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1、9.4 9.4 重积分的应用重积分的应用把定积分的元素法推广到二重积分的应用中把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. .若要计算的某个量若要计算的某个量U对于闭区域对于闭区域D具有可加性具有可加性(即当闭区域即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和等于部分量之和)，并且在闭区域并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域内任取一个直径很小的闭区域相应地部分量可近似地表示为相应地部分量可近似地表示为 的形式的形式,1一、曲面的面积一、曲面的面积卫星卫星2设曲面的方程为：设曲面的方程为：如图，如图，3曲面曲面S
2、 S的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：4设曲面的方程为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：同理可得同理可得5卫星卫星6解解卫星卫星如图建立坐标系如图建立坐标系通讯卫星覆盖的曲面通讯卫星覆盖的曲面 是上半是上半球面被半顶角为球面被半顶角为 的圆锥面所的圆锥面所截得的部分，其方程为截得的部分，其方程为7通讯卫星的覆盖面积与地球的表面积的比为通讯卫星的覆盖面积与地球的表面积的比为8解解910解解解方程组解方程组得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周在在 平面上的投影域为平面上的投影域为1112二、质心二
3、、质心 1. 1.平面薄片的质心平面薄片的质心 对对 x 轴的轴的静力矩静力矩 对对 y 轴的轴的静力矩静力矩13当当薄片是均匀的，薄片是均匀的，质质心心称为称为形心形心. .由元素法由元素法14P407 例9-19均匀薄片的质心均匀薄片的质心之间的之间的和和求位于两圆求位于两圆例例 sin4 sin2 4q qq q= = =rr15解解1617设空间有设空间有n个质点个质点,其质量分别其质量分别由力学知由力学知, 该质点系的质心坐标该质点系的质心坐标设物体占有空间域设物体占有空间域 , 有连续密度函数有连续密度函数则则 公式公式 ,分别位于分别位于为为为为即即:采用采用 “分割、求和、取极
4、限分割、求和、取极限” 可导出其质心可导出其质心 2. 2. 空间立体的空间立体的质质心心 ( (书书p/408)p/408)18将将 分成分成 n 小块小块,将第将第 k 块看作质量集中于点块看作质量集中于点例如例如,令各小区域的最大直径令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点的质点,即得即得此质点此质点在第在第 k 块上任取一点块上任取一点19同理可得同理可得则得则得形心坐标形心坐标：20三、转动惯量三、转动惯量 1.1.平面薄片的转动惯量平面薄片的转动惯量21薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴
5、的转动惯量22解解23解解242. 空间立体的转动惯量空间立体的转动惯量设物体占有空间区域设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数有连续分布的密度函数该立体绕该立体绕x轴、轴、y轴与轴与z 轴的转动惯量分别为轴的转动惯量分别为 25对对 x 轴的转动惯量轴的转动惯量对对 y 轴的转动惯量轴的转动惯量对原点的转动惯量对原点的转动惯量对对 z z 轴轴 的转动惯量的转动惯量: :26空间物体对单位质点的引力空间物体对单位质点的引力为引力常数为引力常数四、引力四、引力 1. 1. 空间物体对质点的引力空间物体对质点的引力27例例8. 求半径求半径 R 的均匀球的均匀球对位于对位于的单位质量质点的
6、引力的单位质量质点的引力.解解: 利用对称性知引力分量利用对称性知引力分量点点28为球的质量29薄片对薄片对 轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力为引力常数为引力常数 2. 2. 平面薄片对质点的引力平面薄片对质点的引力30解解由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知所求引力为所求引力为31五、立体体积五、立体体积1. 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面的顶为连续曲面则其体积为则其体积为2. 占有空间有界域占有空间有界域 的立体的体积的立体的体积为为32例例10. 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积的直角圆柱面所围的体积.解解: 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为利用对称
7、性利用对称性, 考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为33任一点的切平面与曲面任一点的切平面与曲面所围立体的体积所围立体的体积 V . 解解: 曲面曲面的切平面方程为的切平面方程为它与曲面它与曲面的交线在的交线在 xoy 面上的投影为面上的投影为(记记所围域为所围域为D )在点在点例例11. 求曲面求曲面34例例12. 求半径为求半径为a 的球面与半顶角为的球面与半顶角为 的的内接锥面所围成的立体的体积内接锥面所围成的立体的体积.解解: 在球坐标系下空间立体所占区域为在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为则立体体积为35几何应用：曲面的面积几何应用：曲面的面积, ,立体的体积立体的体积物理应用：物理应用：质质心、转动惯量、心、转动惯量、对质点的引力对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）（注意审题，熟悉相关物理知识）小结小结36
