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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑量子力学20 河南科技大学物理工程学院教案（李同伟） 第四章 态和力学量的表象 第四章 态和力学量的表象 4-1 状态的表象 一、表象 ?具有断续谱，它得志的本征方程为 设力学量算符F?u(x)?fu(x) Fnnn?算符F具有一组正交归一完备的本征函数系?un(x)?。假设把?un(x)?作为一组基矢（或称为基底），那么它们张开一个空间。由开展假设可知，对任意一个状态?(x,t)，那么有 ?(x,t)?cn(t)un(x) n鲜明，?(x,t)就是该空间中的一个矢量，所以也称为态矢。因此，这个空间就称为态矢空间，也叫做希尔伯特空间。每一个物理上允许的波函数
2、都是态矢空间中的一个元素，量子力学的全体活动都在这个空间内举行。 ?的本征函数系?u(x)?作为基矢组，上面议论的空间是以F所以称为F表象下的态矢空n间。?(x,t)的开展系数 *cn(t)?un(x)?(x,t)dx ?表示态矢?(x,t)在un(x)上的投影。 若波函数?(x,t)和un(x)都已经归一化，那么 ?*?*(x,t)?(x,t)dx?cmcn?umundx?cmcn?mn?cnmn?mnn?2?1 上式说明，当?(x,t)是归一化的波函数时，在力学量F表象下的波函数cn(t)也确定是归一化的波函数。cn(t)的物理意义是在?(x,t)态下测量力学量F取值为fn的概率，系数 2
3、cn(t)(n?1,2,?)称为波函数在力学量F表象下的表示。 ?的正交归一完备的本征函数系?当然，我们也可以用其它任一力学量算符G?n(x)?作为 基底，把?(x,t)作开展，即 ?(x,t)?an(t)?n(x) n那么，an(t)(n?1,2,?)就是?(x,t)在G表象下的波函数。 由此可知，态矢空间中的基底相当于几何学中的坐标系。选取不同的基底，相当于选取了不同的坐标系。在不同基底下得到的物理结果是一致的，但是，假设基底选取适合，那么可能使问题的推导与计算更加简朴。 下表是态矢空间与三维空间的对比。 态矢空间与三维空间的对比 基矢组（基底） 基矢组正交归一条件 空间中的矢量 希尔伯特
4、空间 三维空间 ?un(x)? *?umundx?mn ?ei、ej、ek ?ei?ej?ij ?A矢量 态矢量?(x,t) 1 河南科技大学物理工程学院教案（李同伟） 第四章 态和力学量的表象 矢量开展式 矢量在基矢上的投影 维数 空间性质 二、坐标表象和动量表象 ?(x,t)?cn(t)un(x) n?A?Axei?Ayej?Azek ?Ax?ei?A 3维 实空间 cn(t)?u(x)?(x,t)dx ?*n可以有限，也可以无限 复空间 以一维问题为例。设?(x,t)是坐标表象中任意一个归一化的波函数。下面将导出波函数?(x,t)分别在坐标、动量表象中的表示。 1波函数?(x,t)在坐标
5、表象中的表示 坐标算符x得志的本征方程为 x?x?(x)?x?x?(x) 并且已经求出了它的本征值及相应的规格化本征函数为 ?x?(?,?) ?(x)?(x?x)?x?由开展假定可知，状态?(x,t)可以向坐标的本征函数开展 ?(x,t)?cx?(t)?(x?x?)dx? ?其中，开展系数 cx?(t)?*(x?x?)?(x,t)dx?(x?x?)?(x,t)dx?(x?,t) ?鲜明，它就是坐标表象中的波函数。即?(x,t)在本征值为x的基矢上的投影就是它本身。 2波函数?(x,t)在动量表象中的表示 若要得到波函数?(x,t)在动量表象中的表示，既可以以坐标为自变量，也可以以动量为自变量来
6、举行。 （1）以x为自变量 ?得志的本征方程为 在坐标表象中，动量算符p?i?p?(x)?p?p?(x) ?x它的本征值及相应的规格化波函数已经求出 ?p?(?,?)? ?1ip?x/ ?(x)?e?p?2?(x,t)可以开展为 1?(x,t)?2?其中，开展系数 ?cp?(t)eip?x/dp? cp?(t)? 12?e?ip?x/?(x,t)dx 2 河南科技大学物理工程学院教案（李同伟） 第四章 态和力学量的表象 由开展假定可知， cp?(t)就是在?(x,t)状态上动量取p?值的概率，故开展系数cp?(t)是波函数?(x,t)在动量表象中的表示。 （2）以p为自变量 ?得志的本征方程为
