数字信号处理 课件第2章

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1、常见系统tLTI 系统传递函数： H(z)t逆系统定义:逆系统常见系统tLTI 系统传递函数： H(z)t逆系统定义:逆系统例子: 一阶系统的逆系统 定义定义: 幅度响应为常数的系统, i.e. ， |H(e j)| = const, 0, 2 基本的系统函数形式: i.e., 极点： a； 零点： 1/a*, 且 | a|1 实系数全通 (零极点均成对出现,且分子分母多项式间的系数成倒序排列) 每一个极点都有与之配对的共轭倒数零点每一个极点都有与之配对的共轭倒数零点 全全 通通 系系 统统 定义定义: 所有零极点均在单位圆内的系统。 i.e: |ck|1 ，且 |d k|1 稳定因果的最小相

2、位系统必有稳定因果的逆系统：稳定因果的最小相位系统必有稳定因果的逆系统：最小相位系统最小相位系统一.DFT是重要的变换 1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、 卷积、相关都可以通 DFT在计算机上实现。 离散傅立叶变换（DFT）实现了信号首次在频域表示的离散化，使得频域也能够用计算机进行处理。并且这种DFT变换可以有多种实用的快速算法。使信号处理在时、频域的处理和转换均可离散化和快速化。因而具有重要的理论意义和应用价值，是本课程学习的一大重点。 2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2-1引言二.DFT是现代信号处理桥梁 DFT要解决

3、两个问题：一是离散与量化，二是快速运算。 模拟域 FT、LT 数字域 FT、ZT 数字域 DFT 时间域 t:连续 频率域、s:连续 时间域 n:离散 频率域 k：离散 频率域、z：连续返回返回2-2 傅氏变换的几种可能形式一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换0t0二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数0t-0*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2/Tp三.离散时间、连续频率的傅氏变换 -序列的傅氏变换x(nT)T-T0T2Tt0-四.离散时间、离散频率的傅氏变换-DFTx(nT)=x(n)t0T 2T1 2 N n0 0 1 2 3kNT 由上述分析可知，要想在时域和频域都是离散的，

4、那么两域必须是周期的。四种傅里叶变换形式的归纳时间函数时间函数频率函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(0=2/T0)离散(T)和非周期周期(s=2/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(s=2/T)和离散(0=2/T0) 2-3 周期序列的DFS一.周期序列DFS的引入连续的周期信号的复数傅氏级数： 周期序列的DFS正变换和反变换：其中：二. 的k次谐波系数 的求法 1.预备知识 同样，当 时，p也为任意整数，则亦即2. 的表达式 将式 的两端乘 ，然后从 n=0到N-1求和，则：的DFS3.离散傅氏级数的习惯表示法 通常用符号 代入，则：正变换：反变换：4.

5、 的周期性与用Z变换的求法周期性： 可看作是对 的一个周期 做 变换然后将 变换在 平面单位圆上按等间隔角 抽样得到DFS的性质1、线性：其中， 为任意常数若则2、序列的移位3、调制特性4、周期卷积若则 It is convolution which is different of linear convolution. 设 令 ， ，试求 与 的周期卷积并作图。 解：0 0 5 4 3 2 1 4 3 2 15 5 4 3 2 1 0 3 2 1 04 4 3 2 1 0 5 2 1 0 53 3 2 1 0 5 4 1 0 5 42 2 1 0 5 4 3 0 5 4 30 1 0 5 4

6、 3 2 5 4 3 211 2 3 4 5 0 3 4 5 01 1 1 1 1 0 0 1 1 0 06 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -110 8 6 10 14 12 同样，利用对称性 若则2-5 DFT-有限长序列的离散频域表示一.预备知识 1.余数运算表达式 如果 ， m为整数；则有： 此运算符表示n被N除，商为m，余数为 。 称作取余数,或说作n对N取 模值, 或简称为取模值,n模N。例如： (1) (2) 视作将 以N为周期进行周期延拓。2. 周期延拓 取主值 有限长序列 周期序列 主值区序列有限长序列周期序列主值区间序列二.有限长序列x(n)和周期序列 的关系如：

7、N-1nx(n)0.n0N-1定义从n=0 到（N-1）的第一个周期为主值序列或区间。三.周期序列 与有限长序列X(k)的关系 同样， 周期序列 是有限长序列X(k)的周期延拓。 而有限长序列X(k)是周期序列 的主值序列。四.从DFS到DFT 从上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间 进行。 因此可得到新的定义，即有限序的离散傅氏变换(DFT)的定义。, 0kN-1, 0nN-1或者：DFSDFTDFTDFT与与DFSDFS之间的关系之间的关系: :有限长序列x(n)的DFT变换X(k)，就是x(n)的周期延拓序列 的DFS系数的主值序列结论：

8、结论：(1)序列的N点DFT是序列傅里叶变换在频率区间0，2上的N点等间隔采样， 采样间隔为2 /N。 (2)序列的N点DFT是序列的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样， 频率采样间隔为2 /N。 DFT与与z变换变换X(ej)X(k)o1234567(N-1)k=0 DFT与与DTFT变换变换序列序列x(n)的的N点点DFT是是 x(n)的的Z变换在单位圆上的变换在单位圆上的N点等点等间隔采样；间隔采样；X(k)为为x(n)的傅立叶变换的傅立叶变换 在区间在区间 上的上的N点等间隔采样。这就是点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。的物理意义。2.5 DFT的性质一.线性1.两序列都是N点时 如

9、果 则有：二.序列的圆周移位1.定义一个有限长序列 的圆周移位定义为这里包括三层意思：先将 进行周期延拓再进行移位最后取主值序列：n0N-1n0周期延拓n0左移2n0取主值N-12.圆周位移的含义 由于我们取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把 排列一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于 在圆上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期序列 : 。例. 已知 如图P3-4（a）所示，为 试画出 等各序列。 有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。 时域圆周移位：时域圆周移位：频

