《数学模型-第02章(第五版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学模型-第02章(第五版)（100页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、研究对象的机理比较简单研究对象的机理比较简单用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的可以利用初等数学方法来构造和求解模型可以利用初等数学方法来构造和求解模型尽量采用简单的数学工具来建模尽量采用简单的数学工具来建模如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎. 第二章 初等模型 第二章 初等模型2.1双层双层玻璃窗的功效玻璃窗的功效2.2划艇划艇比赛的比赛的成绩成绩2.3实物交换实物交换2.4汽车汽车刹车距离与道路通行能力刹车距离与道路通
2、行能力2.5估计估计出租车的出租车的总数总数2.6评选评选举重总举重总冠军冠军2.7解读解读CPI2.8核军备竞赛核军备竞赛2.9扬帆远航扬帆远航2.10节水节水洗衣机洗衣机2d墙墙室室内内T1室室外外T2dd墙墙l室室内内T1室室外外T2问问题题双层玻璃窗与同样多材料的单层双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失玻璃窗相比，减少多少热量损失.假假设设热量传播只有传导，没有对流热量传播只有传导，没有对流.T1,T2不变，热传导过程处于稳态不变，热传导过程处于稳态.材料均匀，热传导系数为常数材料均匀，热传导系数为常数.建建模模热传导定律热传导定律Q1Q2Q单位时间单位面积传导的热
3、量单位时间单位面积传导的热量 T温差温差,d材料厚度材料厚度,k热传导系数热传导系数2.1双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效双层双层单单层层dd墙墙l室室内内T1室室外外T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta内层玻璃的外侧温度内层玻璃的外侧温度Tb外层玻璃的内侧温度外层玻璃的内侧温度k1玻璃的热传导系数玻璃的热传导系数k2空气空气的热传导系数的热传导系数建模建模记单层玻璃窗传导的热量记单层玻璃窗传导的热量Q22d墙墙室室内内T1室室外外T2Q2双层与单层窗传导的热量之比双层与单层窗传导的热量之比k1=48 10-3(J/cmskwh),k2=2.5 10-4,k1/
4、k2=1632对对Q1比比Q2的减少量的减少量作最保守的估计，作最保守的估计，取取k1/k2=16建模建模hQ1/Q242O0.060.030.026模型应用模型应用取取h=l/d=4,则则Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多材即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可料的单层玻璃窗相比，可减少减少97%的热量损失的热量损失.结果分析结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气的热传导系所以如此小，是由于层间空气的热传导系数数k2 2极低极低, , 而这要求空气非常干燥、不流通而这要求空气非常干燥、不流通. .房间通过天花板、墙壁、房间通过天花板、墙壁、损失的热量更多损失的热量更多.实际
5、上双层窗的功效不会如此之大实际上双层窗的功效不会如此之大!2.2划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩赛艇赛艇2000m成绩成绩t(min)种类种类1234平均平均单人单人7.167.257.287.177.21双人双人6.876.926.956.776.88四人四人6.336.426.486.136.32八人八人5.875.925.825.735.84空艇重空艇重w0(kg)桨桨手数手数n16.313.618.114.7对四种赛艇对四种赛艇(单人、双人、四人、八人单人、双人、四人、八人)4次国际次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨桨手数有某手数有某种关系种关系.试建立数
