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1、新课标（BS） 数学 九年级下册 备课资源第2课时利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根课题第2课时利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根授课人教学目标知识技能复习巩固用函数y=ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c=0的解.数学思考让学生体验一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c与直线y=h(h是实数)图象交点的横坐标的探索过程,掌握用图象交点的方法求一元二次方程ax2+bx+c=h的近似根.问题解决能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.情感态度利用图象法求一元二次方程的近似根,重要的是让学生懂得这种求解方程的思路,体验数形结合思想.教学重点经
2、历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系. (续表)教学难点利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.授课类型新授课课时教具多媒体课件教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交点的横坐标就是y=0时的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根.我们还可以根据二次函数与x轴的交点情况,判断一元二次方程根的情况,即=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点情况:二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式=b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根b2-4
3、ac0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac0学生回忆并回答,为本课的学习提供迁移或类比方法.活动一:创设情境导入新课【课堂引入】师上节课我们学习了二次函数的图象与一元二次方程的关系,请思考(出示画板课件):图2-5-15生一元二次方程x2+x-2=0的根是二次函数y=x2+x-2的图象与x轴交点的横坐标.师很好,我们还可以根据二次函数的图象与x轴的交点情况,判断一元二次方程根的情况.这样,我们在不解方程的情况下,只要知道二次函数图象与x轴交点的横坐标即可.但是在图象上我们很难准确地求出方程的解,所以要进行估算.本节课我们将学习利用二次函数的图象求一元二次方
4、程的近似根.通过一道简单的题目,让学生进一步理解体会二次函数与一元二次方程的关系,同时又训练了学生形数结合的能力,渗透了数学中“数形结合”的思想,符合新课标要求.活动二:实践探究交流新知【探究1】 上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的关系,懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标,就是y=0时的一元二次方程的根.于是,我们在不解方程的情况下,只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可.但是在图象上我们很难准确地求出方程的解,所以要进行估算.你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗?(精确到0.
5、1) (续表)活动二:实践探究交流新知图2-5-16x-4.1-4.2-4.3-4.4y-1.39-0.76-0.110.56x2.12.22.32.4y-1.39-0.76-0.110.56处理方式:引导学生回顾画二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的步骤方法,观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标,由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间.所以方程x2+2x-10=0的两个根一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间.既然一个根在-5与-4之间,那这个根一定是负4点几,所以个位数就确定下来了,接着确定十分位上的数,这时可以
6、用试一试的方法,即分别把x=-4.1,-4.2,-4.9代入方程进行计算,哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立),则这个值就是方程的根(或近似根).从上表可知,当x取-4.4或-4.3时,对应y的值由正变负,可见在-4.4和-4.3之间一定有一个x值使得y=0,即有方程x2+2x-10=0的一个根.由于当x=-4.3时,y=-0.11比y=0.56(x=-4.4)更接近0,所以选x=-4.3.因此,方程x2+2x-10=0在-5和-4之间精确到0.1的根为x=-4.3.小结:利用二次函数的图象求方程的近似根的步骤:观察图象,判断方程的根的大致范围;准确估算自变量多取一位小数的若干函
