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1、第 2 章学习重点辅导重点：1. 掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则； (2) 利用两个重要极限； (3) 利用无穷小量的性质无穷小量乘以有界变量还是无穷小量； (4) 利用连续函数的定义。例 1 求以下极限：1xxx33sin9lim021)1sin(lim21xxx3xxx10)21(lim4222)sin(1coslimxxxxx5)11e(lim0 xxxx解 1对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即xxx33sin9lim0 =)33sin9()33sin9)(33sin9(lim0 xxxxx =33si
2、n91lim3sinlim00 xxxxx =216132利用第一重要极限和函数的连续性计算，即)1)(1()1sin(lim1)1sin(lim121xxxxxxx11lim1)1sin(lim11xxxxx2111113利用第二重要极限计算，即xxx10)21(lim2210)21(limxxx2e。4利用无穷小量的性质无穷小量乘以有界变量还是无穷小量计算，即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页222222222)sin1(lim1cos1 lim)sin1 (1cos1lim)sin(1coslimxxxxxxx
3、xxxxxxxxx= 1注：其中当x时，xxxxsin1sin，)1(cos11cos2222xxxx都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。5 利用函数的连续性计算，即)11e(lim0 xxxx1101e00 2. 知道一些与极限有关的概念 (1) 知道数列极限、 函数极限、 左右极限的概念，知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等； (2) 了解无穷小量的概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质； (3) 了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点；例 2
4、 填空、选择题 (1) 以下变量中，是无穷小量的为 A. )0(1lnxxB. )1(lnxx C. )0(e1xxD. )2(422xxx解选项 A中：因为0 x时，x1，故x1ln，x1ln不是无穷小量；选项 B中：因为1x时，0ln x，故xln是无穷小量；选项 C中：因为0 x时，x1， 故0e1x； 但是0 x时，x1，故x1e，因此x1e当0 x时不是无穷小量。选项 D中：因为21422xxx，故当2x时，41422xx，422xx不是无穷小量。因此正确的选项是B。2 以下极限计算正确的选项是 。 A.xxx1sinlim001sinlimlim00 xxxx B. xxx2sin
5、2tanlim0122sin22tanlim0 xxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页 C. )(lim2xxxx0limlim2xxxxx D. 1)11(limxxxxxxxx)11(lim1)11(limxxxeeee11解选项 A不正确。因为xx1sinlim0不存在，故不能直接用乘积的运算法则，即xxx1sinlim0 xxxx1sinlimlim00选项 B正确。将分子、分母同除以2x ，再利用第一个重要极限的扩展形式，得到xxx2sin2tanlim0122sin22tanlim0 xxxxx选项
6、 C不正确。因为xxxx，时，2，故不能直接用极限的减法运算法则，即)(lim2xxxxxxxxxlimlim2选项 D不正确。1)11(limxxxx可以分成两项乘积，即1)11(limxxxx =xxxx)11(lim1)11(limxxx其中第一项xxxx)11(lim=xxxx)1111(lim=xxxxxx)11(lim)11 (lim1ee而第二项1)11(limxxx1)1111(lim1xxx1e故原算法错误。正确选项应是B 。3当k时，001)(2xkxxxxf在0 x处连续。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 1 解函数在一点连续必须满足既是左连续又是右连续。因为函数已是
7、右连续，且110)0(f而左连续)0()(lim)0(20fkkxfx故当k1 时，)(xf在0 x处连续。正确的选项是D 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页3. 理解导数定义。理解导数定义时，要解决下面几个问题：1牢记导数定义的极限表达式；2会求曲线的切线方程；3知道可导与连续的关系( 可导的函数一定连续，连续的函数不一定可导) 。例 3 填空、选择题1.设fxxx( )11，则)0(f 。A不存在B.1C. 0D. 1解因为1x时111)(xxxf，是常数函数，而点0 x在), 1(范围内，故)0(f0。正确的
8、选项是C。2设f xx( )ln，则1)(limxxfx1 。A1B. e12C.0D. 不存在解如果单看求极限1)(limxxfx11lnlim1xxx，很难求出结果。 但是假设联想到01ln以及导数的定义，即有1)(limxxfx11lnlim1xxx11lnlnlim1xxx1)(lnxx0 故正确的选项是C。3极限)(sin)sin(lim000 xxxxxA. 1 B. cos x0 C. sin x0 D.不存在解这个极限的表达式正是函数sin x 在点 x0处导数的定义，即有xxxxx000sin)sin(lim cos x0 故正确的选项是B。4设)(xf在0 x处可导，且0)
9、0(f，则xxfx)(lim0( )。 A.不存在B. )0(fC.0 D. 任意解因已知)(xf在0 x处可导，且0)0(f，将)(xf看成)0()(fxf,x看成0 x，则xxfx)(lim00)0()(lim0 xfxfx就是)(xf在0 x处的导数，故精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页xxfx)(lim0)0(f正确选项是B。5曲线xxy3在点 1，0处的切线是 A. 22xyB. 22xy C. 22xyD. 22xy解 根据导数的几何意义可知，13)()0(xxxy2)13(12xx是曲线xxy3在点 1
10、，0处的切线斜率，故切线方程是)1(20 xy，即22xy故正确的选项是A。6函数xxf)(在点 x0=16 处的导数值)16(f 。解因xxxf21)()(，故)16(f811621。 4熟练掌握求导数或微分的方法。具体方法有1利用导数或微分的基本公式2利用导数或微分的四则运算法则3利用复合函数微分法4利用隐函数求导法则例 4 求以下导数或微分：1 设xxxy2e)2(，求y；解利用导数乘法法则)2(e2e)21(222xxxyxx)2421(e22xxxx2设xxxysin2e，求 y解)sin(e2sin2xxxyxxx=22sin)sin()cos2(e2xxxxxxxxx精选学习资料
11、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页=22sinsincose2xxxxxxxx3设函数yy x( )由方程exyx21确定，求y。解方程两边对x 求导，得：exyyxyy22210()整理得2e22xyyxyyyxyyxy1222()e4设yxx121，求dy。解因为yxxxx()()121122212所以dddyy xxxx122212() 5知道微分的概念；知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数。例 5 填空、选择题1 已知y =441x，则y= A. x3 B. 23x C. 6x D. 6 解直接利用导数的公式计算：34)
12、41(xxy,233)(xxy故正确的选项是B。2已知函数y = f( x) 的微分 dy = 2 xdx, 则 y =( )。x C.2 D.x2解由于函数 y = f( x) 的微分为dy = 2 xdx，即xy2，于是 y 2。故正确的选项是C。3)cos(lnx 。 A.xtan B.xtan C.xcot D. xcot解根据复合函数求导法则，得)cos(lnxxxcos)(cos=xxcossin=xtan故正确选项应是A。4假设)(xf可导，且0)(xf，则以下不等式不正确的选项是( )。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页 A. )(1) )(lnxfxf B. )()() )(lnxfxfxf C. xxfxf)(ln)(ln(D. )()()(1(2xfxfxf解首先要注意，这里要选择的是不正确的式子。先看 A：根据复合函数的求导法则可知)()() )(lnxfxfxf)(1xf故 A不正确。因此正确的选项是A。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
