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1、高等数学总复习知识点知识点1. 数量积、向量积、夹角余弦；知识点知识点1. 数量积、向量积、夹角余弦；/解解解解知识点2：平面及其方程（三种形式） 平面的点法式方程平面的点法式方程:平面的一般方程平面的一般方程:平面的截距式方程平面的截距式方程:两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式:/取法向量取法向量化简得化简得所求平面方程为所求平面方程为解解设平面为设平面为由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解化简得化简得代入体积式代入体积式所求平面方程为所求平面方程为知识点3：空间直线及其方程空间直线的一般方程空间直线的一般方程:直线的参数方程
2、直线的参数方程:直线的对称式方程直线的对称式方程:两直线的夹角公式两直线的夹角公式平面:垂直：平行：夹角公式：直线:机动 目录 上页 下页 返回 结束 知识点3：空间直线及面线间的关系方程例例. 求直线与平面的交点 . 提示提示: : 化直线方程为参数方程代入平面方程得 从而确定交点为（1，2，2）.机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解 所求直线方程所求直线方程方法方法2:设设练习练习: 设有直线设有直线与与则则L1与与L2的的夹角为夹角为注注 L1和和L2的方向向量分别为的方向向量分别为 和和知识点知识点4：二元函数的定义域与极限例例6 6 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义
3、域为例例7 7 求极限求极限 解解其中其中求极限求极限: 知识点知识点5：二元函数求偏导数； 多元复合函数多元复合函数链式法则链式法则: 特殊地特殊地即即令令其中其中两者的区别两者的区别区区别别类类似似例例解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例.设F( x , y)具有连续偏导数,解解 利用偏导数公式.确定的隐函数,则已知方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 故多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导 2、二元函数二元函数f(x，y)在点（在点（x0，y0)处两个偏导数处两个偏导数存在，是存在，是
4、f(x，y)在该点连续的在该点连续的（A）充分条件而非必要条件充分条件而非必要条件 （B）必要条件而非充分条件必要条件而非充分条件（C）充分必要条件充分必要条件（D）既非充分条件又非必要条件既非充分条件又非必要条件5、二元函数、二元函数在点在点(0,0)处处(A) 连续、偏导数存在连续、偏导数存在（B）连续、偏导数不存在连续、偏导数不存在(C) 不连续、偏导数存在不连续、偏导数存在（D）不连续、偏导数不存在不连续、偏导数不存在偏导数存在，又当（偏导数存在，又当（x，y）沿）沿y=kx趋向于（趋向于（0，0）时）时随着随着k的不同，该极限值也不同，所以极限的不同，该极限值也不同，所以极限 不存在
5、，不存在，f(x，y)在（在（0，0）不连续。）不连续。解解解解解解令令记记同理有同理有于是于是解解令令练习练习:设设,求求解解令令则则知识点知识点6：多元函数微分学的几何应用 1.曲线切线方曲线切线方程程:2.曲线的曲线的法平面：法平面：3.切平面方程:4.曲面的曲面的法线法线方程为方程为:解解切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为 5.方向导数与梯度方向导数与梯度 （归纳）： 求曲线的切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求函数的方向导数和梯度一、方向导数 设函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)的
6、某一邻域U(P0)内有定义 l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 与l同方向的单位向量为e el(cos cos) 存在, 则称此极限为函数f(x, y)在点P0沿方向l的方向导数, 记为 取P(x0tcos y0tcos)U(P0) 如果极限v方向导数 一、方向导数 设函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 与l同方向的单位向量为e el(cos cos) v方向导数 方向导数就是函数f(x y)在点P0(x0 y0)处沿方向l的变化率 一、方向导数 设函数zf(x, y)在点P0(x0 y
7、0)的某一邻域U(P0)内有定义 l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 与l同方向的单位向量为e el(cos cos) v方向导数 如果函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)可微分, 那么函数在该点沿任一方向l (e el(cos cos)的方向导数都存在, 且有v定理(方向导数的计算) 讨论 函数f(x, y)在点P沿x轴正向和负向, 沿y轴正向和负向的方向导数如何? 提示 函数f(x, y)在点P0沿方向l (e el(cos cos)的方向导数 例 求f(x y z)xy2z3xyz在点(1 1 2)沿方向l的方向导数 其中l的方向角分别为60 45 60 解 与l
8、同向的单位向量为 因为函数可微分 且 所以 fx(1 1 2)(y2-yz)|(1 1 2)-1 fy(1 1 2)(2xy-xz)|(1 1 2)0 fz(1 1 2)(3z2-xy)|(1 1 2)11 二、梯度v梯度的定义 函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)的梯度: gradgradf(x0 y0)fx(x0 y0)i ify(x0 y0)j j v梯度与方向导数 如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 e el(cos cos)是与方向l同方向的单位向量, 则gradgradf(x0 y0)e el|gradgradf(x0 y0)|cos(gradgradf(x0
9、y0),e el) 函数在一点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值. 二、梯度v梯度的定义 函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)的梯度: gradgradf(x0 y0)fx(x0 y0)i ify(x0 y0)j j v梯度与方向导数|gradgradf(x0 y0)|cos(gradgradf(x0 y0),e el) 如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 e el(cos cos)是与方向l同方向的单位向量, 则例例 求 grad 解解 这里 f (x，y) 因为，所以 grad 例例 设 f (x，y，z) x3x