7、数值并列表比较;借由表格判断方程的近似根.本环节是本节新课的重点内容,题目的设计意图:一、让学生巩固对二次函数图象抛物线的形成的认识,二、主要是让学生运用二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根的原理,经历一元二次方程根的近似值探索过程,进一步体会二次函数与方程之间的联系. (续表)活动二:实践探究交流新知【探究2】 (1)利用二次函数的图象(如图2-5-17)求一元二次方程x2+2x-13=0的近似根.图2-5-17x-4.5-4.6-4.7-4.8-4.9y-1.75-1.04-0.310.441.21x2.52.62.72.82.9y-1.75-1.04-0.310
8、.441.21(2)利用图2-5-18你还能求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根吗?图2-5-18小结:利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-13=0的近似根可以借助抛物线y=x2+2x-13与x轴的交点,也可借助抛物线y=x2+2x-10与直线y=3的交点等.让学生理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=h(h是实数)交点的横坐标这一代数原理,培养学生熟练画函数图象的能力,提高运算的准确性和熟练使用计算器的能力.由于要列表、取值计算、描点,工作量较大,教学中可以组织学生在学习小组内合作、分工来完成,借此培养学生的合作意识.活动三:开
9、放训练体现应用【应用举例】例1根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a0,a,b,c为常数)的一个解x的范围是()x6.176.186.196.20y=ax2+bx+c-0.03-0.010.020.06A.6x6.17 B.6.17x6.18C.6.18x6.19 D.6.19x6.20例2利用二次函数y=x2+x-3的图象求一元二次方程x2+x-3=0的近似根.考查学生是否理解了用图象法求方程根的方法,能否快速准确的利用图象探求方程根的近似值,观察他们是否能自觉利用化归思想把复杂问题转化成简单情况进行解决. (续表)活动三:开
10、放训练体现应用【拓展提升】例3借助二次函数y=2x2-3x-1的图象,可求出下面哪个方程的近似根()A.x2+5x-1=0 B.x2+3x-1=0C.2x2-3x+5=6 D.x2+5x=0例4一元二次方程x2+7x+9=1的根与二次函数y=x2+7x+9的图象有什么关系?试把方程的根在图象上表示出来.通过这两个题的解决,让学生找寻不同的解题方法,培养学生的分析能力,深刻体会数学思想的多样性和灵活性.在一题多解的过程中,贯彻分层教学的理念,让学生在思维最活跃的时候,最大化地提高学习能力.活动四:课堂总结反思【当堂检测】1.课本P55随堂练习2.课本P57习题2.11中T1、T2、T3当堂检测,
11、及时反馈学习效果.【板书设计】第2课时利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根引例例:学生板演区提纲挈领,重点突出.【教学反思】授课流程反思通过情景引入,让学生能够建立二次函数与一元二次方程之间的联系,渗透数形结合的思想,而不仅仅是利用函数的图象求一元二次方程的近似解.讲授效果反思在教学时,着重让学生动手画图、计算、估值、讨论,让他们有学习数学成功的体验.教学中要相信学生,并为不同层次学生设计、提供展示自己的机会,多给予肯定的评价.师生互动反思习题反思好题题号 错题题号 反思,更进一步提升.学习目标1经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系 2理解二次函数与x轴交点
12、的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根一、【学前复习】1：方程的解的定义：能够使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫方程的根一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值就叫一元二次方程的解也叫做方程的根.2: 一元二次方程的一般形式：任何关于x的一元二次方程，经过变形整理，都可化成ax2bxc0 (a、b、c是已知数，a0)的形式。这种形式叫做一元二次方程的一般式（或标准式）其中，ax2叫做二次项，a叫做二次项的系数；bx叫做一次项，b叫做一次项的系数；c叫做常数项.二、【
13、方法点拨】点拨1：学习重点 （1）体会方程与函数之间的联系 （2）理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根 （3）.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标点拨2：学习难点 （1）探索方程与函数之间的联系的过程 （2）理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系三、【思路拓展】步骤1：迁移1（常德市）根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ） x6.176.186.196.20y=ax2+bx+c-0.03-0.010.020.04A6x6.17 B6.17x6.18 C6.18x6.19 D6.19x6.20分析：从表中可以看出当x=6.18时，y=-0.01 ，当x=6.19时，y=0.02,所以方程的一个解肯定在61.8和6.19之间。本题答案：C步骤2：本节知识应用1（天津）已知二次函数 (a0）且a0，ab+c0，则一定有（ ） Ab24ac0 Bb24ac0 Cb24ac0 Db24ac0分析：a0，抛物线开口向下，经过（1，ab+c）点，因为ab+c0，所以（1，ab+c）在第二象限，所以抛物线与x轴有两个交点
