本文格式为Word版，下载可任意编辑离散数学课后习题答案第四章 第十章片面课后习题参考答案 4．判断以下集合对所给的二元运算是否封闭： （1） 整数集合Z和普遍的减法运算 封闭,不得志交换律和结合律，无零元和单位元 （2） 非零整数集合 普遍的除法运算不封闭 （R）和矩阵加法及乘法运算，其中n2 （3） 全体n?n实矩阵集合 封闭 均得志交换律，结合律，乘法对加法得志调配律； 加法单位元是零矩阵，无零元； 乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵； （4）全体n?n实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n2不封闭 （5）正实数集合 和运算，其中运算定义为： 不封闭 由于 1?1?1?1?1?1??1?R? （6）n关于普遍的加法和乘法运算 封闭，均得志交换律，结合律，乘法对加法得志调配律 加法单位元是0，无零元； 乘法无单位元（n?1），零元是0；n?1单位元是1 （7）A = {a1,a2,?,an} n 运算定义如下： 封闭 不得志交换律，得志结合律， （8）S = 关于普遍的加法和乘法运算。
封闭 均得志交换律，结合律，乘法对加法得志调配律 （9）S = {0,1},S是关于普遍的加法和乘法运算 加法不封闭，乘法封闭；乘法得志交换律，结合律 （10）S = ,S关于普遍的加法和乘法运算 加法不封闭，乘法封闭，乘法得志交换律，结合律 5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，调配律 见上题 7．设 * 为Z?上的二元运算?x,y?Z?， X * Y = min ( x，y ),即x和y之中较小的数. (1)求4 * 6，7 * 3 4, 3 1 (2)* 在Z上是否适合交换律，结合律，和幂等律？ 得志交换律，结合律，和幂等律 (3)求*运算的单位元，零元及Z?中全体可逆元素的逆元 单位元无，零元1, 全体元素无逆元 8．S?Q?Q Q为有理数集，*为S上的二元运算，,S有 * = （1）*运算在S上是否可交换，可结合？是否为幂等的？ 不成交换：*= ?* 可结合：(*)*=*= *(*)=*= (*)*=*(*) 不是幂等的 （2）*运算是否有单位元，零元？ 假设有请指出，并求S中全体可逆元素的逆元。
设是单位元，S ，*= *= 那么==，解的=，即为单位 设是零元，S ，*= *= 那么==，无解即无零元 S，设是它的逆元*= *= == a=1/x,b=-y/x 所以当x?0时，?x,y??1?1y,? xx? 10．令S={a，b}，S上有四个运算：*， 分别有表10.8确定 (a) (b) (c) (d) (1)这4个运算中哪些运算得志交换律，结合律，幂等律？ (a) 交换律，结合律，幂等律都得志， 零元为a,没有单位元； (b)得志交换律和结合律，不得志幂等律，单位元为a,没有零元 a?1?a,b?1?b 2 (c)得志交换律,不得志幂等律,不得志结合律 a?(b?b)?a?a?b, a?(b?b)?(a?b)?b 没有单位元, 没有零元 (d) 不得志交换律，得志结合律和幂等律 没有单位元, 没有零元 (2)求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。
见上 (a?b)?b?a?b?a 16．设V=〈 N，+ ，〉，其中+ ，分别代表普遍加法与乘法，对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数，为什么？ （1）S1=（2）S2= 是 不是 加法不封闭 （3）S3 = {-1，0，1} 不是，加法不封闭 第十一章片面课后习题参考答案 8.设S={0，1，2，3}， 为模4乘法，即 y=(xy)mod 4 \?x,y∈S, x 问〈S， 〉是否构成群？为什么？ y=(xy)mod 4?S, 是S上的代数运算 解：(1) ?x,y∈S, x (2) ?x,y,z∈S,设xy=4k+r 0?r?3 (x y) z =((xy)mod 4) z=r z=(rz)mod 4 =(4kz+rz)mod 4=((4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4 同理x (y z) =(xyz)mod 4 y) z = x1)=(1 (y z)，结合律成立 所以，(x(3) ?x∈S, (x x)=x,，所以1是单位元。
