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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑培优专题2 第17章 勾股定理 点击一：勾股定理 勾股定理：假设直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么ab = c 即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方 因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要留神如下三点： （1）留神勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形； （2）留神分清斜边和直角边，制止盲目代入公式致错； （3）留神勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长 即c2= a2b2，a2= c2b2，b= ca 点击二：学会用拼图法验证勾股定理 拼图法验证勾股定理的根本思想是：借助于图形的
2、面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理 如，利用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形 请读者证明 如上图示，在图（1）中，利用图1边长为a，b，c的四个直角三角形拼成的一个以c为边长的正方形，那么图2（1）中的小正方形的边长为（ba），面积为（ba）2，四个直角三角形的面积为4 122 2 2 2 2 2 b a （1） （2） （3） c （图1） ab = 2ab 2 2 2 由图（1）可知，大正方形的面积 =四个直角三角形的面积小正方形的的面积，即c =（ba）2ab，那么ab2 = c2问题得证 请同学们自己证明图（2）、（3） 1 - - 点击三
3、：在数轴上表示无理数 将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，留神一般其中一条线段的长是整数；其次步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点 点击四：直角三角形边与面积的关系及应用 直角三角形有大量属性，除边与边、边与角、角与角的关系外，边与面积也有内的联系.设a、b为直角三角形 的两条直角边，c为斜边，S?为面积，于是有： (a?b)?a?2ab?b，a?b?c，2ab?4?22222212ab?4S?， 所以(a
4、?b)2?c2?4S?.即S? 14(a?b)?c. 22也就是说，直角三角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一.利用该公式来计算直角三角形 的有关面积、周长、斜边上的高等问题，显得特别简便. 点击五：纯熟掌管勾股定理的各种表达形式 如图2，在Rt?ABC中,?C?900,A、B、C的对边分别为a、b、c,那么c2=a2+b2, b2=c2-a2, 点击六：勾股定理的应用 （1）已知直角三角形的两条边，求第三边； （2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系； （3）用于推导线段平方关系的问题等 （4）用勾股定理，在数轴上作出表示2、3、5的点，即作出长为n的线段 针对练习: 1
5、以下说法正确的是（ ） A若 a、b、c是ABC的三边，那么a2b2c2 B若 a、b、c是RtABC的三边，那么a2b2c2 C若 a、b、c是RtABC的三边，?A?90?，那么a2b2c2 D若 a、b、c是RtABC的三边，?C?90?，那么a2b2c2 2一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，以下说法正确的是（ ） A斜边长为25 B三角形周长为25 C斜边长为5 D三角形面积为20 2 - - a2=c2-b2 , A C B 3如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，那么网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 4如图，数轴上的点
6、A所表示的数为x，那么x210的立方根为（ ） -21A-101A2-10 B-2-10 C2 D-2 5把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（ ） A 2倍 B 4倍 C 6倍 D 8倍 6小明想知道学校旗杆的高，他察觉旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当它把绳子的下端拉开5 m后，察觉下端刚好接触地面，那么旗杆的高为 （ ） A8cm B10cm C12cm D14cm 7ABC中，AB15，AC13，高AD12，那么ABC的周长为（ ） A42 B32 C42 或 32 D37 或 33 8如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和 的面积
7、为（ ） （）4 （）6 （）16 （）55 b a c l 11，那么b9.已知直角三角形的周长为27，斜边上的中线为1，求它的面积. 10.直角三角形的面积为120，斜边长为26，求它的周长. 11.如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，AB=13cm，AC于BC之和等于 17cm，求CD的长. 3 - - 类型之一：勾股定理 例1：假设直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是 cm 解析：欲求直角三角形的面积，已知一向角三角形的斜边与一条直角边的长，那么求得另一向角边的长即可 根据勾股定理公式的变形，可求得 解：由勾股定理，得 135
8、=144，所以另一条直角边的长为12 所以这个直角三角形的面积是 122 2 2 ?B 125 = 30（cm2） A ? 图3 例2： 如图3(1),一只蚂蚁沿棱长为a的正方体外观从顶点A爬到 顶点B,那么它走过的最短路程为( ) A3a B(1?2)a C3a D5a 解析:此题鲜明与例2属同种类型,思路一致但正方体的 各棱长相等,因此只有一种开展图 解:将正方体侧面开展得,如图3 由图知AC=2a,BC=a 根据勾股定理得AB?应选D 类型之二：在数轴上表示无理数 例3：在数轴上作出表示10的点 解析：根据在数轴上表示无理数的方法，需先把10视为直角三角形斜边的长，再确定出两直角边的长度
9、后即可在数轴上作出 解：以10为斜边的直角三角形的两直角边可以是3和1，所以需在数轴上找出两段分别长为3和1的线段，如下图，然后即可确定斜边长，再用圆规在数轴上作出长为10的线段即可 下面的问题是关于数学大会会标设计与勾股定理学识的综合运用 (2a)?a22 ?B ? A ?5a2C 图3 ?5a. 4 - - 例5：阅读材料，第七届国际数学教导大会的会徽它的主题图案是由一连串如下图的直角三角形演化而成的设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=?=A8A9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积
10、 OA1 OA2 OA3 OA4 OA5 OA6 OA7 7270 OA8 解：2；3；2；5；6；7；22；3；这8条线段的长的乘积是 例6：2022年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如下图）假设大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么?a?b?的值为（ ） 2（A）13 （B）19 （C）25 （D）169 解析：由勾股定理，结合题意得a2+b2=13 . 由题意，得 (b-a)=1 . 由，得 a2+b2-2ab =1 . 把代入，得 1
11、3-2ab=1 2ab=12. (a+b)2 = a2+b2+2ab =13+12=25. 因此，选C. 说明：2022年8月20日28日，我国在首都北京告成举办了第24届国际数学家大会. 这是在进展中国家举行的第一次国际数学家大会，也是多年来在我国举行的最重要的一次国际会议. 它标志着我国数学已度过了六百多年的低谷，进入了数学大国的行列，并向着新世纪成为数学强国迈开了步伐. 这次大会的会标如下图所示： 它取材于我国三国时期（公元3世纪）赵爽所著的勾股圆方图注. 类型之四：勾股定理的应用 （一）求边长 2 例1： 已知：如图，在ABC中，ACB90o，AB5cm，BC3cm，CDAB于D，求CD的长. . 5 - - 10
