题型六二次函数与几何图形综合题类型一二次函数与图形判定1( 2017陕西) 在同一直角坐标系中，抛物线C1：yax22x3 与抛物线 C2：yx2mx n 关于 y 轴对称， C2与 x 轴交于 A、B两点，其中点 A在点 B的左侧(1) 求抛物线 C1，C2的函数表达式；(2) 求 A、B两点的坐标；(3) 在抛物线 C1上是否存在一点 P， 在抛物线 C2上是否存在一点 Q ，使得以 AB为边，且以 A、B、P、 Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由. 2( 2017随州) 在平面直角坐标系中，我们定义直线yaxa为抛物线 yax2bxc(a 、b、c 为常数， a0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形” 已知抛物线y233x24 33x23与其“梦想直线”交于A、B两点(点 A在点 B的左侧 )，与 x 轴负半轴交于点C. (1) 填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为_，点 A的坐标为 _，点 B的坐标为 _；(2) 如图，点 M为线段 CB上一动点， 将ACM 以 AM所在直线为对称轴翻折，点 C的对称点为 N， 若AMN 为该抛物线的“梦想三角形”，求点 N的坐标；(3) 当点 E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在， 请直接写出点 E、 F的坐标；若不存在，请说明理由(2017许昌模拟 )已知：如图，抛物线yax22axc(a0)与y 轴交于点 C(0，4) ，与 x 轴交于点 A、B，点 A的坐标为 (4，0)(1) 求该抛物线的解析式；(2) 点 Q是线段 AB上的动点， 过点 Q作 QE AC ，交 BC于点 E，连接 CQ.当CQE 的面积最大时，求点Q的坐标；(3) 若平行于 x 轴的动直线 l 与该抛物线交于点P，与直线 AC交于点 F，点 D的坐标为 (2，0) 问：是否存在这样的直线l ，使得ODF是等腰三角形？若存在， 请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由 . 4( 2016河南) 如图，直线 y43xn 交 x 轴于点 A，交 y轴于点 C(0，4)，抛物线 y23x2bxc 经过点 A，交 y 轴于点 B(0，2)点 P为抛物线上一个动点，过点P作 x 轴的垂线 PD ，过点 B作BD PD于点 D，连接 PB ，设点 P的横坐标为 m. (1) 求抛物线的解析式；(2) 当BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；(3) 如图，将 BDP绕点 B 逆时针旋转，得到 BD P，且旋转角PBP OAC ，当点 P 的对应点 P落在坐标轴上时，请直接写出点 P的坐标 . 类型二二次函数与图形面积1( 2017盐城) 如图，在平面直角坐标系中，直线y12x2 与x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，抛物线 y12x2bxc 经过 A、C两点，与 x 轴的另一交点为点B. (1) 求抛物线的函数表达式；(2) 点 D为直线 AC上方抛物线上一动点；连接 BC 、CD ，设直线 BD交线段 AC于点 E，CDE 的面积为 S1，BCE的面积为 S2，求S1S2的最大值；过点 D作 DF AC ，垂足为点 F，连接 CD ，是否存在点 D ，使得CDF中的某个角恰好等于 BAC的 2 倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由2(2017安顺)如图甲，直线 yx3 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、点 C，经过 B、C两点的抛物线 yx2bxc 与 x 轴的另一个交点为 A，顶点为 P. (1) 求该抛物线的解析式；(2) 在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以 C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 当 0 x3 时，在抛物线上求一点E，使CBE的面积有最大值(图乙、丙供画图探究 ). 3(2017周口模拟 )如图，抛物线 yax2bx3 与 x 轴交于点A(1，0)和点 B，与 y 轴交于点 C，且其对称轴 l 为 x1，点 P是抛物线上 B，C之间的一个动点 (点 P不与点 B，C重合)(1) 直接写出抛物线的解析式；(2) 小唐探究点 P的位置时发现：当动点 N在对称轴 l 上时，存在PB NB ，且 PB NB的关系，请求出点P的坐标；(3) 是否存在点 P使得四边形 PBAC 的面积最大？若存在，请求出四边形 PBAC 面积的最大值；若不存在，请说明理由. 4(2017濮阳模拟 )如图，已知抛物线 yax2bx3 的对称轴为 x1，与 x 轴分别交于 A、B两点，与 y 轴交于点 C，一次函数 yx1 经过 A，且与 y 轴交于点 D. (1) 求该抛物线的解析式(2) 如图，点 P为抛物线 B、 C两点间部分上的任意一点( 不含 B，C两点)，设点 P的横坐标为 t ，设四边形 DCPB 的面积为 S，求出 S与t 的函数关系式，并确定t 为何值时， S取最大值？最大值是多少？(3) 如图，将 ODB 沿直线 yx1 平移得到 O DB，设O B与抛物线交于点E，连接 ED ，若 ED 恰好将 O DB的面积分为 12 两部分，请直接写出此时平移的距离类型三二次函数与线段问题1( 2017南宁) 如图，已知抛物线yax223ax9a 与坐标轴交于 A，B，C三点，其中 C(0，3)，BAC的平分线 AE交 y 轴于点D，交 BC于点 E，过点 D的直线 l 与射线 AC ，AB分别交于点 M ，N. (1) 直接写出 a 的值、点 A的坐标及抛物线的对称轴；(2) 点 P为抛物线的对称轴上一动点，若PAD为等腰三角形， 求出点 P的坐标；(3) 证明：当直线 l 绕点 D旋转时，1AM1AN均为定值，并求出该定值2( 2017焦作模拟 ) 如图，直线 y34xm与 x 轴、y 轴分别交于点 A和点 B(0，1)，抛物线 y12x2bxc 经过点 B，点 C的横坐标为 4. (1) 请直接写出抛物线的解析式；(2) 如图，点 D在抛物线上， DE y 轴交直线 AB于点 E，且四边形 DFEG 为矩形，设点 D的横坐标为 x(0 x4) ，矩形 DFEG 的周长为l ，求 l 与 x 的函数关系式以及l 的最大值；(3) 将AOB 绕平面内某点 M旋转 90或 180，得到A1O1B1， 点A、O 、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转 180时点 A1的横坐标 . 