电容: (2) 电场能量电场能量：OR1R2解解:(1)q1和和q2分别为内外球所带电量分别为内外球所带电量,由电势叠加原理：由电势叠加原理：联立可得联立可得 可得可得 (2) 由由：9.两个同心的均匀带电球面，半径分别为两个同心的均匀带电球面，半径分别为R1=5.0cm，R2=20.0cm，已知内球面的电势为，已知内球面的电势为 , 外球面的电外球面
10、的电势为势为 。 (1) 求内外球面所带电量；求内外球面所带电量； (2)两个球面两个球面之间何处电势为零。之间何处电势为零。 OR1R210. 将一均匀分布着的电流的无限大载流平面放入将一均匀分布着的电流的无限大载流平面放入均匀磁场中，电流方向与此磁场垂直。已知平面两均匀磁场中，电流方向与此磁场垂直。已知平面两侧的磁感应强度分别为侧的磁感应强度分别为 B1 和和 B2，如图所示，求该，如图所示，求该载流平面单位面积所受的磁场力的大小和方向。载流平面单位面积所受的磁场力的大小和方向。解解:载流平面自身在其两侧产生载流平面自身在其两侧产生的磁场为的磁场为方向相反。方向相反。均匀外磁场均匀外磁场
11、B0 在平面两侧方向在平面两侧方向相同。相同。 由图，由图，载流平面产生磁场与外磁场在左侧方向相反，在右载流平面产生磁场与外磁场在左侧方向相反，在右侧方向相同。侧方向相同。 jr r载流平面单位面积所受的磁场力载流平面单位面积所受的磁场力考虑长考虑长dl，宽，宽 dl 的电流元，的电流元，其在外磁场中受的磁场力其在外磁场中受的磁场力 jr rdldl方向：方向：由上图中，磁力的方向向左由上图中，磁力的方向向左11. 半径为半径为R的圆片上均匀带电，面密度为的圆片上均匀带电，面密度为 ，该圆，该圆片以匀角速度片以匀角速度 绕它的轴线旋转，求圆片中心绕它的轴线旋转，求圆片中心 O 处的处的磁感应强
12、度的大小。磁感应强度的大小。 O解解:取取 r处处 dr 宽度的圆环宽度的圆环,其以其以 作圆周作圆周运动运动,相当于一圆电流相当于一圆电流dI, dI 的大小为的大小为此圆电流在圆心处产生的磁场的磁感应强度为此圆电流在圆心处产生的磁场的磁感应强度为整个圆板在圆心处产生的磁场的磁感应强度为整个圆板在圆心处产生的磁场的磁感应强度为12.在均匀磁场中放置一半径为在均匀磁场中放置一半径为R的半圆形导线的半圆形导线, 电流电流强度为强度为I,导线两端连线与磁感应强度方向夹角导线两端连线与磁感应强度方向夹角 =30 ,求此段圆弧电流受的磁力。求此段圆弧电流受的磁力。Iab解：解：在电流上任取电流元在电流
13、上任取电流元方向方向13. 如图所示如图所示,在均匀磁场中在均匀磁场中,半径为半径为R的薄圆盘以角速度的薄圆盘以角速度 绕中心轴转动绕中心轴转动,圆盘电荷面密度为圆盘电荷面密度为 。求它的磁矩、所。求它的磁矩、所受的磁力矩以及磁矩的势能。受的磁力矩以及磁矩的势能。解解:取半径为取半径为r的环状面元的环状面元,圆盘转动时圆盘转动时,它相当于一个载流圆环它相当于一个载流圆环,其电流：其电流：磁矩：磁矩：Rrdr 受的力矩：受的力矩：圆盘磁矩：圆盘磁矩：方向向上方向向上磁矩的势能为磁矩的势能为14.一一半半径径为为R的的无无限限长长半半圆圆柱柱面面导导体体，其其上上电电流流与与其其轴轴线线上上一一无
14、无限限长长直直导导线线的的电电流流等等值值反反向向。电电流流I在在半半圆圆柱柱面面上上均均匀匀分分布布。(1)求求轴轴线线上上导导线线单单位位长长度度所所受受的的力力；(2)若若将将另另一一无无限限长长直直导导线线(通通有有大大小小、方方向向与与半半圆圆柱柱面面相相同同的的电电流流I)代代替替圆圆柱柱面面，产产生生同同样样的的作作用用力力，该该导导线应放在何处？线应放在何处？ 解解:(1)在半圆柱面上沿母线取在半圆柱面上沿母线取宽为宽为dl的窄条，其电流的窄条，其电流IIR它在轴线上一点产生的磁感它在轴线上一点产生的磁感应强度应强度:方向如图方向如图dIdlxy由电流分布的对称性可知：由电流分
15、布的对称性可知：方向沿方向沿x轴轴方向沿方向沿y轴，是斥力轴，是斥力dIdlxy(2)另一无限长直导线应平行放置于另一无限长直导线应平行放置于y轴负半轴上以轴负半轴上以 d表示两直导线间的距离，则表示两直导线间的距离，则 轴线上导线单位长度受力为轴线上导线单位长度受力为15.长长直直导导线线中中通通有有电电流流I，另另一一宽宽a、长长b共共N匝匝的的矩矩形形线线圈圈，以以速速度度v向向右右平平动动。设设t=0时时，线线圈圈左左边边与与长长直直导线重合。求：导线重合。求：t 时刻线圈中的感应电动势。时刻线圈中的感应电动势。长直导线产生的磁感强度为长直导线产生的磁感强度为avIb解：解：方向如图方
16、向如图 1方向如图方向如图 2方向顺时针方向顺时针x0其中其中x=vt16.在在半半径径为为R的的圆圆柱柱形形体体积积内内，充充满满磁磁感感强强度度为为B的的均均匀匀磁磁场场，有有一一长长为为L的的金金属属棒棒放放在在磁磁场场中中,设设磁磁场场在在增增强强，并并且且dB/dt已已知知，求求金金属属棒棒中中的的感感生生电电动动势势，并指出哪端电势高。并指出哪端电势高。解解:由法拉第定律计算由法拉第定律计算, 设想一回路设想一回路, 如如OABO, 则该回则该回 路的感应电动势大小为路的感应电动势大小为LABO B均匀均匀因因 dB/dt 0,则回路中电动势方向为逆时针则回路中电动势方向为逆时针, B端高端高。由由于于OA和和OB两两段段沿沿径径向向,涡涡旋旋电电场场垂垂直直于于段段元元,这这两两段不产生电动势。该电动势就是金属棒上的电动势。段不产生电动势。该电动势就是金属棒上的电动势。x17.导体导体 CD 以恒定速率在一个三角形的导体框架以恒定速率在一个三角形的导体框架 MON上运动上运动,它的速度的方向垂直于它的速度的方向垂直于 CD 向右向右,磁场磁场的方向如图的方向如图, B =
