高数复习大纲同济六版下册

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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑高数复习大纲同济六版下册 1、向量与空间几何向量：向量表示(ab); 向量的模? 向量的大小叫做向量的模? 向量a、?a、AB的模分别记为|a|、|a|、|AB|? 单位向量? 模等于1的向量叫做单位向量? 零向量? 模等于0的向量叫做零向量? 记作0或0? 零向量的起点与终点重合? 它的方向可以看作是任意的? 向量的平行? 两个非零向量假设它们的方向一致或相反? 就称这两个向量平行? 向量a与b平行? 记作a / b? 零向量认为是与任何向量都平行? 向量运算(向量积)； 1 向量的加法 2. 向量的减法 3向量与数的乘法设a?(ax? ay? az)

2、? b?(bx? by? bz) 即 a?axi?ayj?azk? b?bxi?byj?bzk ? ? 那么 a?b ?(ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k ?(ax?bx? ay?by? az?bz)? a?b? (ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k?(ax?bx? ay?by? az?bz)? ?a?(axi?ayj?azk) ?(?ax)i?(?ay)j?(?az)k ?(?ax? ?ay? ?az)? 向量模的坐标表示式 |r|?x2?y2?z2 点A与点B间的距离为 |AB|?|AB|?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2 向量的方向：

3、向量a与b的夹角当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时? 两个向量之间的不超过?的夹角称为向量a与b的夹角? 记作(a, b)或(b, a)? 假设向量a与b中有一个是零向量? 规定它们的夹角可以在0与?之间任意取值? 类似地? 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角? 数量积?对于两个向量a和b?它们的模?|a|、|b|?及它们的夹角? 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积?记作a?b?即 ab?|a| |b| cos? ? 数量积与投影? 由于|b| cos? ?|b|cos(a? b)?当a?0时?|b| cos(a? b)?是向量 b在向量a的方向上的投影?于是ab?|a| Pr

4、j ab? 同理?当b?0时?ab? |b| Prj ba? 数量积的性质? (1)? aa?|a| 2? (2) 对于两个非零向量 a、b?假设 ab?0?那么 a?b 反之?假设a?b?那么ab?0? 假设认为零向量与任何向量都垂直?那么a?b?ab?0? ? 两向量夹角的余弦的坐标表示? 设?(a? b)? 那么当a?0、b?0时?有? cos?a?b?|a|b|axbx?ayby?azbz22222a2x?ay?azbx?by?bz 向量积?设向量c是由两个向量a与b按以下方式定出? c的模?|c|?|a|b|sin ? ?其中? 为a与b c的方向垂直于a与b所抉择的平面?c的指向按

5、右手规矩从a转向b来确定? 那么?向量c叫做向量a与b的向量积?记作a?b?即 c? a?b?坐标表示? ijk a?b? axayaz?aybzi?azbx j?axbyk?aybxk?axbz j?azbyi bxbybz ?( ay bz ? az by) i ? ( az bx ? ax bz) j ? ( ax by ? ay bx) k? 向量的方向余弦? 设r?(x? y? z)? 那么 x?|r|cos? y?|r|cos? z?|r|cos? ? cos?、cos?、cos? 称为向量r的方向余弦? y co?s?x? cos? cos?z? 从而 (cos?, cos?,

6、cos?)?1r?er |r|r|r|r|向量的投影向量在轴上的投影设点O及单位向量e确定u轴? 任给向量r? 作OM?r? 再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点M?(点M?叫作点M在u轴上的投影)? 那么向量OM?称为向量r在u轴上的分向量? 设OM?e? 那么数?称为向量r在u轴上的投影? 记作Prjur或(r)u ? 按此定义? 向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标ax? ay? az就是a在三条坐标轴上的投影? 即 ax?Prjxa? ay?Prjya? az?Prjza? 投影的性质? 性质1 (a)u?|a|cos ? (即Prjua?|a|cos ?)? 其中?为向量与u轴的夹

7、角? 性质2 (a?b)u?(a)u?(b)u (即Prju(a?b)? Prjua?Prjub)? 性质3 (?a)u?(a)u (即Prju(?a)?Prjua)? 空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)； (1)椭圆锥面由方程x2?y2?z2所表示的曲面称为椭圆锥面? 22?ab (2)椭球面由方程x2?y2?z2?1所表示的曲面称为椭球面? 222abc(3)单叶双曲面 2y2z2x由方程2?2?2?1所表示的曲面称为单叶双曲面? abc(4)双叶双曲面由方程x2?y2?z2?1所表示的曲面称为双叶双曲面? 222abc(5)椭圆抛物面 2y2x 由方程2?2?z所表示的曲面

