中线长定理的证明及应用举例 李秀元摘 要：基于数学人教A版教材中的例习题分析，综合中线长定理的证明方法，展示不同知识在同一知识点上的魅力，并展开简单应用.Key：中线;余弦定理;距离公式：G632：A：1008-0333（2021）04-0049-02一、中线长定理的内容、地位及证明中线长定理，又称阿波罗尼奥斯定理，是关于三角形三边和中线长度关系的欧氏几何定理.文字表述为：三角形一条中线两侧所对边的平方和等于底边一半的平方与该边中线的平方和的2倍.如图示，设△ABC的三边分别为a，b，c，边BC，AC，AB上的中线分别记为ma，mb，mc，则：b2+c2=2[（a2）2+m2a]，c2+a2=2[（b2）2+m2b]，a2+b2=2[（c2）2+m2c].中线长定理在人教课标教材A版中一共出现三次，一次是《数学》必修5第一章《解三角形》20页习题13，作为余弦定理的应用，它突出了中线长的计算：△ABC的三边分别为a，b，c，边BC，CA，AB上的中线分别记为ma，mb，mc，应用余弦定理证明：ma=122（b2+c2）-a2，mb=122（a2+c2）-b2，mc=122（a2+b2）-c2一次是《数学》必修2第三章《直线与方程》110页B组习题7，以解析法的形式，突出了中线长与三角形三边的关系：已知AO是△ABC边BC的中线，求证：|AB|2+|AC|2=2（|AO|2+|OC|2）.第三次是《数学》必修2第三章《直线与方程》105页例4在两点间距离公式的应用基础上，给出了平行四边形的性质，也可以理解为中线长定理的变形式：证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.下面用不同方法证明如下：证法1 应用余弦定理（只证第一式，其余同理）.如图示，在△ABD中， cos∠BDA=BD2+AD2-AB22BD×AD，在△ADC中， cos∠ADC=AD2+DC2-AC22AD×DC，因为∠BDA+∠ADC=180°，所以cos∠BDA=-cos∠ADC，即BD2+AD2-AB22BD×AD=-AD2+DC2-AC22AD×DC.所以BD2+AD2-AB2=-AD2-DC2+AC2，即2（AD2+BD2）=AB2+AC2.所以b2+c2=2[（a2）2+m2a]，整理得ma=122（b2+c2）-a2.证法2 综合应用平面向量知识和余弦定理.因为D为BC的中点，所以2AD=AB+AC，两边平方得4AD2=AB2+AC2+2AB·AC.又在△ABC中，2AB·AC=AB2+AC2-BC2.所以AD2=12（AB2+AC2）-（BC2）2，即m2a=12（b2+c2）-（a2）2.证法3 解析法.如图，以BC边的中点为原点，边BC所在直线为x轴建立直角坐标系.设C（c，0），A（a，b），则B（-c，0）.|AB|2=（a+c）2+b2;|AC|2=（a-c）2+b2;|OA|2=a2+b2;|OC|2=c2.所以，|AB|2+|AC|2=（a+c）2+b2+（a-c）2+b2=2（a2+b2+c2），2（|AO|2+|OC|2）=2（a2+b2+c2）.因此，|AB|2+|AC|2=2（|AO|2+|OC|2）.二、中线定理的简单应用例1 Rt△ABC中，斜边BC为m，以BC的中点O为圆心，作直径为n（n