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1、第六讲方差分析（五）：方差分析（五）：正交实验设计及统计分析一、多因素试验设计一、多因素试验设计 多多 因素试验因素试验 是指在同一试验中同是指在同一试验中同时研究两时研究两 个个 或两个以上试验因素的试或两个以上试验因素的试验。验。 多因素试验设计方案由该试验的所多因素试验设计方案由该试验的所有试验因素的水平组合（即处理）构成。有试验因素的水平组合（即处理）构成。多因素试验方案分为多因素试验方案分为完全方案完全方案和和不完全不完全方案方案两类。两类。 （1）完全方案）完全方案 在列出因素水平组合（即处理）时在列出因素水平组合（即处理）时 ，要求，要求每一个因素的每一个因素的每个水平都要碰见一
2、次每个水平都要碰见一次，这时，组，这时，组合数等于各个因素水平数的乘积。合数等于各个因素水平数的乘积。 例如以例如以3种饲料配方对种饲料配方对3个品种肉鸭进行试个品种肉鸭进行试验。共有验。共有33=9 个水平组合（处理）。这个水平组合（处理）。这 9个个水平组合（处理）就构成了这两个因素的试验方水平组合（处理）就构成了这两个因素的试验方案。案。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 A1B1A1B2A1B3 A2B1 A2B2 A2B3 A3B1 A3B2A3B3全面试验优点：全面试验优点：能全面考察试验因素对试验指标的影响能全面考察试验因素对试验指标的影响能考察因素间的交互作用能
3、考察因素间的交互作用能选出最优水平组合能选出最优水平组合全面试验的不足：全面试验的不足：人力、物力、财力、场地难以承受人力、物力、财力、场地难以承受试验误差不易控制试验误差不易控制全面试验宜在因素全面试验宜在因素个数个数和和水平数都较少水平数都较少时应用时应用 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 （2）不完全方案）不完全方案n n将某些水平组合在一起形成少数几将某些水平组合在一起形成少数几个水平组合。个水平组合。n n目的：探讨某些水平组合的综合作目的：探讨某些水平组合的综合作用。用。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 正交试验是在全部水平组合中选出有正交试验是
4、在全部水平组合中选出有代表性的部分水平组合设置的试验代表性的部分水平组合设置的试验正交设计就是安排多因素试验 、寻求最优水平组合 的一种高效率试验设计方法。 例如：例如：影响某品种鸡的生产性能有影响某品种鸡的生产性能有3个个因素：因素： A因素是饲料配方，设因素是饲料配方，设A1、A2、A3 3个水个水平；平；B因素是光照，设因素是光照，设B1、B2、B3 3个水平；个水平；C因素是温度，设因素是温度，设C1、C2、C3 3个水平。这是一个水平。这是一个个3因素因素3水平的试验水平的试验 ，各因素的水平之间全部，各因素的水平之间全部可能的组合有可能的组合有27种种 。 可利用正交表L9(34)
5、安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映包含27个水平组合的情况，找出最佳的生产条件。二、正交设计的基本原理二、正交设计的基本原理 图图中中标标有有试试验验号号的的九九个个“()”，就就是是利利用用正正交交表表L9(34)从从27个个试试验验点点中中挑挑选选出出来来的的9个个试试验点。即：验点。即：(1)A1B1C1 (2)A2B1C2 (3)A3B1C3(4)A1B2C2 (5)A2B2C3 (6)A3B2C1(7)A1B3C3 (8)A2B3C1 (9)A3B3C2下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 上述选择上述选择上述选择上述选择 ，保证了，保证了，保证了，保证了A A
6、因素的每个水平与因素的每个水平与因素的每个水平与因素的每个水平与B B因素、因素、因素、因素、C C因素的各个水平在试验中各搭配一次因素的各个水平在试验中各搭配一次因素的各个水平在试验中各搭配一次因素的各个水平在试验中各搭配一次 。对于。对于。对于。对于A A、B B、C C 3 3个因素来说个因素来说个因素来说个因素来说 ， 是在是在是在是在2727个全面试验点中选择个全面试验点中选择个全面试验点中选择个全面试验点中选择9 9个试验个试验个试验个试验点点点点 ，仅，仅，仅，仅 是全面试验的是全面试验的是全面试验的是全面试验的 三分之一。三分之一。三分之一。三分之一。 从图中可以看到从图中可以
7、看到从图中可以看到从图中可以看到 ，9 9个试验点在选优区中分布是个试验点在选优区中分布是个试验点在选优区中分布是个试验点在选优区中分布是均衡的，在立方体的每个平面上均衡的，在立方体的每个平面上均衡的，在立方体的每个平面上均衡的，在立方体的每个平面上 ，都恰是，都恰是，都恰是，都恰是3 3个试验点；个试验点；个试验点；个试验点；在立方体的每条线上也恰有一个试验点。在立方体的每条线上也恰有一个试验点。在立方体的每条线上也恰有一个试验点。在立方体的每条线上也恰有一个试验点。 9 9个试验点均衡地分布于整个立方体内个试验点均衡地分布于整个立方体内个试验点均衡地分布于整个立方体内个试验点均衡地分布于整
8、个立方体内 ，有很强，有很强，有很强，有很强的代表性的代表性的代表性的代表性 ， 能够比较全面地反映选优区内的基本情能够比较全面地反映选优区内的基本情能够比较全面地反映选优区内的基本情能够比较全面地反映选优区内的基本情况。况。况。况。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 下一张 主 页 退 出 上一张 三、正交表及其特性三、正交表及其特性n n数学工作者制定，供选用数学工作者制定，供选用n n2水平正交表：水平正交表：L8(27)、L4(23)、L16(215)等等n n3水平正交表有水平正交表有L9(34)、L27(213)等等特性：特性：n n 任一列中，不同数字出现的次数