7、 在动量表象中，动量为自变量，类似坐标算符的处境，动量算符p2p?p?(p)?p?p?(p) 它的本征值及相应的规格化本征函数为 ?p?(?,?) ?(p)?(p?p)?p?说明动量算符与坐标算符一样，在自身表象中，其本征函数也是一个?函数。 在动量表象中，把状态?(x,t)表示为?(p,t)，那么 ?(p,t)?cp?(t)?(p?p?)dp? ?其中，开展系数 cp?(t)?*(p?p?)?(p,t)dp?(p?,t) ?它就是?(x,t)在动量表象中的表示。 对比上面结果，可知 ?(p?,t)?这正是前面讲过的付立叶变换。 12?e?ip?x/?(x,t)dx ?i?例1证明动量表象中坐
8、标算符x?。 ?p解：坐标表象和动量表象中波函数得志组的付立叶变换 ?(x)?12?ipx/?(p)edp ?(p)?(x)e?2?1?ipx/?dx 坐标的平均值为 x?*(x)x?(x)dx?12?*?(p)?i12?*?ipx/?(p)ex?(x)dxdp?ipx/?(x)dxdp?e?p?ipx/?(x)edx?dp?1?*(p)?i?p?2?*(p)?i?(p)dp?p? 3 河南科技大学物理工程学院教案（李同伟） 第四章 态和力学量的表象 ?i?所以，x?。 ?p三、波函数的矩阵表示 ?得志的本征方程为 力学量算符F在F表象中，波函数?(x,t)可以开展为 ?u(x)?fu(x)
9、Fnnn?(x,t)?cn(t)un(x) n开展系数cn(t)是态矢?(x,t)在F表象中的表示。我们把它以列矩阵表示出来，称为?(x,t)在F表象中的矩阵表示，即 ?c1(t)?c(t)?2? ?ci(t)?其共轭矩阵为 *?c1(t)c2(t)?ci*(t)? ?矩阵形式的波函数归一化条件为 *?c1(t)c2(t)ci*(t)?c1(t)?c(t)2?2?ci(t)?1 ?ic(t)?i?例2一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为 ?(x)?4?sinxcos2x aaa求此函数在能量表象中的表示。 解：一维无限深势阱中粒子能量的本征解为 2n?2?2n2 ?sinx （0?x?a） n
10、?1,2,? En?n2aa2?a那么有 ?(x)?4?x2?x22?sincos?sinxcosxaaaaaa 1?3?11?sinx?sinx?3?1?aaa?22?或：由开展假设?(x)?c?nnn(x)可得 4 河南科技大学物理工程学院教案（李同伟） 第四章 态和力学量的表象 cn?(x)?(x)dx?*na042?n?11sinxcos2xsinxdx?1n?3n aaaa22所以 c1?12 c3?12 cn?0(n?1,3) 故?(x)在能量表象中的表示为 ?1/2?0?1/2? ?0? 5 河南科技大学物理工程学院教案（李同伟） 第四章 态和力学量的表象 小 结 一、表象 ?u
11、(x)?fu(x) Fnnn?(x,t)?ncn(t)un(x) cn(t)?*un(x)?(x,t)dx 2?*?*(x,t)?(x,t)dx?cmcn?umundx?cmcn?mn?cnmnmnn?1 上式说明，当?(x,t)是归一化的波函数时，在力学量F表象下的波函数cn(t)也确定是归一化的波函数。cn(t)的物理意义是在?(x,t)态下测量力学量F取值为fn的概率，系数 cn(t)(n?1,2,?)称为波函数在力学量F表象下的表示。 二、波函数的矩阵表示 2?得志的本征方程为 力学量算符F在F表象中，波函数?(x,t)可以开展为 ?u(x)?fu(x) Fnnn?(x,t)?cn(t)un(x) n开展系数cn(t)是态矢?(x,t)在F表象中的表示。我们把它以列矩阵表示出来，称为?(x,t)在F表象中的矩阵表示，即 ?c1(t)?c2(t)? ?ci(t)? 6 8