6、学模型揭示这种关系试建立数学模型揭示这种关系.问问题题准准备备调查赛艇的尺寸和质量调查赛艇的尺寸和质量l /b,w0/n基本不变基本不变艇长艇长l 艇宽艇宽b l/b(m)(m)7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0问题分析问题分析前进阻力前进阻力浸没部分与水的摩擦力浸没部分与水的摩擦力前进动力前进动力桨手的划桨功率桨手的划桨功率分析赛艇速度与桨手数量之间的关系分析赛艇速度与桨手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定赛艇速度由前进动力和前进阻力决定:划桨划桨功率功率赛艇赛艇速度速度赛艇赛艇速度速度前进前进动力动力前进
7、前进阻力阻力桨手桨手数量数量艇艇重重浸没浸没面积面积 对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定. . 运用合适的物理定律建立模型运用合适的物理定律建立模型. .模型假设模型假设1）艇形状相同）艇形状相同(l/b为常数为常数),w0与与n成正成正比比2）v是常数，阻力是常数，阻力f与与sv2成正比成正比符号：艇速符号：艇速v,浸没面积浸没面积 s,浸没体积浸没体积A,空艇重空艇重w0,阻力阻力f,桨手数桨手数n,桨手功率桨手功率 p,桨手体重桨手体重 w,艇重艇重W.艇的静态特性艇的静态特性艇的动态特性艇的动态特性3）w相同，相同，p不变，不变，p
8、与与w成正比成正比桨手的特征桨手的特征模型模型建立建立f sv2,pwv(n/s)1/3s1/2A1/3, AW(=w0+nw)n sn2/3vn1/9比赛成绩比赛成绩 tn1/9np fv,模型检验模型检验nt17.2126.8846.3285.84线性最小二乘法线性最小二乘法利用利用4次国际大赛冠军的平均次国际大赛冠军的平均成绩对模型成绩对模型 tn1/9进行检验进行检验.与模型吻合！与模型吻合！tn12487.216.886.325.84O划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩对实际数据做比较、分析，发现并提出问题对实际数据做比较、分析，发现并提出问题.利用物理基本知识分析问题利用物理基本知识分析
9、问题.模型假设比较粗糙模型假设比较粗糙.利用合适的物理定律及简单的比例利用合适的物理定律及简单的比例方法建模方法建模(只考虑各种艇的相对速度只考虑各种艇的相对速度).模型结果与实际数据十分吻合模型结果与实际数据十分吻合(巧合！巧合！)问问题题甲有物品甲有物品X,乙有物品乙有物品Y,双方为满足更高的需要，双方为满足更高的需要，商定商定相互交换相互交换一部分一部分.研究实物交换方案研究实物交换方案.yxp.用用x,y分别表示分别表示甲甲,乙占有乙占有X,Y的数量的数量.设交换前甲占设交换前甲占有有X的数量为的数量为x0,乙占有乙占有Y的的数量为数量为y0,作图：作图：若不考虑双方对若不考虑双方对X
10、,Y的偏爱，则矩形内任一点的偏爱，则矩形内任一点p(x,y)都是一种都是一种交换方案交换方案：甲占有：甲占有(x,y)，乙占有，乙占有(x0-x, y0-y).xyy0Ox02.3实物交换实物交换xyy0y1y2Ox1x2x0p1p2.甲的无差别曲线甲的无差别曲线分析与建模分析与建模如果甲占有如果甲占有(x1,y1)与占有与占有(x2,y2)具有具有同样的满意同样的满意程度程度,即即p1,p2对甲是对甲是无差别无差别的的.MN将将所有与所有与p1,p2无差别的点无差别的点连接起来连接起来,得到一条得到一条无差别无差别曲线曲线MN.线上各点的满意度相同线上各点的满意度相同,线的形状反映对线的形状
11、反映对X,Y的偏爱程度的偏爱程度.N1M1p3(x3,y3).比比MN各点满意度更高的点如各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲，在另一条无差别曲线线M1N1上上,于是形成于是形成一族无差别曲线一族无差别曲线（无数条）（无数条）.p1.p2.c1 yOxf(x,y)=c1无差别曲线族的性质：无差别曲线族的性质：单调减单调减(x增加增加,y减小减小)下凸下凸(凸向原点凸向原点)互不相交互不相交在在p1点占有点占有x少、少、y多，多，宁愿以较多的宁愿以较多的 y换取换取较少的较少的 x;在在p2点占有点占有y少、少、x多，多，就要以较多的就要以较多的 x换取换取较少的较少的 y.甲的无差别曲线