9、相等任一列中，不同数字出现的次数相等 例如例如L8(27)中不同数字只有中不同数字只有1和和2，它们各，它们各出现出现4次；次；L9(34)中不同数字有中不同数字有1、2和和3，它们，它们各出现各出现3次次 。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 n n 任两列中，同一横行所组成的数字对出现的次任两列中，同一横行所组成的数字对出现的次数相等数相等 例如例如例如例如 L L8 8(2(27 7) )中中中中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各出现两次；各出现两次；各出现两次；各出现两次；L L9
10、9(3(34 4) ) 中中中中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)1), (3, 2), (3, 3)各出现各出现各出现各出现1 1次。即次。即次。即次。即每个因素的一个水平与另每个因素的一个水平与另每个因素的一个水平与另每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数相等，表明任意两列各个数一因素的各个水平互碰次数相等，表明任意两列各个数一因素的各个水平互碰次数相等，表明任意两列各个数
11、一因素的各个水平互碰次数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的字之间的搭配是均匀的字之间的搭配是均匀的字之间的搭配是均匀的。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 在在这这9个个水水平平组组合合中中，A因因素素各各水水平平下下包包括括了了B、C因因素素的的3个个水水平平，虽虽然然搭搭配配方方式式不不同同，但但B、C皆皆处处于于同同等等地地位位，当当比比较较A因因素素不不同同水水平平时时，B因因素素和和C因因素素不不同同水水平平的的效效应应相相互互抵抵消消。所所以以A因因素素3个个水水平平间间具具有有可可比比性性。同同样样，B、C因素因素3个水平间亦具有可比性。个水平间亦具有
12、可比性。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 正交表的类别 1、相同水平正交表 如如 L4(23)、 L8(27)、 L12(211) 、 L9(34)、L27(313)2、混混合合水水平平正正交交表表 各各列列中中出出现现的的最最大大数数字字不不完完全全相相同同的的正正交交表表称称为为混混合合水水平平正正交交表表。如如L8(424)表表中中有有一一列列最最大大数数字字为为4，有有4列列最最大大数数字字为为2。也也就就是是说说该该表表可可以以安安排排一一个个4水水平平因因 素素 和和 4个个 2水水 平平 因因 素素 。 再再 如如 L16(4423)，L16(4212)等都混合
13、水平正交表。等都混合水平正交表。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 L8（27） 列数，正交表上最多允许安排的因素个数列数，正交表上最多允许安排的因素个数 因素的水平数因素的水平数 实验的次数实验的次数 正交表的代号正交表的代号四、正交设计四、正交设计 【例】 在进行矿物质元素对架子猪补饲试验中，考察补饲配方、用量、食盐3个因素，每个因素都有3个水平。试安排一个正交试验方案。 若不考察交互作用若不考察交互作用自由度因素个数自由度因素个数(水平数水平数-1)=3*2=6L9(34)总自由度总自由度9-1=8，故可以选用，故可以选用若要考察交互作用若要考察交互作用则应选用则应选用L
14、27(313)，此时所安排的试验方案，此时所安排的试验方案实际上是全面试验方案。实际上是全面试验方案。1.选用正交表的原则： 试验因素的水平数应恰好等于正交表记号中括号内的底数；因素的个数（包括交互作用）应不大于正交表记号中括号内的指数；各因素及交互作用的自由度之和要小于所选正交表的总自由度。1 1 号试验处理是号试验处理是号试验处理是号试验处理是 A A1 1B B1 1C C1 1，即配，即配，即配，即配 方方方方I I、用量、用量、用量、用量15g15g、食盐为、食盐为、食盐为、食盐为0 0；2 2号试验处理是号试验处理是号试验处理是号试验处理是A A1 1B B2 2C C2 2，即配
15、方，即配方，即配方，即配方II II 、 用用用用 量量量量 25g 25g 、食食食食 盐盐盐盐 为为为为 4g 4g， ；9 9号试验处理为号试验处理为号试验处理为号试验处理为A A3 3B B3 3C C2 2，即配方，即配方，即配方，即配方IIIIII、用量用量用量用量20g20g、食盐、食盐、食盐、食盐4g4g。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 2、正交试验结果的统计分析 n单独观测值正交试验单独观测值正交试验n重复观测值正交试验重复观测值正交试验n因素间有交互作用因素间有交互作用 一. 单独观测值正交试验结果的方差分析 总总变异 = 处理间 + 误差处理间 =
16、A因素 + B因素 + C因素 SST = SSA+SSB+SSC+SSe dfT = dfA + dfB + dfC + dfe 用用n表示试验次数；表示试验次数；a、b、c表示表示A、B、C因因素各水平重复数；素各水平重复数；ka、kb、kc表示表示A、B、C因素的因素的水平数。本例，水平数。本例，n=9、a=b=c=3、 ka=kb=kc=3。 Ti为为各各因因素素同同一一水水平平试试验验指指标标（增增重）之和重）之和。 如如 A因素第因素第1水平水平 T1=y1+y2+y3， A因素第因素第2水平水平 T2=y4+y5+y6， A因素第因素第3水平水平 T3=y7+y8+y9；下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 B因素第因素第1水平水平 T1=y1+y4+y7, B因素第因素第3水平水平T3 = y3+y6+y9 。同理可求得同理可求得C因素各水平试验指标之和。因素各水平试验指标之和。 为各因素同一水平试验指标的平均数。 如A因素第1水平 ， A因素第2水平 ， A因素第3水平 。 同理可求得B、C因素各水平试验指标的平均数。下一张下一张 主主 页页 退退 出出