10、域圆周移位定理时域序列的调制等效于频域的圆周移位四.圆周卷积1.时域卷积定理 设 和 均为长度为N的有限长序列，且 ，如果 ，则NN证明： 相当于将 作周期卷积和后，再取主值序列。将 周期延拓：则有：在主值区间 ，所以：N同样可证：N圆周卷积过程：1）补零2）周期延拓3）翻褶，取主值序列4）圆周移位5）相乘相加NNN时域圆周卷积过程N-10nN-10n0m0m0m0m-3 -2 -10 1 2 3 4 56 75 4 3 2 1 01 1 1 1 0 0 1 0 01 1 1 1 0 01 1 1 1 11 0 0 1 1 11 01 0 0 1 1 11 1 0 0 1 11 1 1 0 0

11、 11 1 1 1 0 00 1 1 1 1 00 0 1 1 1 18 10 12 14 10 6 已知两个有限长序列为试用作图表示 ， 以及 。-3 -2 -10 1 2 3 4 5 67 81 2 3 4 0 0 0-1 -1 -1 -1 -1 1 1-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1-1 -1-1 -1 -1-1 1 1 -1 -1 -1 -1-1 1-1 1 1 -1 -1 -1 -1-1 -1 1 1 -1 -1 -1-1 -1 -1 1 1 -1 -1-1 -1 -1 -1 1 1 -1-1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1

12、 1 -1 -1 -1 -1 -10 4 -2 -10 -10 -8 -4 五.有限长序列的线性卷积与圆周卷积1.线性卷积 的长度为 的长度为 它们线性卷积为 的非零区间为 的非零区间为 两不等式相加得 也就是 不为零的区间. 例如:1012n1012n3m-1-2-3mm1012mmn2103145233211012m2.用圆周卷积计算线性卷积 圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列. 的长度为 , 的长度为 ,先构造长度均为L长的序列, 即将 补零点;然后再对它们进行周期延拓 ，即 所以得到周期卷积： 可见,周期卷积为线性卷积的周期延拓,其周期为L.由于 有 个非零值,所以周期L必须满

13、足: 又由于圆周卷积是周期卷积的主值序列,所以圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列,即LLL 是圆周卷积结果和线性卷积结果相等的充要条件。例 下图表示一个5点序列 。（1）试画出 ； （2）试画出 ； （3）试画出 ； 例： 设有两个序列 各作15点的DFT，然后将两个DFT相乘，再求乘积的IDFT，设所得结果为 ，问 的哪些点（用序号 表示）对应于 应该得到的点。解: 序列 的点数为 ， 的点数为 ，故 的点数应为又 为 与 的15点的圆周卷积，即L15。是线性卷积以15为周期周期延拓后取主值序列混叠点数为NL20155故 中只有 到 的点对应于 应该得到的点。三、共轭对称性 1.周期

14、序列共轭对称分量与共轭反对称分量 周期为N的周期序列的共轭对称分量与共轭反对 称分量分别定义为 同样，有其中：共轭反对称分量：共轭对称分量：任意周期序列：定义：则任意有限长序列：圆周共轭反对称序列：圆周共轭对称序列：2.有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量3.共轭对称特性之一证明：4.共轭对称特性之二5.共轭对称特性之三证明：6.共轭对称特性之四证明：7.共轭对称特性之五、六8.X(k)圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称性9.实、虚序列的对称特性 当x(n)为实序列时，根据特性之三，则 x(n)=x*(n)两边DFT 当x(n)为纯虚序列时，根据特性之四，则X(n)是实序列

15、，其8点DFT的前5点值为：0.25,0.125-0.3j，0,0.125-0.06j，0.5, 求8点DFT的后3点值 序列 DFT共轭对称性P113 2.6 例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT: DFT形式下的Parseval定理2.6 抽样z变换频域抽样理论时域抽样定理：在满足奈奎斯特定理条件下，时域抽样信号可以不失真地还原原连续信号。频域抽样呢？抽样条件？内插公式？1.1.频域采样与频域采样定理频域采样与频域采样定理设任意序列x(n)的Z变换为而且X(z)的收敛域包含单位圆。以2/N为采样间隔，在单位圆上对X(z)进行等间隔采样

16、得到 实质上， 是对x(n)的频谱函数 的等间隔采样。因为 以2为周期，所以 是以N为周期的频域序列。 根据离散傅里叶级数理论， 必然是一个周期序列的DFS系数。经推导，我们能够得到上式说明频域采样 所对应 的时域周期序列是原序列x(n)的周期延拓序列，延拓周期为N。根据DFT与DFS之间的关系知道，分别截取 和 的主值序列 则 和 构成一对DFT 是对X(z)在单位圆上的N点等间隔采样，即对 在频率区间0，2上的N点等间隔采样。 对应的时域序列 就是原序列x(n)以N为周期的周期延拓序列综上所述，可以总结出频域采样定理综上所述，可以总结出频域采样定理:如果原序列x(n)长度为M，对 在频率区间0，2上等间隔采样N点，得到 ，则仅当采样点数NM时，才能由频域采样 恢复 ，否则将产生时域混叠失真，不能由 恢复原序列x(n)。定理告诫我们，只有当时域序列只有当时域序列x(nx(n) )为有限长时，以适当的为有限长时，以适当的采样间隔对其频谱函数采样间隔对其频谱函数 采样，才不会丢失信息采样，才不会丢失信息。x(n)为无限长序列混叠失真x(n)为有限长序列，长度为M由频域抽样序列 还原得到的