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1、解答题题型归纳之立体几何题型归纳一：平行与垂直证明1如图，四棱锥PABCD中，AP平面PCD，ADBC，ABBC=12AD，E，F分别为线段AD，PC的中点（）求证：AP平面BEF；（）求证：BE平面PAC【分析】（）证明四边形ABCE是平行四边形，可得O是AC的中点，利用F为线段PC的中点，可得PAOF，从而可证AP平面BEF；（）证明BEAP、BEAC，即可证明BE平面PAC【解答】证明：（）连接CE，则ADBC，BC=12AD，E为线段AD的中点，四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形，设ACBEO，连接OF，则O是AC的中点，F为线段PC的中点，PAOF，PA平面BEF，OF
2、平面BEF，AP平面BEF；（）BCDE是平行四边形，BECD，AP平面PCD，CD平面PCD，APCD，BEAP，ABBC，四边形ABCE是平行四边形，四边形ABCE是菱形，BEAC，APACA，BE平面PAC2如图，AB是圆O的直径，PA圆O所在的平面，C是圆O上的点（1）求证：BC平面PAC；（2）若Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG平面PBC【分析】（1）由PA圆所在的平面，可得PABC，由直径对的圆周角等于90，可得BCAC，根据直线和平面垂直的判定定理可得结论（2）连接OG并延长交AC于点M，则由重心的性质可得M为AC的中点利用三角形的中位线性质，证明OMBC，QMPC，
3、可得平面OQM平面PBC，从而证明QG平面PBC【解答】（1）证明：AB是圆O的直径，PA圆所在的平面，可得PABC，C是圆O上的点，由直径对的圆周角等于90，可得BCAC再由ACPAA，利用直线和平面垂直的判定定理可得BC平面PAC（2）证明：若Q为PA的中点，G为AOC的重心，连接OG并延长交AC于点M，连接QM，则由重心的性质可得M为AC的中点故OM是ABC的中位线，QM是PAC的中位线，故有OMBC，QMPC而OM和QM是平面OQM内的两条相交直线，AC和BC是平面PBC内的两条相交直线，故平面OQM平面PBC又QG平面OQM，QG平面PBC题型归纳二：计算体积、点到面的距离3.如图，
4、D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，APC90（1）证明：平面PAB平面PAC；（2）设DO=2，圆锥的侧面积为3，求三棱锥PABC的体积【解答】解：（1）连接OA，OB，OC，ABC是底面的内接正三角形，所以ABBCACO是圆锥底面的圆心，所以：OAOBOC，所以APBPCPOA2+OP2OB2+OP2OC2+OP2，所以APBBPCAPC，由于APC90，所以APBBPC90，所以APBP，CPBP，由于APCPP，所以BP平面APC，由于BP平面PAB，所以：平面PAB平面PAC（2）设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，所以l=2+r2由于
5、圆锥的侧面积为3，所以r2+r2=3，整理得（r2+3）（r21）0，解得r1所以AB=1+1211(12)=3由于AP2+BP2AB2，解得AP=32则：VPABC=1312323232=684如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点（1）证明：MN平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离证明：（1）连结B1C，ME，M，E分别是BB1，BC的中点，MEB1C，又N为A1D的中点，ND=12A1D，由题设知A1B1=DC，B1C=A1D，ME=ND，四边形MNDE是平行四边形，MNED，又MN平面C1D
6、E，MN平面C1DE（2）以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，M（1，3，2），N（1，0，2），D（0，0，0），E（0，3，0），C1（1，3，4），MN=（0，3，0），DC1=（1，3，4），DE=（0，3，0），设平面C1DE的法向量n=（x，y，z），则nDC1=x+3y+4z=0nDE=3y=0，取z1，得n=（4，0，1），C（1，3，0），DC=（1，3，0），平面C1DE的法向量n=（4，0，1），点C到平面C1DE的距离：d=|DCn|n|=417=41717题型归纳三：空间角异面直线所成的角、线面角、二面角5如图，四边形ABCD为菱形，
7、ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC（）证明：平面AEC平面AFC；（）求直线AE与直线CF所成角的余弦值【解答】解：（）连接BD，设BDACG，连接EG、EF、FG，在菱形ABCD中，不妨设BG1，由ABC120，可得AGGC=3，BE平面ABCD，ABBC2，可知AEEC，又AEEC，所以EG=3，且EGAC，在直角EBG中，可得BE=2，故DF=22，在直角三角形FDG中，可得FG=62，在直角梯形BDFE中，由BD2，BE=2，FD=22，可得EF=22+(222)2=322，从而EG2+FG2EF2，则EGFG，（或
