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1、第十二部分：微分方程第十二部分第十二部分 微分方程微分方程一一 重点与难点：重点与难点： 1. 什么是微分方程？常微分方程？线性微分方程？微分方程的阶？什么是微分方程？常微分方程？线性微分方程？微分方程的阶？ 2. 微分方程的通解与特解有什么相同点和区别？微分方程的通解与特解有什么相同点和区别？ 3. 熟练掌握几类一阶微分方程的解法熟练掌握几类一阶微分方程的解法. . 两类方程的推广两类方程的推广* *. . 4. 掌握三种可降阶的高阶微分方程的解法掌握三种可降阶的高阶微分方程的解法. . 5. 什么是线性微分方程？线性微分方程的解的结构是怎样的？什么是线性微分方程？线性微分方程的解的结构是怎
2、样的？ 6. 熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征根求法熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征根求法. . 7. 掌握（自由项为多项式、指数函数、正弦函数及余弦函数的积掌握（自由项为多项式、指数函数、正弦函数及余弦函数的积 与和的）二阶常系数非齐次线性方程的特解的待定系数法与和的）二阶常系数非齐次线性方程的特解的待定系数法. . 8. 会用微分方程解决简单的几何与物理应用问题会用微分方程解决简单的几何与物理应用问题. .二二 例题与练习例题与练习 1. 判断是非（是：判断是非（是：；非：；非：） 2. 选择题选择题 3. 判断方程类型并给出解法判断方程类型并给出解法 4. . 综合练习综
3、合练习 微分方程中出现的微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数未知函数最高阶导数的阶数叫微分方程叫微分方程的的阶阶。1. . 什么是微分方程？常微分方程？怎样确定微分方程的阶？什么是微分方程？常微分方程？怎样确定微分方程的阶？ 什么是线性微分方程？什么是线性微分方程？一、重点与难点：重点与难点：微分方程微分方程就是联系自变量、未知函数以及它的导数的方程。就是联系自变量、未知函数以及它的导数的方程。 在微分方程中，在微分方程中，若自变量的个数只有一个，若自变量的个数只有一个，称这种微分方称这种微分方程为程为常微分方程常微分方程。( (若自变量的个数有两个或两个以上，称若自变量的个数有两个或两个
4、以上，称偏微分方程。偏微分方程。) ) 若微分方程中的未知函数及其各阶导数都是一次的，称方若微分方程中的未知函数及其各阶导数都是一次的，称方程是程是线性微分方程线性微分方程。 2. 微分方程的通解与特解有什么相同点和区别？微分方程的通解与特解有什么相同点和区别？ 如果函数如果函数 y= (x)代入微分方程代入微分方程 后，使它成为一个恒后，使它成为一个恒等等式，称函数式，称函数 y= (x)为为微分微分方程的方程的解解。 如果微分方程如果微分方程 的解中含有任意常数，而且的解中含有任意常数，而且(独立的独立的)任意任意常数的个数与方程的阶数相同，这种解叫微分方程的常数的个数与方程的阶数相同，这
5、种解叫微分方程的通解通解。 如果给了初始条件（或其它定解条件），确定了微分方如果给了初始条件（或其它定解条件），确定了微分方程通解中的任意常数，就得到微分方程的程通解中的任意常数，就得到微分方程的特解特解。 通解与特解都是通解与特解都是微分方程的解。微分方程的解。 通解是函数族，特解是该函数族中的一个函数。通解是函数族，特解是该函数族中的一个函数。 通解不一定是通解不一定是微分方程的全部解。但是，对线性方程微分方程的全部解。但是，对线性方程，其其通解就是通解就是方程的全部解。方程的全部解。.3. 几几类一阶微分方程的解法类一阶微分方程的解法方方 程程 类类 型型解解 法法 及及 解解 的的 表
6、表 达达 式式 (1) 变量可分离的方程变量可分离的方程 (简称简称“可可”).(2) 齐次方程齐次方程 (简称简称“齐齐”).(3) 一阶线性方程一阶线性方程 (简称简称“一一”).得通解：得通解：.(4) 伯努利方程伯努利方程 (简称简称“贝贝”).化为化为“一一”：.(5) 全微分方程全微分方程 (恰当方程恰当方程).化为化为“可可”分离变量，两边积分分离变量，两边积分用常数变易法，用常数变易法，或或上述两类方程的推广上述两类方程的推广* ：.1o 可化成可化成“可可”的方程：的方程：2o 可化成可化成“齐齐”的方程：的方程：.化成化成“可可”.为为“齐齐”.为为1o.4. 三种可降阶的
7、高阶微分方程的解法三种可降阶的高阶微分方程的解法方方 程程 类类 型型解解 法法 及及 解解 的的 表表 达达 式式连续积分连续积分 n 次，可得通解：次，可得通解：. (1). (2).（转（转y为自变量）为自变量）.原方程化为：原方程化为：5. 线性微分方程解的结构：线性微分方程解的结构：.若具有若具有n个线性无关的特解：个线性无关的特解：(1) 线性齐次方程：线性齐次方程：(2) 线性非齐次方程：线性非齐次方程： (1) (2)6. 二阶常系数齐次线性方程的解法二阶常系数齐次线性方程的解法齐次线性方程齐次线性方程特特 征征 根根特特 征征 方方 程程特征方程判别式特征方程判别式两个不等实
8、根两个不等实根两个相等实根两个相等实根一对共轭复根一对共轭复根通解：通解：.7.二阶常系数非齐次线性方程的特解二阶常系数非齐次线性方程的特解条条件件 不是特征根不是特征根 是特征单根是特征单根 是特征重根是特征重根.二. 例题与练习例题与练习.1. 1. 判断是非（是：判断是非（是：；非：；非：）( )( )( )( )二. 例题例题.1. 1. 判断是非（是：判断是非（是：；非：；非：）与练习与练习( )( )( )( )( ).2. 选择题选择题CDA2. 选择题选择题DB3. 判断方程类型并给出解法判断方程类型并给出解法可分离可分离.齐次齐次.一阶线性一阶线性伯努利，令伯努利，令z =
9、y 5高阶高阶,不显含不显含 x二阶线性常系数二阶线性常系数二阶线性常系数二阶线性常系数.二阶线性常系数二阶线性常系数.解：解：.4. 综合练习综合练习(4) 求求下列方程满足初始条件的特解下列方程满足初始条件的特解:(5) 构造一个二阶齐次线性微分方程，使它有解构造一个二阶齐次线性微分方程，使它有解谢谢 谢谢 使使 用用返回首页.4. 综合练习解答综合练习解答解：解：.(1) 求以下方程的通解：求以下方程的通解：“可可”2o 解：解：.解：解：3o.“齐齐”解：解：4o.“不显含不显含 x”“可可”5o 解：解：.“一阶线性一阶线性”解：解：6o.“全微分方程全微分方程”QR(2)解：解：P(x,y)yxo.Lxxy(3)解：解：. .(4)求下列方程满足初始条件的特解求下列方程满足初始条件的特解:解：解：.“伯努利方程伯努利方程”解：解：.“可可”2o(5) 解：解：. 构造一个二阶齐次线性微分方程，使它有解构造一个二阶齐次线性微分方程，使它有解(6)解：解：.解：解：.0 xy(1,0)(1,1)y =0dy =0 x =1dx =0(6).