10、y2z ， 求grad f (1,1,0) 解解 grad f (fx，fy，fz ) ( 3x2y2, 2xy, 1 )，于是 grad f (1，1，0) (2, 2,1)函数在此点沿方向(2,-2,-1)增加率最大,其值为3. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数在此点沿方向(-2,2,1)减少率最大,其值为-3. 说明说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如,定理定理1 (必要条件)函数偏导数, 但驻点不一定是极值点.有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.且在该点取得极值 ,则有存在知识点知识点7：多元函数的极值及其求法 例例. .求函数解解: 第一步第一步 求驻求驻
11、点点. .得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.在点(1,2) 处不是极值;机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解则则 2x=3y, y=2z知识点知识点8：二重积分的性质与计算 性质性质当当 为常数时为常数时，性质性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质4若在若在D上上则有则有性质性质5性质性质6 二重积分二重积分的计算的计算1. 二重积分化为累次积分的方法直角坐标系
12、情形直角坐标系情形 : 若积分区域为则 若积分区域为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 先确定积分次序先确定积分次序(先看被积函数先看被积函数,再看被积区域再看被积区域D)先积后定限先积后定限,限内画条线限内画条线,先交为下限先交为下限,后交上限后交上限写写.解解积分区域如图积分区域如图则2.极坐标系情形极坐标系情形: 若积分区域为机动 目录 上页 下页 返回 结束 则例例 . 计算其中D 是直线 所围成的闭区域.解解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :先对 x 积分不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.机动 目录 上页 下页 返回 结束 对y 积分是常量
13、三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法1. “先一后二先一后二” (投影法投影法)方法方法2. “先二后一先二后一” (截面法截面法)方法方法3. “三次积分三次积分”机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.直角坐标情形直角坐标情形:2.不同坐标系的三重积分不同坐标系的三重积分积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系变量可分离.围成 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中其中其中为由例例. 计算三重积分所围解解: 在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.机动 目录 上页 下页 返回 结束 知识点知识点9：重积分的应用 （1）平面区域
14、的面积）平面区域的面积（2）曲面的面积）曲面的面积例例. 计算双曲抛物面被柱面所截解解: 曲面在 xoy 面上投影为则出的面积 A .机动 目录 上页 下页 返回 结束 知识点知识点10：两类曲线积分及格林公式 例例16解解例例17解解A(1,0)B(1,1)O第二类曲线积分几种特殊情形的计算第二类曲线积分几种特殊情形的计算:曲线积分第一类 ( 对弧长 )第二类 ( 对坐标 )(1) 统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2) 确定积分上下限第一类: 下小上大第二类: 下始上终机动 目录 上页 下页 返回 结束 两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：平面上曲线积
15、分与路径无关的等价条件平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理. 设D 是单连通域 ,在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)(4) 在 D 内每一点都有与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理证明采用解解例例. 计算曲线积分 其中为螺旋的一段弧.解解: 线机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例. 计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解解: 令设 L 所围区域为D,由格林公式知机动 目录 上页 下页 返
16、回 结束 在D 内作圆周取逆时针方向, 对区域应用格记 L 和 l 所围的区域为林公式 , 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例. 验证是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 证证: 设则由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使。机动 目录 上页 下页 返回 结束 知识点知识点11：两类曲面积分及高斯公式 则则则则则则两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系知识点:常数项级数的收敛与发散条件收敛与绝对收敛 结论结论: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .结论结论: : 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以
17、逐项相加与逐项相减. .比较判别法:可作为参考的级数可作为参考的级数: 几何级数几何级数, P-级数级数(包括调和级数包括调和级数).比值判别法比值判别法:根式判别法根式判别法:例例 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域:2.2.和函数的运算性质和函数的运算性质: : 幂级数求和与函数展开成幂级数幂级数求和与函数展开成幂级数 求和2. 映射变换法 逐项求导或求积分对和式积分或求导难1. 初等变换法初等变换法: 先求部分和极限先求部分和极限,再分解再分解(裂项相消法裂项相消法),最后套用收敛的等比级数的求和公式等方法最后套用收敛的等比级数的求和公式等方法;（在收敛区间内）机动 目录 上页 下
18、页 返回 结束 直接展开法 间接展开法 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式3. 函数的幂级数展开法例例. 求幂级数的和函数解解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 收敛 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此由和函数的连续性得:而及机动 目录 上页 下页 返回 结束 上式中令x =1,即得例例 将函数展开成 x 的幂级数.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. .补补充充知知识识点点计算时应注意以下两点计算时应注意以下两点曲面的侧曲面的侧“一投一投, ,二代二代, ,三定号三定号”一投一投二代二代三定号三定号例例19 1: x=0 2: y=0 3: z=0 4: x+y+z=1解解:
