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1、Chapter 4 信号的谱表示信号的谱表示4.1 上的傅里叶变换上的傅里叶变换F.S. pp3-20 4.2 典型周期信号的谱典型周期信号的谱 pp21-244.3 上函数的傅里叶变换上函数的傅里叶变换 pp25-414.4 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 pp42-544.5 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 pp55-631Chapter 4 信号的谱表示信号的谱表示4.6 采样定理采样定理 pp64-754.7 傅里叶变换的渐近性质傅里叶变换的渐近性质 pp77-834.8 相关与谱分析相关与谱分析 pp84-984.9 匹配滤波器匹配滤波器 pp99-1064.10 等效带
2、宽、等效时宽、海森堡等效带宽、等效时宽、海森堡 pp107-116 （Heisenberg）测不准原理）测不准原理24.1 上的傅里叶变换上的傅里叶变换 1. 2. Dirichlet条件：条件：33. 三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数 (1) 三角函数的正交完备集三角函数的正交完备集4(2) f（t）的傅里叶级数用三角函数集表示为的傅里叶级数用三角函数集表示为：5(3) 变形变形6注注：1. 是第是第 n 次谐波的幅度谱次谐波的幅度谱2. 是第是第 n 次谐波的相位谱次谐波的相位谱3. 为直流分量为直流分量4. 离散谱离散谱 74. 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数
3、(1) 指数形式的完备正交集：指数形式的完备正交集：回访结束回访结束回访结束回访结束返回返回返回返回P P30308(2)负频率？负频率？负频率？负频率？注：注：负频率负频率的引入由完备性决定，无物理含义。的引入由完备性决定，无物理含义。返回返回返回返回9(3) (4)10(5) 由：由： 可导出：可导出：问题：问题：f (t) 是什么样的函数？它的定义域？是什么样的函数？它的定义域？115. 傅里叶级数展开的适用性傅里叶级数展开的适用性 (1) 可展成傅里叶级数可展成傅里叶级数 (2) 若将若将 f (t) 以以 T 为周期向左、右做周期延拓，可得：为周期向左、右做周期延拓，可得： 结论结论
4、1：绝对可积信号可展成绝对可积信号可展成 F.S. 结论结论2：在一个周期内绝对可积的周期信号可展成傅里叶级数。在一个周期内绝对可积的周期信号可展成傅里叶级数。 周期信号：周期信号： 主周期：主周期： 126. 可可F.S.展开的充分条件展开的充分条件 定理定理：证明证明：比比 Dirichlet 条件弱！条件弱！137. 函数的对称性与函数的对称性与F.S.的定性性质的定性性质14(1) f (t)为为偶偶函数：函数： f (t) = f (t) ， f (t)的傅里的傅里叶级数只含有直流和余弦分量。叶级数只含有直流和余弦分量。(2) f (t)为为奇奇函数：函数： f (t) = f (t
5、) ， f (t)的傅里的傅里叶级数只含有正弦分量。叶级数只含有正弦分量。(3) f (t)为为奇谐奇谐函数：函数： ， f (t)的的傅里叶级数只含有奇次正弦、余弦分量（傅里叶级数只含有奇次正弦、余弦分量（奇次谐奇次谐波波）。）。(4) f (t)为为偶谐偶谐函数：函数： ， f (t)的傅的傅里叶级数只含有偶次正弦、余弦分量（里叶级数只含有偶次正弦、余弦分量（偶次谐波偶次谐波）。158. Parseval等式（内积不变性）等式（内积不变性）169. 能量定理能量定理 （Parseval定理的特例）定理的特例）能量分解能量分解能量分解能量分解回顾回顾回顾回顾F Fn n1710. 均方收敛性
6、（依范数收敛，强收敛）均方收敛性（依范数收敛，强收敛） 定理定理(均方收敛均方收敛)： 其中：其中：在个别点，甚至零测度集上不收敛，不影响均方收敛性。在个别点，甚至零测度集上不收敛，不影响均方收敛性。 2N+1项项F.S.近似，欧式范数最小近似，欧式范数最小方差最小方差最小均方差最小。均方差最小。181911. Gibbs 现象现象 用用F.S.逼近逼近 f (t)，在周期延拓的间断点，在周期延拓的间断点处不收敛，而且在间断点的很小邻域内有奇处不收敛，而且在间断点的很小邻域内有奇异的无穷振荡现象。异的无穷振荡现象。204.2 典型周期信号的谱典型周期信号的谱 1.周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信
7、号：21幅度按幅度按1/n规律收敛规律收敛返回矩形返回矩形返回矩形返回矩形脉冲脉冲脉冲脉冲FTFT = n22讨论：讨论： (1) f (t)的频谱为可列的无穷多条线谱的频谱为可列的无穷多条线谱 (2) 谱线间隔为谱线间隔为 (3) 线谱包络为线谱包络为 (4) 0 0 之间的谱线的个数：之间的谱线的个数： 23 指数形式指数形式F.S.2. 其它周期信号：其它周期信号：锯齿、三角、半余弦、全余弦、锯齿、三角、半余弦、全余弦、关注的问题：谱线分布、结构，关注的问题：谱线分布、结构，收敛速度收敛速度，波形设计。，波形设计。244.3 上函数的傅里叶变换上函数的傅里叶变换1. 问题的提出问题的提出
8、 所对应的周期信号变为非周期信号，其频谱所对应的周期信号变为非周期信号，其频谱由离散谱变为由离散谱变为连续谱连续谱。 25 表示表示单位角频率上的谱强度单位角频率上的谱强度。定义：定义： 为信号为信号 f (t) 的的频谱密度函数频谱密度函数。出出身身卑卑微微 262. 傅里叶变换的定义：傅里叶变换的定义：定义：对定义：对傅里叶变换为：傅里叶变换为： 傅里叶反变换：傅里叶反变换：27定义：定义：定理（定理（ 存在的存在的充分充分条件）：条件）：28 29关于关于傅里叶变换傅里叶变换完备正交集的讨论完备正交集的讨论：回访回访P4 -8303. 典型函数的谱典型函数的谱(1) 高斯函数高斯函数31
9、高斯函数：高斯函数：高斯函数为正实函数高斯函数为正实函数高斯函数的傅里叶变换仍是高斯函数高斯函数的傅里叶变换仍是高斯函数高斯函数是速降函数：比任何多项式倒数高斯函数是速降函数：比任何多项式倒数下降都快下降都快特别地，令特别地，令32(2) 矩形函数矩形函数回顾矩形脉冲回顾矩形脉冲回顾矩形脉冲回顾矩形脉冲FSFS面积面积讨论：讨论： 增大、减小两种情况增大、减小两种情况3334(3) 三角脉冲函数三角脉冲函数 推广：矩形函数不断卷积，其傅里叶变换弱收敛于高斯函数推广：矩形函数不断卷积，其傅里叶变换弱收敛于高斯函数 35(4) 双边指数函数双边指数函数36(5) 单边指数函数单边指数函数37(6)
10、 符号函数符号函数38(7) 冲激函数冲激函数39(8) 直流直流40(9) 阶跃函数阶跃函数414.4 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质1. .F 是是线性线性变换：变换： 2. 对称对称性性：证明证明 熟练运用熟练运用熟练运用熟练运用FTFT的性质求信的性质求信的性质求信的性质求信号的时频域号的时频域号的时频域号的时频域表示表示表示表示423. 共轭共轭： (1) 若若f (t)为实函数：为实函数： 则：则： (2) 若若f (t)为虚函数，该结论仍然成立。为虚函数，该结论仍然成立。434. 相似性定理相似性定理（Similarity Theorem） （尺度变换尺度变换性质）性质）：证明
11、证明 特别地，特别地， 关于分子分母的规律：与关于分子分母的规律：与胖瘦胖瘦有关有关关注：关注：F(0)、f(0)，等效时宽、带宽关系等效时宽、带宽关系镜象镜象445. 时移时移：456. 频移频移： ( (调制调制) )注：频谱形状没有变化，称为注：频谱形状没有变化，称为 线性调制线性调制。（频谱搬移）（频谱搬移）467. 时域微分时域微分：8. 频域微分频域微分：479. 时域卷积时域卷积：4810. 频域卷积频域卷积定理：定理：4911. 时域积分时域积分：5012. 矩定理：矩定理：返回返回返回返回5113. 矩展开式：矩展开式： 则有则有：52例：例：两个方差相差很大的信号卷积，宽信
12、号起主导作用。两个方差相差很大的信号卷积，宽信号起主导作用。53例例： 544.5 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换周期信号周期信号处理方法：处理方法： 傅里叶级数傅里叶级数 对傅里叶级数作傅里叶变换对傅里叶级数作傅里叶变换 551. 典型周期信号的傅里叶变换典型周期信号的傅里叶变换(1) (2)56(3)57(4)582. 一般周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换 定义（主周期）：对周期信号定义（主周期）：对周期信号定义主周期定义主周期：返回返回593.604. 理想采样序列的傅里叶变换理想采样序列的傅里叶变换 定义：定义： 为理想采样序列。为理想采样序列。 61时延性质时延
13、性质62离散谱线离散谱线高度高度1/Ts离散谱线离散谱线高度无限高度无限631. 问题的提法问题的提法tp( (t ) )0Ts2Ts采样信号数字信号4.6 采样定理采样定理642. 抽样信号的频谱结构抽样信号的频谱结构 周期信号频谱周期信号频谱653. 矩形脉冲抽样矩形脉冲抽样(1) 被采样信号被采样信号f (t) 的频谱的频谱66(2) 采样脉冲与采样信号的频谱采样脉冲与采样信号的频谱674. 理想采样理想采样冲激函数抽样冲激函数抽样68695. 零阶采样保持器零阶采样保持器7071上面的电路可用下面的模型表示：上面的电路可用下面的模型表示：保保 持持72理想采样：理想采样：73采样信号的
14、恢复：采样信号的恢复：746. 时域采样定理时域采样定理定理定理（Nyquist 时域采样定理时域采样定理）：75764.7 傅里叶变换的渐近性质傅里叶变换的渐近性质 1. 定理定理（Riemann-Lebesgue Lemma）：( (对常义极限不成立对常义极限不成立) )| |F F( ( )|)| 0 0，速度？，速度？772. 有界变差函数（有界变差函数（Bounded Variation Function）定义定义：78 有界变差函数未必绝对可积。有界变差函数未必绝对可积。 793. Riemann定理：定理：| |F F( ( )|)| 0 0，速度？，速度？ 答曰：答曰：与与1/
15、|1/| | |同阶。同阶。804. 定理定理：| |F F( ( )|)| 0 0，速度？，速度？ 又曰：又曰：时域越时域越高阶可导，高阶可导， 频域收敛得越快！频域收敛得越快！815. 信号的渐近性质举例信号的渐近性质举例82834.8 相关与谱分析相关与谱分析 1. 相关相关(相似相似)系数系数2. 中信号的相关函数与能谱中信号的相关函数与能谱3. 功率有限信号的相关函数与功率谱功率有限信号的相关函数与功率谱4. 线性定常系统的输入输出相关分析线性定常系统的输入输出相关分析5. 频谱、能谱、功率谱的适用范围频谱、能谱、功率谱的适用范围信号波形的相似性信号波形的相似性举例举例： 841.
16、相关相关( (相似相似) )系数系数 85定义（定义（相关系数相关系数）：）：86正交投影误差与相关系数正交投影误差与相关系数D0Y 08788相关系数应用的局限性：相关系数应用的局限性： 相关系数相关系数 用来描述两个没有时差（时间原点相同）的函数用来描述两个没有时差（时间原点相同）的函数之间的相似性。两函数之间没有相对位移。之间的相似性。两函数之间没有相对位移。892. 中信号的相关函数与能谱中信号的相关函数与能谱(1) 若干定义若干定义定义（定义（互相关函数互相关函数）：）：90定义（定义（自相关函数自相关函数）：）：91定义（定义（能谱密度能谱密度，简称，简称能谱能谱）：）：92 定义（定义（互谱密度互谱密度）：）： 注：互谱密度没有物理意义。注：互谱密度没有物理意义。 93(2) 相关定理：对相关定理：对 。94 3. 功率有限信号功率有限信号的相关函数与功率谱的相关函数与功率谱信号非能量有限（信号非能量有限（能量无限能量无限），但功率有限。），但功率有限。随机随机信号无法解析表示，也不能用频谱表示。信号无法解析表示，也不能用频谱表示。95定义：功率定义：功率( (有限有限)