8、由tanEGBtanFGD=EBBGFDDG=222=1，可得EGB+FGD90，则EGFG）ACFGG，可得EG平面AFC，由EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC；（）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz，由（）可得A（0，3，0），E（1，0，2），F（1，0，22），C（0，3，0），即有AE=（1，3，2），CF=（1，3，22），故cosAE，CF=AECF|AE|CF|=13+1692=33则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为336如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1平面ABC，ABC90，BAC3
9、0，A1AA1CAC，E，F分别是AC，A1B1的中点（）证明：EFBC；（）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值证明：（）连接A1E，A1AA1C，E是AC的中点，A1EAC，又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，A1E平面ABC，A1EBC，A1FAB，ABC90，BCA1F，A1FA1EA1，BC平面A1EF，EFBC（）如图，以E为原点，在平面ABC中，过E作AC的垂线为x轴，EC，EA1所在直线分别为y，z轴，建立空间直角坐标系，设AC4，则A1（0，0，23），B（3，1，0），B1（3，3，23），F（32，32，23），C（0，
10、2，0），EF=（32，32，23），BC=（3，1，0），BC=（3，1，0），A1C=（0，2，23），设平面A1BC的法向量n=（x，y，z），则BCn=3x+y=0A1Cn=y3z=0，取x1，得n=（1，3，1），sin=|EFn|EF|n|=45，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为1(45)2=357如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，底面ABCD为梯形，ABCD，ABCBCD90，BCCD=AB2=2（1）证明：BDPD；（2）若PAD为正三角形，求二面角APBC的余弦值【解答】解：（1）证明：BCCD2，AB4，又底面ABCD为直角梯形，AD=22，BD=2
11、2，AD2+BD2=AB2，BDAD，侧面PAD底面ABCD，由面面垂直性质可知，BD平面PAD，而PD在平面PAD内，BDPD；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，D(0，0，0)，A(22，0，0)，B(0，22，0)，C(2，2，0)，则AP=(2，0，6)，AB=(22，22，0)，PC=(22，2，6)，BC=(2，2，0)，设平面PAB的法向量为n=(x，y，z)，则2x+6z=022x+22y=0，可取n=(1，1，33)，设平面PCB的法向量为m=(x，y，z)，则2x+2y6z=02x+2y=0，可取m=(1，1，3)，设二面角APBC的平面角为，由图观察可知为钝角，cos=
12、|nm|n|m|=105358如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点（1）证明：平面AMD平面BMC；（2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值【解答】解：（1）证明：在半圆中，DMMC，正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，AD平面DCM，则ADMC，ADDMD，MC平面ADM，MC平面MBC，平面AMD平面BMC（2）ABC的面积为定值，要使三棱锥MABC体积最大，则三棱锥的高最大，此时M为圆弧的中点，建立以O为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图正方形ABCD的边长为2，A（2，1，0），B（
13、2，1，0），M（0，0，1），则平面MCD的法向量m=（1，0，0），设平面MAB的法向量为n=（x，y，z）则AB=（0，2，0），AM=（2，1，1），由nAB=2y0，nAM=2x+y+z0，令x1，则y0，z2，即n=（1，0，2），则cosm，n=mn|m|n|=111+4=15，则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值sin=1(15)2=255题型归纳四：探索性问题（存在性问题）9如图，在三棱锥PABC中，ABBC22，PAPBPCAC4，O为AC的中点（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值【解答】（1）证明：连接BO，ABBC22，O是AC的中点，BOAC，且BO2，又PAPCPBAC4，POAC，PO23， 则PB2PO2+BO2，则POOB，OBACO，PO平面ABC；（2）建立以O坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：A（0，2，0），P（0，0，23），C（0，2，0），B（2，0，0），BC=（2，2，0），设BM=BC=（2，2，0），01则AM=BM
