本文格式为Word版，下载可任意编辑离散数学第二版邓辉文编著第一章第一节习题答案 第1章 集合、映射与运算 1.1 集合的有关概念 习题1.1 1.用列举法表示以下集合: (1){x|x?R,x2?5x?6?0}. (2){2x|x?N}. 解 (1) {x|x?R,x2?5x?6?0}?{2,3}. (2) {2x|x?N}?{0,2,4,6,...,2x,...}. 2. 写出35的全体因数集合及D35. 解 35的全体因数集合为{-35, -7, -5, -1, 1, 5, 7, 35}，D35 = {1, 5, 7, 35}. 3.对比集合?,{?}和{{?}}的不同之处. 解 ?是空集，它里面没有元素; {?}是由空集?组成的集合，它里面有一个元素?; {{?}}里面有一个元素为{?}，但{?}与?是不同的. 4.判定以下断言是否成立，说明理由: (1) ???. (2) ???. (3) ??{?}. (4) ??{?}. 解 (1)成立，由于空集是任意集合的子集. (2)不成立，由于空集中不含任意元素. (3)成立，由于空集是任意集合的子集. (4)成立，由于{?}含有元素?. 5.设A和B是集合，试举出访A?B且A?B同时成立的例子. 解 例如A?{a,b}，B?{a,b,{a,b},c}，这时A?B且A?B同时成立. 6.对于任意集合A,B,C，判定以下断言是否成立，说明理由: (1)若A?B且B?C，那么A?C. (2)若A?B且B?C，那么A?C. (3)若A?B且B?C，那么A?C. (4)若A?B且B?C，那么A?C. 解 (1)不成立. 例如，A?{a,b}，B?{a,b,c}，C?{a,b,{a,b},{a,b,c}}，这时有A?B且B?C，而A?C. (2)不成立. 例如，A?{a,b}，B?{a,b,c}，C?{b,{a,b},{a,b,c}}，这时有 A?B且B?C，而A?C不成立. (3)不成立. 例如，A?{a,b}，B?{{a,b},c}，C?{b,{{a,b},c},{a,b,c}}， 这时有A?B且B?C，而A?C. (4)不成立. 例如，A?{a,b}，B?{{a,b},c}，C?{b,{{a,b},c},{a,b,c}}，这时有A?B且B?C，而A?C不成立. 7.分别计算 (1)P(P(?)). (2)P({a, b, c}). (3)P({{a,b,c}}). 解 (1)由于P(?) = {?}，所以P(P(?)) = {?，{?}}. (2) P({a, b, c}) = {?, {a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}. (3)P({{a,b,c}}) = {?, {{a,b,c}}}}. 8.试用乘法原理证明定理1-4. 证 设S?{x1,x2,...,xn}，对于S的任意子集A，S中的元素x1可以属于A，也可以不属于A，有2种选取方式；同样，在元素x1定下来以后，在考虑S中的元素x2，它可以属于A，也可以不属于A，有2种选取方式；…；一向下去，对于S中的结果一个元素xn，它可以属于A，也可以不属于A，有2种选取方式. 于 n?????是，根据乘法原理知，S的子集共有2?2?...?2?2n个. 9.证明定理1-5. 证 根据笛卡尔积的定义知，A?B?{(x,y)|x?A,y?B}. 由于这样的有序对(x,y)的第一位置元素x?A有m种选取方式，其次位置元素y?B有n种选取方式，因此根据乘法原理，A?B中的有序对共有mn个，所以|A?B|?mn. 10.设A?{a,b},B?{1,2,3}，试计算 A?A,A?B,B?A,A?B?A,(A?B)?A. 解 计算结果分别为 A?A?{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}. A?B?{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}. B?A?{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}. A?B?A?{(a,1,a),(a,1,b),(a,2,a),(a,2,b),(a,3,a),(a,3,b), {(b,1,a),(b,1,b),(b,2,a),(b,2,b),(b,3,a),(b,3,b)}. (A?B)?A?{((a,1),a),((a,1),b),((a,2),a),((a,2),b),((a,3),a),((a,3),b), {((b,1),a),((b,1),b),((b,2),a),((b,2),b),((b,3),a),((b,3),b)}. 11.对于任意集合A,B,C，由A?B?A?C能否得出B?C，为什么？ 若 A??? C?{c,d}，解 若A??，取B?{a,b}，根据笛卡尔积的定义知A?B?? 且A?C??，这时A?B?A?C，但B?C. 若A??，那么存在元素a?A，这时由A?B?A?C可以得出B?C: 对于任意x?B，由于(a,x)?A?B，所以(a,x)?A?C，根据笛卡尔积的定义知 x?C，即有B?C. 同理可得C?B. 故B?C. 12.设|S|?n，给出一种列出S的全体子集的方法. 解 设S?{x1,x2,...,xn}，将S的全体子集A用长度为n的0，1字符串表示，其中字符串的第i位取1的充要条件是xi?A. 于是，可以按从小到大的依次列出全体长度为n的0，1字符串，再写出对应的子集，就可以将S的全体子集A列举出来. 注 此方法可用计算机实现. — 4 —。