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1、2 2. .8 8函数与方程函数与方程-2-3-知识梳理考点自测1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x)(xD),把使成立的实数x叫做函数y=f(x)(xD)的零点.(2)与函数零点有关的等价关系方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与有交点函数y=f(x)有.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)f(x)=0 x轴 零点 连续不断的 f(a)f(b)0)的图象与零点的关系(x1,0),(x2,0) (x1,0) 210-5-知识梳理考点自测3.二分法函数y=f(x)的图象在区间a,b上连续不断,且,通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间,使区间的两个端点逐步逼近,进而
2、得到零点近似值的方法叫做二分法.f(a)f(b)0 一分为二 零点 -6-知识梳理考点自测-7-知识梳理考点自测1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0). ()(2)二次函数y=ax2+bx+c(a0)在b2-4ac0时没有零点. ()(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值. ()(4)已知函数f(x)在(a,b)内图象连续且单调,若f(a)f(b)0,则函数f(x)在a,b上有且只有一个零点. ()(5)函数y=2sin x-1的零点有无数多个. () -8-知识梳理考点自测2.(教材思考改编P86)
3、已知函数y=x2-2x+m无零点,则m的取值范围为()A.m1B.m1D.m-1C解析解析:由=(-2)2-4m1,故选C. 3.(教材例题改编P88例1)函数f(x)=ln x+2x-6的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)C解析解析: y=ln x与y=2x-6在(0,+)内都是增函数,f(x)=ln x+2x-6在(0,+)内是增函数.又f(1)=-4,f(2)=ln 2-2ln e-20,零点在区间(2,3)内,故选C.-9-知识梳理考点自测4.(教材例题改编P90例2)已知方程2x+3x=k的解都在1,2)内,则k的取值范围为()A.5k10B
4、.5k10C.5k10D.5k10A解析解析:令函数f(x)=2x+3x-k,则f(x)在R上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1,2)内时,f(1)f(2)0,即(5-k)(10-k)0,解得5k10.当f(1)=0时,k=5,故选A.-10-知识梳理考点自测5.已知函数y=(k-8)x2+x+1至多有一个零点,则k的取值范围为 .-11-考点一考点二考点三判断函数零点所在的区间判断函数零点所在的区间例1(1)(2017辽宁抚顺重点校一模,文5)函数 的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)(2)已知定义域为(0,+)的单调函数f(x),对任意的x(
5、0,+),都有f(f(x)-ln x)=e+1,若x0是方程f(x)-f(x)=e的一个解,则x0所在的区间可能是()A.(0,1)B.(e-1,1)C.(0,e-1)D.(1,e)B D-12-考点一考点二考点三-13-考点一考点二考点三思考判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点的常用方法有哪些?解题心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,常用以下方法:(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根落在给定区间上.(2)利用函数零点的存在性定理进行判断:首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图象是否连续,然后看是否有f(a)f(b)0.若有,则函数y=f(x)
6、在区间(a,b)内必有零点;若没有,则不一定有零点.(3)通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.-14-考点一考点二考点三对点训练对点训练1(1)(2017湖北四地七校联盟高三联考)函数f(x)=x+log2x的零点所在的区间为()(2)(2017浙江温州模拟)如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图象,则函数g(x)=ex+f(x)的零点所在的大致区间是()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3) (3)(2017浙江嘉兴模拟)已知函数y=x3与 的图象的交点为(x0,y0).若x0(n,n+1),nN,则x0所在的区间是.AB(1,2) -15
7、-考点一考点二考点三-16-考点一考点二考点三-17-考点一考点二考点三判断函数零点的个数判断函数零点的个数例2(1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x0,+),满足f(x+2)=f(x),若当x0,2)时,f(x)=|x2-x-1|,则函数y=f(x)-1在区间-2,4上的零点个数为.B 7 -18-考点一考点二考点三-19-考点一考点二考点三(2)由题意作出y=f(x)在区间-2,4上的图象如图所示,由图可知它与直线y=1的交点共有7个,故函数y=f(x)-1在区间-2,4上的零点个数为7.
8、-20-考点一考点二考点三思考判断函数零点个数的常用方法有哪些?解题心得判断函数零点个数的方法:(1)解方程法:若对应方程f(x)=0可解时,通过解方程,有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要判断函数的图象在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,再看其交点的个数,其中交点的个数就是函数零点的个数.-21-考点一考点二考点三对点训练对点训练2(1)函数f(x)=sin(cos x)在区间0,2上的零
9、点个数是()A.3B.4C.5D.6(2)(2017河北张家口4月模拟,文14)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x(0,+)时,f(x)=2 017x+log2 017x,则f(x)在R上的零点的个数为.C3-22-考点一考点二考点三-23-考点一考点二考点三函数零点的应用函数零点的应用(多考向多考向)考向1已知函数零点所在区间求参数例3(2017江苏启东检测)若函数f(x)=log2x+x-k(kZ)在区间(2,3)内有零点,则k=.4解析解析:由题意可得f(2)f(3)0,即(log22+2-k)(log23+3-k)0,整理得(3-k)(log23+3-k)0,解得3k3+lo
10、g23,而43+log235.因为kZ,所以k=4.思考已知函数零点所在的区间,怎样求参数的取值范围?-24-考点一考点二考点三考向2已知函数零点个数求参数问题 由4-2x=0,得x=2;由x2+2x-3=0,得x=-3,x=1.又函数g(x)恰有三个不同的零点,方程g(x)=0的实根2,-3和1都在相应范围上,即1m2.故实数m的取值范围是(1,2.-25-考点一考点二考点三-26-考点一考点二考点三思考已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法有哪些?解题心得已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等
11、式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,再数形结合求解.-27-考点一考点二考点三对点训练对点训练3(1)(2017湖北武昌1月调研,文5)已知函数f(x)=2ax-a+3,若x0(-1,1),f(x0)=0,则实数a的取值范围是()A.(-,-3)(1,+)B.(-,-3)C.(-3,1)D.(1,+)(2)(2017天津河东区二模)已知函数若函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是()A.-1,1)B.-1,2)C.-2,2)D.0,2AB-28-考点
12、一考点二考点三解析解析: (1)函数f(x)=2ax-a+3,若x0(-1,1),f(x0)=0,可得(-3a+3)(a+3)0,解得a(-,-3)(1,+).(2)由题意x2+5x+2=2x,可得x2+3x+2=0,解得x=-1,x=-2,由y=x+2与y=2x解得x=2,y=4.函数y=f(x)与y=2x的图象如图所示.函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是-1a2.故选B.-29-考点一考点二考点三1.函数零点的常用判定方法:(1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程f(x)=0.2.研究方程f(x)=g(x)的解,实质就是研究G(x)=f(x)-g(x)的零点.3.转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题;已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.1.函数f(x)的零点是一个实数,是方程f(x)=0的根,也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件;判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象等综合考虑.