3( 2017武汉) 已知点 A(1，1) ，B(4，6) 在抛物线 yax2bx 上(1) 求抛物线的解析式；(2) 如图，点 F 的坐标为 (0 ，m)(m2) ，直线 AF交抛物线于另一点 G ，过点 G作 x 轴的垂线，垂足为H.设抛物线与 x 轴的正半轴交于点 E，连接 FH 、AE ，求证： FH AE ；(3) 如图，直线 AB分别交 x 轴、y 轴于 C、D两点点 P从点 C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒2个单位长度；同时点Q从原点 O出发， 沿 x 轴正方向匀速运动，速度为每秒 1 个单位长度点M是直线 PQ与抛物线的一个交点，当运动到t 秒时， QM 2PM ，直接写出 t 的值. 类型四二次函数与三角形相似1(2016南宁)如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为 A(1，1)，且与直线 yx2 交于 B，C两点(1) 求抛物线的解析式及点C的坐标；(2) 求证： ABC是直角三角形；(3) 若点 N为 x 轴上的一个动点，过点 N作 MN x轴与抛物线交于点 M ，则是否存在以 O ，M ，N为顶点的三角形与 ABC相似？若存在，请求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由. 2( 2017平顶山模拟 ) 如图，抛物线 yax2bx1 与直线 yaxc 相交于坐标轴上点A(3，0)，C(0，1)两点(1) 直线的表达式为 _；抛物线的表达式为 _；(2)D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直 x 轴于点 E，交直线 AC于点 F，求线段 DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3)P 为抛物线上一动点， 且 P在第四象限内， 过点 P作 PN垂直 x轴于点 N，使得以 P、A、N为顶点的三角形与 ACO 相似，请直接写出点 P的坐标 . 3如图，二次函数yax2bx3 3经过 A(3，0) ，G(1，0) 两点(1) 求这个二次函数的解析式；(2) 若点 M是抛物线在第一象限图象上的一点，求ABM 面积的最大值；(3) 抛物线的对称轴交x 轴于点 P，过点 E(0，233) 作 x 轴的平行线，交 AB于点 F，是否存在着点Q ，使得 FEQ BEP ？若存在，请直接写出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由. 4(2017海南)抛物线 yax2bx3 经过点 A(1，0)和点 B(5，0) (1) 求该抛物线所对应的函数解析式；(2) 该抛物线与直线 y错误 !x3 相交于 C、D两点，点 P是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM y轴，分别与 x 轴和直线 CD交于点 M 、N. 连接 PC 、PD ，如图，在点P运动过程中， PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；连接 PB ，过点 C作 CQ PM ，垂足为点 Q ，如图，是否存在点P，使得 CNQ 与PB M相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由 . 题型六第 23 题二次函数与几何图形综合题类型一二次函数与图形判定1解：(1) C1、C2关于 y 轴对称，C1与 C2的交点一定在 y 轴上，且 C1与 C2的形状、大小均相同，a1，n3，C1的对称轴为 x1，C2的对称轴为 x1，m 2，C1的函数表示式为yx22x3，C2的函数表达式为yx22x3；(2) 在 C2的函数表达式为yx22x3 中，令 y0 可得 x22x30，解得 x3 或 x1，A(3，0)，B(1，0)；(3) 存在设 P(a，b)，则 Q(a4，b)或(a4，b) ，当 Q(a4，b)时，得：a22a3(a 4)22(a4) 3，解得 a2，ba22a34435，P1(2，5) ，Q1(2，5)当 Q(a4，b)时，得：a22a3(a 4)22(a4) 3，解得 a2. b4433，P2(2，3) ，Q2(2，3) 综上所述，所求点的坐标为P1(2，5)，Q1(2，5)；P2(2 ，3)，Q2(2，3). 2解：(1) 抛物线 y233x2433x23，其梦想直线的解析式为y2 33x233，联立梦想直线与抛物线解析式可得y2 33x233y233x2433x23，解得x2y23或x1y0，A(2，23)，B(1，0)；(2) 当点 N在 y 轴上时， AMN 为梦想三角形，如解图，过 A作 AD y 轴于点 D，则 AD 2，在 y2 33x2433x23中，令 y0 可求得 x3 或 x1，C(3，0)，且 A(2，23) ，AC （23）2（23）213，由翻折的性质可知AN AC 13，在RtAND 中，由勾股定理可得DN AN2AD21343，OD 23，ON 233 或 ON 2 33，当 ON 233 时，则 MN OD CM ，与 MN CM 矛盾，不合题意，N点坐标为 (0，233) ；当 M点在 y 轴上时，则 M与 O重合，过 N作 NP x 轴于点 P，如解图，在RtAMD中，AD 2，OD 23，tanDAM MDAD3，DAM 60，AD x 轴， AMC DAM 60，又由折叠可知 NMA AMC 60，NMP 60，且 MN CM 3，MP 12MN 32，NP 32MN 3 32，此时 N点坐标为 (32，332) ；综上可知 N点坐标为 (0，233) 或(32，332) ；。