(4)1?1?1,3?1?3, 0和2没有逆元 所以，〈S， 9.设Z为整数集合，在Z上定义二元运算如下： \?x,y∈Z,xoy= x+y-2 问Z关于o运算能否构成群？为什么？ 3 〉不构成群 解：(1) ?x,y∈Z, xoy= x+y-2?Z,o是Z上的代数运算 (2) ?x,y,z∈Z, (xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 同理(xoy)oz= xo(yoz)，结合律成立 (3)设e是单位元，?x∈Z, xoe= eox=x,即x+e-2= e+x-2=x, e=2 (4) ?x∈Z , 设x的逆元是y, xoy= yox=e, 即x+y-2=y+x-2=2, 所以，x?1?y?4?x 所以〈Z，o〉构成群 ??10??10?11.设G=???01??,??0?1??,???????10???10????01??,??0?1???，证明G关于矩阵乘法构成一个群． ?????解：(1) ?x,y∈G, 易知xy∈G,乘法是Z上的代数运算。
(2) 矩阵乘法得志结合律 ?10?(3)设??01??是单位元， ??(4)每个矩阵的逆元都是自己 所以G关于矩阵乘法构成一个群． 14.设G为群，且存在a∈G,使得 G={ak∣k∈Z} 证明：G是交换群 证明:?x,y∈G，设x?ak,y?al，那么 xy?akal?ak?l??al?k?alak?yx 所以，G是交换群 17.设G为群，证明e为G中唯一的幂等元 22?e0，即e0?e0e，由消去律知e0?e 证明:设e0?G也是幂等元，那么e0 18.设G为群，a,b,c∈G,证明 ∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣ 证明：先证设(abc)k?e?(bca)k?e 设(abc)k?e,那么(abc)(abc)(abc)?(abc)?e， 4 bc)(abc)?a(bc)aa?1?e 即 a(bc)(a左边同乘a?1，右边同乘a得 (bca)(bca)(bca)?(bca)?(bac)k?a?1ea?e 反过来，设(bac)?e,那么(abc)?e. kk由元素阶的定义知，∣abc∣=∣bca∣，同理∣bca∣=∣cab∣ 19.证明：偶数阶群G必含2阶元。
证明：设群G不含2阶元，?a?G，当a?e时，a是一阶元，当a?e时，a至少是3阶元,由于群G时有限阶的，所以a是有限阶的，设a是k阶的,那么a?1也是k阶的，所以高于3阶的元成对展现的，G不含2阶元，G含唯一的1阶元e,这与群G是偶数阶的冲突所以，偶数阶群G必含2阶元 20.设G为非Abel群，证明G中存在非单位元a和b,a≠b,且ab=ba. 证明：先证明G含至少含3阶元 若G只含1阶元,那么G={e},G为Abel群冲突； 若G除了1阶元e外,其余元a均为2阶元，那么a2?e，a?1?a ?a,b?G,a?1?a,b?1?b,(ab)?1?ab,所以ab?a?1b?1?(ba)?1?ba， 与G为Abel群冲突； 所以，G含至少含一个3阶元，设为a，那么a?a2，且a2a?aa2 令b?a2的证 21.设G是Mn(R)上的加法群，n≥2，判断下述子集是否构成子群 （1）全体对称矩阵 是子群 （2）全体对角矩阵 是子群 （3）全体行列式大于等于0的矩阵. 不是子群 （4）全体上（下）三角矩阵 是子群 22.设G为群，a是G中给定元素，a的正规化子N（a）表示G中与a可交换的元素构成的集合，即 N（a）={x∣x∈G∧xa=ax} 证明N（a）构成G的子群。
证明：ea=ae,e?N(a)?? ?x,y?N(a),那么ax?xa,ay?ya a(xy)?(ax)y?(xa)y?x(ay)?x(ya)?(xy)a,所以xy?N(a) 由ax?xa，得x?1axx?1?x?1xax?1,x?1ae?eax?1，即x?1a?ax?1，所以x?1?N(a) 5 所以N（a）构成G的子群 31.设?1是群G1到G2的同态，?2是G2到G3的同态，证明?1??2是G1到G3的同态 证明：有已知?1是G1到G2的函数，?2是G2到G3的函数，那么?1·?2是G1到G3的函数 ?a,b?G1,(?1??2)(ab)??2(?1(ab))??2(?1(a)?1(b)) ?(?2(?1(a)))(?2(?1(b)))?(?1??2)(a)(?1??2)(b) 所以:?1·?2是G1到G3的同态 33.证明循环群确定是阿贝尔群，说明阿贝尔群是否确定为循环群，并证明你的结论 证明：设G是循环群,令G=,?x,y?G,令x?ak,y?al,那么 xy?akal?ak?l?al?k?alak?yx,G是阿贝尔群 克莱因四元群,G?{e,a,b,c} ?eeabeabecccaabbccb eacbae是交换群,但不是循环群,由于e是一阶元，a,b,c是二阶元。
36.设?,?是5元置换，且 ?12345??12345?????21453??，????34512?? ????(1)计算??,??,??1,??1,??1??； (2)将??,??1,??1??表成不交的轮换之积 (3)将（2）中的置换表示成对换之积，并说明哪些为奇置换，哪些为偶置换 ?12345??12345??1?12345???解：(1) ???? ????45321??43125?? ????45123?? ????????1?12345??12345。