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1、本章主要内容本章主要内容线性相位线性相位FIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点 用窗函数法设计用窗函数法设计FIR滤波器滤波器用频率采样法设计用频率采样法设计FIR滤波器滤波器第六章第六章 有限长脉冲响应有限长脉冲响应(FIR)(FIR)数字滤波器的设计数字滤波器的设计方法方法1 1： 设计满足幅度指标要求的设计满足幅度指标要求的IIR滤波器滤波器，再加，再加线性相位校正网络线性相位校正网络（如全通网络）（如全通网络）；设计复杂，成本高；设计复杂，成本高；方法方法2 2： 用用FIR滤波器滤波器的设计方法，幅度特性满足技术要求，又保证严的设计方法，幅度特性满足技术要求，又保证严格的格的线性相位
2、线性相位。线性相位数字滤波器的实现线性相位数字滤波器的实现h(n)是是FIR滤波器的单位脉冲响应，长度为滤波器的单位脉冲响应，长度为N，则其系统函数为：，则其系统函数为：H(z)=z-no 收敛域包括单位圆；收敛域包括单位圆；o z平面上有平面上有N-1个零点；个零点；o z=0是是N-1阶极点阶极点;特点：特点：FIR滤波器滤波器永远稳定和容易实现线性相位永远稳定和容易实现线性相位6.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点对于长度为对于长度为N的的h(n)，传输函数为：，传输函数为：注意：注意： H ()为为的实函数，可能取负值；的实函数，可能取负值； |H(ej)|称为
3、幅度响应，总是正值称为幅度响应，总是正值H ()称为幅度函数，称为幅度函数，()称为相位函数称为相位函数一、线性相位条件一、线性相位条件=H ()但上两种情况都满足但上两种情况都满足群时延群时延是一个常数是一个常数第一类线第一类线性相位性相位第二类线第二类线性相位性相位() =, 为常数；为常数；()=0，0是起始相位是起始相位线性相位是指线性相位是指()()是是的线性函数，即：的线性函数，即：1、什么是线性相位、什么是线性相位-=h(n)是以是以(N-1)/2偶对称实序列偶对称实序列，即：，即： h(n) = h(N n 1)2 2、第一类线性相位条件、第一类线性相位条件N N为奇数的情况为
4、奇数的情况n n 0 0h(n)N N为偶数的情况为偶数的情况n n 0 0h(n)h(n)是以是以(N-1)/2奇对称实序列奇对称实序列，即：，即： h(n) =h(N n 1)3 3、第二类线性相位条件、第二类线性相位条件N N为偶数的情况为偶数的情况N N为奇数的情况为奇数的情况n n 0 0h(n)n n 0 0h(n)4、第一类线性相位特点、第一类线性相位特点令：令：m=N-n-1,则有则有 将将z=e j代入上式，得到：代入上式，得到：相位函数相位函数幅度函数幅度函数H第二类线性相位条件证明第二类线性相位条件证明将将z=e z=e jj代入上式，得到：代入上式，得到：相位函数相位函
5、数幅度函数幅度函数m=0第一类相位函数条件第一类相位函数条件:h(n)偶对偶对称称第二类相位函数条件第二类相位函数条件:h(n)奇对称奇对称1、h(n)=h(N-n-1)，N=奇数奇数 由前面推导的幅度函数由前面推导的幅度函数H ()为：为：二、线性相位二、线性相位FIR滤波器幅度函数的特点滤波器幅度函数的特点特点：特点：l h(n)对对(N-1)/2偶对称，余弦项也对偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称；偶对称；l 以以(N-1)/2为为中中心心，把把两两两两相相等等的的项项进进行行合合并并，因因N为为奇奇数数，余余下下中中间间项项n=(N-1)/2H ()m=1令令m=(N-1)/2-n
6、H ()其中其中，幅度函数特点：幅度函数特点：(1) 式中式中 cos n 项对项对 =0, , 皆为偶对称，则幅度特性对皆为偶对称，则幅度特性对 =0, , 是偶对称是偶对称的。的。(2) 可实现所有滤波特性（低通、高通、带通、带阻）。可实现所有滤波特性（低通、高通、带通、带阻）。 H ()=2、h(n)=h(N-n-1)，N=偶数偶数 推推导导情情况况和和前前面面N为为奇奇数数相相似似，不不同同点点是是由由于于N为为偶偶数数，Hg()中没有单独项，相等的项合并成中没有单独项，相等的项合并成N/2项。项。其中：其中：令令m=N/2-nH ()幅度特点：幅度特点：(1) 当当= 时，时，故故H
7、 ( )=0，即，即H(z)在在z= 1处，有一零点处，有一零点；(2) 由于由于cos(n )对对w= 奇对称，所以奇对称，所以H()在在 = 呈奇对称呈奇对称；(3) 用这种滤波器设计方法用这种滤波器设计方法不能实现高通、带阻滤波器不能实现高通、带阻滤波器；H ()3、h(n)=-h(N-n-1)，N=奇数奇数由前面推导的幅度函数可得：由前面推导的幅度函数可得：由于由于h(n)=-h(N-n-1)，当，当n=(N-1)/2时：时：h(n)和和正弦项都对正弦项都对(N-1)/2奇对称，相同项合并，共合并奇对称，相同项合并，共合并(N-1)/2项。项。h(N-1)/2=0n0(N-3)/22h
8、(n)Sin( - n) 令令m=(N-1)/2-nH ()幅度特点：幅度特点：(1) 幅度函数幅度函数H()在在 =0, , 呈呈奇对称。奇对称。(2) H()在在 =0、 、2 处值为处值为0，即，即H(z)零点在零点在z= 1处处，只，只能实现能实现带通滤波器带通滤波器;H ()4 h(n)=h(N-n-1)，N=偶数偶数令：令：m=N/2-n，则有：，则有：H ()H ()幅度特点：幅度特点：(1)由于由于sin(n-)在在 =0、2 处都为处都为0，因此，因此H ()在在 =0，2 处处也为也为0，H(z)在在z=1处为零点；处为零点；不能实现低通、带阻滤波器不能实现低通、带阻滤波器
9、。(2)由于由于sin(n)在在 =0、2 处都呈奇对称，对处都呈奇对称，对 = 呈偶对称，呈偶对称，故幅度函数故幅度函数H()在在 =0, 也呈也呈奇对称，在奇对称，在 = 处呈偶对称处呈偶对称。H ()第一类和第二类线性相位的系统函数综合起来用下式表示：第一类和第二类线性相位的系统函数综合起来用下式表示：三、零点位置三、零点位置表明：表明：l 如果如果z=zi是是H(z)的零点的零点，则则z=zi-1也是也是H(z)的零点的零点。l 由于由于h(n)为实序列，零点必定共轭成对。则为实序列，零点必定共轭成对。则zi*和和(zi-1)*也是也是 H(z)的零点的零点；即；即H(z)的的零点必定
10、互为倒数的共轭对。零点必定互为倒数的共轭对。01Re(z)jIm(z)Zi-1ZiZi*(Zi-1)*(1)分析：分析：(1) 当当zi不在实轴上，不在不在实轴上，不在|z|=1上，则上，则零零点是互为倒数的两组共轭对；点是互为倒数的两组共轭对；确定了一个确定了一个零点，其它三个确定了。零点，其它三个确定了。(2) 当当zi不在实轴上，但在不在实轴上，但在|z|=1上，由于上，由于共轭对的倒数是它们本身，故此时共轭对的倒数是它们本身，故此时零点是零点是一组共轭对一组共轭对；Re(z)jIm(z)Zi01ZI*(2)(3) zi在实轴上，不在在实轴上，不在|z|=1上，则零点是上，则零点是互为倒
11、数两个实数零点互为倒数两个实数零点；-1(4)01jIm(z)Re(z)(4) zi在实轴上，也在在实轴上，也在|z|=1上，则零点只上，则零点只有一个，或位于有一个，或位于z=1，或位于，或位于z = 1。ZI101jIm(z)Zi(3)Re(z)例：如果系统的单位脉冲响应为例：如果系统的单位脉冲响应为(1) 判断该系统是否具有线性相位，说明理由。判断该系统是否具有线性相位，说明理由。(2) 求出该系统的频率响应，画出幅度、相位和群时延特性曲线。求出该系统的频率响应，画出幅度、相位和群时延特性曲线。h(n)1，0n 50，其他，其他n一、设计思想一、设计思想 设设希希望望设设计计的的滤滤波波
