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1、6.36.3直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线2命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四直线与圆锥曲线的位置关系【思考】怎样用代数的方法判断直线与圆锥曲线的位置关系?例1已知直线l:kx-y+2=0,双曲线C:x2-4y2=4,当k为何值时:(1)l与C无公共点;(2)l与C有唯一公共点;(3)l与C有两个不同的公共点. 答案 答案关闭3命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思设直线l:Ax+By+C=0,圆锥曲线C:f(x,y)=0,由 消去y得ax2+bx+c=0(也可消去x).若a0,=b2-4ac,0相交;0,x20.5命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四6命题热点一命题热点二命
2、题热点三命题热点四圆锥曲线中的定值、定点问题【思考】求解圆锥曲线中的定值、定点问题的基本思想是什么?例2在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现ACBC的情况?说明理由;(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.(1)解不能出现ACBC的情况,理由如下:设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.又点C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为所以不能出现ACBC的情况.7命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四即过A,B,C三点的圆在y
3、轴上截得的弦长为定值.8命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思1.求解定点和定值问题的基本思想是一致的,定值是证明求解的一个量与参数无关,定点问题是求解的一个点(或几个点)的坐标,使得方程的成立与参数值无关.解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决.2.证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程,根据方程的成立与参数值无关得出x,y的方程组,以方程组的解为坐
4、标的点就是直线所过的定点.9命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(1)求椭圆C的方程;(2)过动点M(0,m)(m0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.设直线PM,QM的斜率分别为k,k,证明 为定值;求直线AB的斜率的最小值.10命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四11命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四12命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四13命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四圆锥曲线中的参数范围与最值问题【思考】求解范围、最值问题的基本解题思想是什么?例3 (1)求直线A
5、P斜率的取值范围;(2)求|PA|PQ|的最大值.14命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四15命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四所以|PA|PQ|=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,因为f(k)=-(4k-2)(k+1)2,16命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思范围、最值问题的基本解题思想是建立求解目标与其他变量的关系(不等关系、函数关系等),通过其他变量表达求解目标,然后通过解不等式、求函数值域(最值)等方法确定求解目标的取值范围和最值.在解题时要注意其他约束条件对求解目标的影响,如直线与曲线交于不同两点时对直线方程中参数的约束、圆锥曲线
6、上点的坐标范围等.17命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练3已知点E(m,0)为抛物线y2=4x内的一个定点,过E作斜率分别为k1,k2的两条直线交抛物线于点A,B,C,D,且M,N分别是AB, CD的中点.(1)若m=1,k1k2=-1,求三角形EMN面积的最小值;(2)若k1+k2=1,求证:直线MN过定点.(1)解当m=1时,E为抛物线y2=4x的焦点.k1k2=-1,ABCD.设AB方程为y=k1(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),18命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四19命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四20命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四
7、圆锥曲线中的探索问题【思考】如何求解圆锥曲线中的探索问题?例4已知椭圆C: (ab0)的离心率为 ,点P(0,1)和点A(m,n)(m0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得OQM=ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.21命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四22命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题,往往是先假设所求的元素存在,然后再推理论证,检验说明假设是否正确.23命题热点一命题热
8、点二命题热点三命题热点四(1)求椭圆C的方程; (2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3,问:是否存在常数,使得k1+k2=k3?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.24命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四25命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四26命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四27规律总结拓展演练1.直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有:(1)从方程的观点出发,利用根与系数的关系来进行讨论,这是用代数方法来解决几何问题的基础.要重视通过设而不求与弦长公式简化计算,并同时注意在适当情况下利用图
9、形的平面几何性质.(2)以向量为工具,利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题.2.定值问题是解析几何中的一种常见问题,基本的求解思想是:先用变量表示所需证明的不变量,然后通过推导和已知条件,消去变量,得到定值,即解决定值问题首先是求解非定值问题,即变量问题,最后才是定值问题.28规律总结拓展演练3.求取值范围的问题时,首先要找到产生范围的几个因素:(1)直线与曲线相交(判别式);(2)曲线上点的坐标的范围;(3)题目中给出的限制条件.其次要建立结论中的量与这些范围中的因素的关系;最后利用函数或不等式求变量的取值范围.4.解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法.几何法是根据已知
10、的几何量之间的相互关系,通过平面几何和解析几何的知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等);代数法是建立求解目标关于某个或某两个变量的函数,通过求解函数的最值(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)解决.29规律总结拓展演练5.连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦.求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立,求出两交点的坐标,然后运用两点间的距离公式来求;另外一种求法是若直线的斜率为k,被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则弦长公式为30规律总结拓展演练D 31规律总结拓展演练A32规律总结拓展演练解析设双曲线的左焦点为F1,如图.由双曲线的定义知|PF|=2a+|PF1|,APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+(2a+|PF1|)+|AF|=|PA|+|PF1|+(2a+|AF|).由于2a+|AF|是定值,要使APF的周长最小,则应使|PA|+|PF1|最小,即P,A,F1三点共线.33规律总结拓展演练34规律总结拓展演练(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若BPM的面积是BPQ面积的2倍,求k的值.35规律总结拓展演练36