8、称为椭圆抛物面 ab(6)双曲抛物面? 由方程x2?y2?z所表示的曲面称为双曲抛物面? 22ab椭圆柱面x2?y2?1? 22ab2y2x双曲柱面2?2?1? ab抛物柱面x2?ay? ? 直线方程(参数方程和投影方程) 空间直线的一般方程空间直线L可以看作是两个平面?1和?2的交线? ? 假设两个相交平面?1和?2的方程分别为A1x?B1y?C1z?D1?0和A2x?B2y?C2z?D2?0? 那么直线L上的任一点的坐标应同时得志这两个平面的方程? 即应得志方程组 ?A1x?B1y?C1z?D1?0?Ax?By?Cz?D?0? 222?2空间直线的对称式方程与参数方程方向向量?假设一个

9、非零向量平行于一条已知直线? 这个向量就叫做这条直线的方向向量? 轻易知道? 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量? 确定直线的条件?当直线L上一点M 0(x0? y0? x0)和它的一方向向量s?(m? n? p)为已知时? 直线L的位置就完全确定了? 直线方程确实定?已知直线L通过点M0(x0? y0? x0)? 且直线的方向向量为s?(m? n? p)? 求直线L的方程? 设M (x? y? z)在直线L上的任一点? 那么 (x?x0? y?y0? z?z0)/s? ?从而有 ? x?x0y?y0z?z0? ?mnp这就是直线L的方程? 叫做直线的对称式方程或点向式方程 ?x?x0?m

11、 z的系数就是该平面的一个法线向量n的坐标? 即 n?(A? B? C)? 提示? D?0? 平面过原点? n?(0? B? C)? 法线向量垂直于x轴? 平面平行于x轴? n?(A? 0? C)? 法线向量垂直于y轴? 平面平行于y轴?n?(A? B? 0)? 法线向量垂直于z轴? 平面平行于z轴? n?(0? 0? C)? 法线向量垂直于x轴和y轴? 平面平行于xOy平面?n?(A? 0? 0)? 法线向量垂直于y轴和z轴? 平面平行于yOz平面?n?(0? B? 0)? 法线向量垂直于x轴和z轴? 平面平行于zOx平面? 截距式；平面夹角和距离两平面的夹角?两平面的法线向量的夹角(通

12、常指锐角)称为两平面的夹角? ? 设平面?1和?2的法线向量分别为n1?(A1? B1? C1)和n2?(A2? B2? C2)? 那么平面 ?1和?2的夹角? 应是(n1, n2)和(?n1, n2)?(n1, n2)两者中的锐角? 因此? cos?|cos(n1, n2)|? 按两向量夹角余弦的坐标表示式? 平面?1和?2的夹角? 可由 s?|cosn1(, n2)|? co?|A1A2?B1B2?C1C2|A12?B12?C12?222A2?B2?C2? 来确定? 从两向量垂直、平行的充分必要条件立刻推得以下结论? 平面?1和?2垂直相当于A1 A2 ?B1B2 ?C1C2?0? 平面?

13、 1和? 2平行或重合相当于 A1B1C1? A2B2C2空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线? 设 F(x? y? z)?0和G(x? y? z)?0 是两个曲面方程? 它们的交线为C? 由于曲线C上的任何点的坐标应同时得志这两个方程? 所以应得志方程组 ?F(x,y,z)?0?G(x,y,z)?0? 空间曲线的参数方程（33）空间曲线C的方程除了一般方程之外? 也可以用参数形式表示? 只要将C上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数? ?x?x(t) ?y?y(t)? ?z?z(t)当给定t?t1时? 就得到C上的一个点(x1? y1? z1)? 随着t的变动便得曲线C上的全部点? 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程? 切平面和切线：切线与法平面；设空间曲线的参数方程为 x?(t),y?(t),z?(t), 曲线在点M(x0,y0,z0)处的切线方程为 x?x0y?y0z?z0?. = ?(t0)?(t0)?(t0)向量 T?

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