12、器器传传输输函函数数为为H Hd d(e(ejj) )，h hd d(n)(n)是是与与其其对对应应的的单位脉冲响应，因此单位脉冲响应，因此 ： 6.2 6.2 用窗函数法设计用窗函数法设计FIRFIR滤波器滤波器n问问题题：一一般般情情况况下下H Hd d(e(ejj) )是是逐逐段段恒恒定定的的，在在边边界界频频率率处处有有不不连连续续点，所以点，所以h hd d(n)(n)是无限时宽，且为非因果，这样的系统不能实现。是无限时宽，且为非因果，这样的系统不能实现。例例：一理想低通滤波器的传输函数：一理想低通滤波器的传输函数Hd(ej)为为相应的单位脉冲响应相应的单位脉冲响应h hd d(n)
13、 (n) 为为hd(n)nhd(n)是无限时宽，非因果序列是无限时宽，非因果序列0c-c|Hd(ej)|1要求要求: (1) 得到一得到一因果序列因果序列h(n)； (2) 构造构造一个长度为一个长度为N的线性相位滤波器的线性相位滤波器； 将将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称对称(线性相位线性相位)。设截取的一段用设截取的一段用h(n)表示，即表示，即h(n)=hd(n)RN(n)RN(n)n0N-1hd(n)nh (n)na(N-1)/2矩形窗的长度为矩形窗的长度为N N，且，且a a(N-1)/2(N-1)/2时时，满足，满足上述两个要求
14、。上述两个要求。二、加窗处理对二、加窗处理对FIR滤波器幅频特性的影响滤波器幅频特性的影响 设计过程中，加窗后的单位响应序列为设计过程中，加窗后的单位响应序列为 h(n)= hh(n)= hd d(n)(n) R RN N(n)(n)。即用一个即用一个有限长的序列有限长的序列h(n)h(n)去代替一个去代替一个无限长的序列无限长的序列h hd d(n)(n)，会产会产生误差，时域中是生误差，时域中是截断处理截断处理，在频域表现出的现象就是，在频域表现出的现象就是通带和阻带通带和阻带中有波动中有波动，也称为吉布斯效应，也称为吉布斯效应( (截断效应截断效应) )。 这样设计出来的这样设计出来的频
15、响频响 H(e H(ejwjw) ) 只能是尽量逼近要求的只能是尽量逼近要求的H Hd d(e(ejwjw) )h(n)= hd(n)RN(n)*分析：频域卷积定理)矩形窗的幅度函数理想低通滤波器的幅度特性理想低通滤波器的幅度特性*结论：结论：设计出来的滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度设计出来的滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性特性H Hd d()()与矩形窗幅度特性与矩形窗幅度特性R Rd d()()的卷积。的卷积。Hd()与与Rd()卷积形成卷积形成H()的过程的过程Wc+2/NWc2/NH(w)H(w)最大的正峰与最最大的正峰与最大的负峰对应的频率大的负峰对应的频率相差
16、相差4/N4/NH()与原理想低通与原理想低通 Hd()差别有以下差别有以下2点：点： H()在在 =C附近形成过渡带附近形成过渡带，过渡带，过渡带宽度宽度B=4 /N，近似于矩，近似于矩形序列形序列幅度谱幅度谱RN()的主瓣宽度的主瓣宽度； 通带内增加了通带内增加了波动波动，最大的峰值在，最大的峰值在 =C 2 /N 处，阻带内产生处，阻带内产生了了余振余振，最大的负峰值在，最大的负峰值在 =C+2 /N 处。幅度谱处。幅度谱RN()波动越波动越快快(N加大加大)，通带、阻带内波动越快，其旁瓣的大小直接影响，通带、阻带内波动越快，其旁瓣的大小直接影响H()波动的大小。波动的大小。 Hd()在加窗后在频域中的现象称为吉布斯效应在加窗后在频域中的现象称为吉布斯效应影响影响: : (1)(1)通带内的波动影响滤波器通带的通带内的波动影响滤波器通带的平稳性平稳性；(2)(2)阻带内波动影响阻带内波动影响阻带的衰减阻带的衰减，可使最小衰减不满足技术要求；，可使最小衰减不满足技术要求；减小吉布斯效应措施减小吉布斯效应措施1、增加、增加N值值l 可减小过渡带宽度可减小过渡带宽度，由于，由于主瓣与旁
