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1、第五章第五章 投影变换投影变换 5.1 概概 述述 5.2 换面法换面法 15.1 5.1 概概 述述 当当直直线线或或平平面面相相对对于于投投影影面面处处于于特特殊殊位位置置（平平行行或或垂垂直直）时时，它它们们的的投投影影反反映映线线段段的的实实长长、平平面面的的实实形形及及其其与与投投影影面面的的倾倾角角，当当它它们们处处于于垂垂直位置时，其中有一投影具有积聚性。直位置时，其中有一投影具有积聚性。 当当直直线线或或平平面面和和投投影影面面处处于于一一般般位位置置时时，则则它们的投影就不具备上述的特性。它们的投影就不具备上述的特性。 投投影影变变换换就就是是将将直直线线或或平平面面从从一一
2、般般位位置置变变换换为为和和投投影影面面平平行行或或垂垂直直的的位位置置，以以简简便便地地解解决决它它们的定位和度量问题。们的定位和度量问题。2aabbaabbccddbaabccddaabbccaabb 两点之间距离两点之间距离aabbcc三角形实形三角形实形aabbccdd 直线与平面的交点直线与平面的交点abcdabcd 两平面夹角两平面夹角35.2 5.2 换换 面面 法法5.2.1 5.2.1 换面法的基本概念换面法的基本概念 5.2.4 5.2.4 平面的换面平面的换面 5.2.3 5.2.3 直线的换面直线的换面 5.2.2 5.2.2 点的投影变换规律点的投影变换规律 4VAH
3、CB c bX aa bc5.2.1 5.2.1 换面法的基本概念换面法的基本概念a1c1b1V1X1X1V/H 体系变为V1/H 体系c1b1a1bcabacX 换换面面法法就就是是保保持持空空间间几几何何元元素素不不动动，用用新新的的投投影影面面替替换换旧旧的的投投影影面面，使使新新投投影影面面对对于于空空间间几几何何元元素素处处于于有有利利于于解题的位置。解题的位置。5（1 1）新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。）新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。（2 2）新投影面必须垂直于原投影体系中的某一个投影面。）新投影面必须垂直于原投影体系中的某一个投影面。VAHCBc
4、bX aabc V1X1c1 b1a12.2.新投影面的选择原则新投影面的选择原则65.2.2 5.2.2 点的投影变换规律点的投影变换规律1. 1. 点的一次变换点的一次变换VH XHX1V1a1aAa7a1aXVHa VHXX1 V1a1 V1a1X1HV1aAa变换变换V V面时点的投影作图面时点的投影作图8a1X1HV1aXVHa（1 1）点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。）点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。（2 2）点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴）点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。的距离。9VHXH1X1点在点在V/
5、HV/H1 1体系中的投影体系中的投影 X1H1Va1XVHaaa1aAa10VXHa2aaa1XVHX1HV13.3.点的两次变换点的两次变换V1X1X2H2V1H2X2a2a1aAa11VHXA aBb a b5.2.3 5.2.3 直线的换面直线的换面1. 将一般位置直线变为将一般位置直线变为投影面平行线投影面平行线V1X1 a1 b1a1b1 X1V1H ba b aXVH12 例例1 把一般位置直线把一般位置直线AB变为变为H1投影面平行线投影面平行线 babaXHVXH1Va1b113a1VHXaAabBbH1X1X1H1Va1b1XVHaa2. 将将投影面平行线变为投影面垂直线投
6、影面平行线变为投影面垂直线bb14 3. 将一般位置直线变为将一般位置直线变为投影面垂直线投影面垂直线XHaAa b bBVV1X1H1a2 b2 a1 b115将将一般位置直线变为投影面垂直线一般位置直线变为投影面垂直线XH1V1a aXVHb ba2 b2XHV1a1 b1 16aaX b bcc 思考题思考题1 如何求点如何求点C到直线到直线AB的距离？的距离？XH1V1aaXVHbba2 b2XHV1a1b1提示17aaXbb cdcd 思考题思考题2 如何求两直线如何求两直线AB与与CD间的距离？间的距离？XH1V1aaXVHbba2 b2XHV1a1b1V提示18X2H2V1X1H
7、V1a2b2d2c2b1a1d1c1112121babdcaXVHdc211222 例例2 求两直线求两直线AB与与CD的公垂线的公垂线 。 H219a cXVHbb ac4.2.4 4.2.4 平面的换面平面的换面 VH Xcba bCA cBa ddDX1H1a1c1b1 d1 dX1H1V db1 a1c1d11. 将一般位置平面变为投影面垂直面将一般位置平面变为投影面垂直面20k1X1H1Vb1a1c1 d1s1acb ba c ddss 例例3 求点求点S到平面到平面ABC的距离的距离21a c b bac enken ddX1VH1b1a1c1d1k1ke1 例例4 已知已知E到平
8、面到平面ABC的距离为的距离为N，求，求E点的正面投影点的正面投影e 。22HXVCAcbaBX1V1c1b1a12. 将将投影面垂直面变为投影面平行面投影面垂直面变为投影面平行面V1c1b1a1X123a1c1b1X1bca b acXVH a cbXX1V1c1 b1a1b ca24a cXVHbbac d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H13. 将一般位置平将一般位置平面变为投影面平行面面变为投影面平行面 25 例例5 已知已知点点E在平面在平面ABC上，距离上，距离A、B为为15，求，求E点的投影。点的投影。a cXVHbbac d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1e226本章小结本章小结（1 1）掌握换面法的基本原理和换面法作图的投）掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律。影变换规律。（2 2）掌握用换面法求图形实形及其对投影面的）掌握用换面法求图形实形及其对投影面的倾角基本作图方法。倾角基本作图方法。（3 3）掌握用换面法解决一般空间几何元素间的）掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题。定位和度量问题。27