12、族记作甲的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c1满意度满意度（f 等满意度曲线）等满意度曲线）甲的无差别曲线甲的无差别曲线xyOg(x,y)=c2c2 乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族g(x,y)=c2具有具有相同性质（形状可以不同）相同性质（形状可以不同）. 双方的交换路径双方的交换路径xyy0Ox0f=c1Oxyg=c2乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族g=c2(坐标系坐标系xOy,且反向）且反向）甲的无差别曲线族甲的无差别曲线族f=c1ABpP双方满意的交换方案必双方满意的交换方案必在在AB（交换路径）上（交换路径）上! !因为在因为在AB外的任一点外的任一点p,(双方双方)满意度低于满意
13、度低于AB上的点上的点p.两族曲线切点连线记作两族曲线切点连线记作AB分析与建模分析与建模AB 交换方案的进一步确定交换方案的进一步确定交换方案交换方案交换后甲的占有量交换后甲的占有量(x,y)0 x x0,0 y y0矩形内矩形内任一点任一点交换路交换路径径AB双方的无差别曲线族双方的无差别曲线族X,Y用货币衡量其价值，设用货币衡量其价值，设交换前交换前x0,y0价值相同，则等价值相同，则等价交换原则下交换路径为价交换原则下交换路径为CD(x0,0),(0,y0)两点的连线两点的连线CD.AB与与CD的交点的交点p设设X单价单价a,Y单价单价b,则等价交换下则等价交换下ax+by=s (s=
14、ax0=by0)等价交等价交换原则换原则x0yy0O.xp.2.4汽车汽车刹车距离与道路通行刹车距离与道路通行能力能力提高提高道路通行能力道路通行能力是是现代现代城市交通面临城市交通面临的重要的重要课题课题.背景和问题背景和问题车辆速度越高、密度越大，道路通行车辆速度越高、密度越大，道路通行能力越大能力越大.介绍交通流的主要参数及基本介绍交通流的主要参数及基本规律；规律；讨论汽车刹车距离与道路通行能力两个模型讨论汽车刹车距离与道路通行能力两个模型.车速高，车速高，刹车刹车距离变距离变大，车辆密度将受到大，车辆密度将受到制约制约.需要需要对影响通行能力的因素进行综合对影响通行能力的因素进行综合分
15、析分析.交通流的主要参数及基本规律交通流的主要参数及基本规律流量流量q某时刻单位时间内通过道路某断面的车辆数某时刻单位时间内通过道路某断面的车辆数(辆辆/h)密度密度k某时刻通过道路某断面单位长度内的车辆数某时刻通过道路某断面单位长度内的车辆数(辆辆/km)速度速度v 某时刻通过道路某断面的车辆速度某时刻通过道路某断面的车辆速度(km/h)交通流交通流标准长度的小型汽车在单方向道路上行驶形标准长度的小型汽车在单方向道路上行驶形成的车流，没有外界因素如岔路、信号灯等的影响成的车流，没有外界因素如岔路、信号灯等的影响.借用物理学概念借用物理学概念,将交通流看作一辆辆汽车组成的连续将交通流看作一辆辆
16、汽车组成的连续流体流体,用用流量、速度、密度流量、速度、密度3个参数描述其基本特性个参数描述其基本特性.3个参数之间的基本关系个参数之间的基本关系速度速度v 与与密度密度k 的关系的关系vf 畅行车速畅行车速(k=0时时)kj阻塞密度阻塞密度(v=0时时)数据分析、机理分析数据分析、机理分析流量流量q与与密度密度k 的关系的关系车速车速v=vf /2时时流量流量q最大最大密度密度k变大变大，流量流量q增加增加；k=kj/2时时q最大最大；k继续变大继续变大， q减小减小.车流密度加大车流密度加大司机被迫减速司机被迫减速交通流的主要参数及基本规律交通流的主要参数及基本规律线性模型线性模型抛抛物物线线流量流量q与与速度速度v的的关系关系速度速度v流量流量qvmvmkmkmqmqmvfvfkjkj000密度密度k 流量流量qkm=kj/2 最大流量时的密度最大流量时的密度vm=vf/2 最大流量时的速度最大流量时的速度交通流的主要参数及基本规律交通流的主要参数及基本规律车速车速越越快刹车快刹车距离越距离越长长.刹车刹车距离距离从从司机决定刹车到车完全司机决定刹车到车完全停止行驶停止行驶的的距
