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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑解析几何的最值问题是数学竞赛和高考的常见 解析几何最值问题的解法 上海市松江一中 陆珲 解析几何的最值问题是高中数学的难点和重点，也是数学竞赛和高考的常见题型。由于高中解析集合研究的都是二次曲线，所以通常处境下，解此类问题的方法和解函数中的求最值问题方法类似，常用下面几种方法： 1、化为二次函数，求二次函数的最值； 2、化为一元二次方程，利用； 3、利用不等式； 4、利用函数的单调性和有界性； 5、利用几何法。 在解此类问题时，以上方法也可能会混合运用。同时，恰当利用解析几何中二次曲线定义和性质，或利用参数方程，或建立适当的坐标系，也可以简化问题，便当解题。
2、 例题1：如图已知P点在圆x2?(y?4)2?1上移动， x2?y2?1上移动，求|PQ|的最大值。 9Q点在椭圆 分析：如图先让Q点在椭圆上固定，鲜明PQ通大，因此要|PQ|的最大值，只要求|OQ1|的最大 222解：设Q点坐标(x,y)，那么|OQ ， |?x?(y?4)1过圆心O1时|PQ|最值。 x2因Q点在椭圆上，故?y2?1 9121?Q点在椭圆上移动，?1?y?1 ?y?时，|OQ1|min?27?33 2把代入得|O1Q|2?9(1?y2)?(y?4)2?8(y?)2?27 ?|PQ|min?33?1 说明：此解法就是典型的运用化为二次函数，通过求二次函数的最值来解决问题。但是
3、在利用二次函数求最值时，不能机械地套用最值在顶点处取得的模式，首先要求出定义域，然后再看顶点是否在定义域内，若在，那么可套用，若不在，那么要按二次函数在其定义域内的单调性来判定。 例题2：如图，定长为3的线段AB的两端在抛物线y2?x上移动，且线段中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标。 分析：点M到y轴的最短距离，即求点M横坐标的最小值。 解法一：化为一元二次方程，利用 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)那么 ?x1?x2?2x?y1?y2?2y?2 ?y1?x1?2?y2?x2?(x?x)2?(y?y)2?9?1212 2代入，整理得(y1?y2)2?(y1?
4、y2)?1?9，即 2(y12?y22?2y1y2)?(y?y)?1?12?9 由得y12?y22?x1?x2?2x (y1?y2)2?2y1y2?2x 代入上式得2y1y2?4y2?2x 代入并整理得16y4?(4?16x)y2?9?4x?0 ?y?R，?(4?16x)2?64(9?4x)?0，即(4x?5)(4x?7)?0 ?4x?7?0,?x?552，将x?代入得y? 44254所以AB中点M到y轴的最短距离是，相应的点M的坐标为(,5252) )或(,?4242说明：此类解法是学生对比轻易掌管的方法，解题时将未知的元素都举行适当的假设，并通过已知条件找出它们与解题目标的关系并化为一元二
5、次方程，利用计算。在运用此法时，不仅要判断方程是否有解，还应留神方程解的特点，如正负根等，此时可进一步应用方程的根与系数的关系（韦达定理）等举行议论和判断。同时，此类解法字母较多，计算量大，解题时应更加留心。 解法二：利用不等式 同解法一，得，整理得(16y2?4)x?16y4?4y2?9， 916y2?491915x?y?2? 2216y?41616y?4416442以下同前。 说明：利用不等式性质（a,b?R?,a?b?2ab,a?b时等号成立）的解法也是对比常用的解题方法，但是应用时理应考虑不等式性质成立的前提和性质的特点，在举行计算式变形时目的要明确，同时等号成立是变量的取值要关注到位
6、。若题设条件无法在a?b时取得最值，那么应利用函数的单调性和有界性求得最值。 解法三：几何法 如图设A(m2,m),B(n2,n)，那么以AB为直径的 (x?m2)(x?n2)?(y?m)(y?n)?0 圆为 准线x?上离圆最远的点M(?,141m?n)42代入上式得， 11m?nm?n1(?m2)(?n2)?(?m)(?n)?(mn?)2?0 44224131故准线x?与圆相离或相切，又圆半径为，圆与准线相切时，即mn?时，点M到y轴的最 4243155m2?n2短距离是?，即点M横坐标的最小值为 24442m?n1m2?n2mn51222点M的纵坐标 ?m?n?2mn?2242882所以点
7、M的坐标为(,5252) )或(,?4242说明：利用几何法的前提是对曲线的概念和性质有充分的理解，并对题设条件具有相当的迁移才能。 例题3：在半径为R的圆O中，AB?2R，点P为?AB上一动点，过点P作AB的垂线交AB于点Q，求APQ的面积最大值。 分析：通过建立函数关系式，利用函数求最解法一： 如图，以圆心O为坐标原点，过O平行于AB的角坐标系。 由于AOB为等腰直角三角形，所以A坐标设P点坐标(Rcos?,Rsin?)，?(45?,135?) ?S?APQ?122121Rcos?R?Rsin?R?R2sin?cos?(cos?sin?)?222222值的方法解决问题 直线为x轴建立平面直
8、 为(?22R,R) 22 12122112112R?(cos?sin?)?R?R2224248122?S?R ?0，即?75?时?APQ?max?82当cos?sin? 解法二： 如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立由于AOB为等腰直角三角形，所以圆心O坐标为圆方程为(x?2222R)?(y?R)?R222，即 平面直角坐标系。 (22R,?R)， 22x2?y2?2Rx?2Ry?0 12R(x?y) ?(x?y)2?2xy?2R(x?y)?0 ?xy?(x?y)2?22设P点坐标(x,y)，那么点P的坐标得志上式， ?S?APQ?112xy?(x?y)2?R(x?y) 244122?S?R R时，?APQ?max?82?0?x?y?2R ?当x?y?说明：通过以上两种解法可见，不同的坐标系的建立方法对解题模式的影响是巨大的，虽然解法二也可用参数方程，但鲜明计算很繁杂。并且以上两种解法均混合运用了二次函数、参数方程、几何法等多种解题方法。所以，在解题时我们应综合分析题意，就能选择出恰当的角度和方法来解决问题。 6
